等式的性质2同乘同除怎么理解？解方程核心步骤深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：性质2 原理

• 核心概念：想象一下，你有一个完美平衡的天平，左右两边的物品重量完全相等（这就是一个等式 \( \text{左边} = \text{右边} \)）。阿星的操作来了：如果你给天平的 左右两边 同时放上 相同个数 的相同砝码（同乘），或者从两边同时 拿走相同个数 的相同砝码（同除），这个天平还会保持平衡吗？当然会！这就是“同乘同除”的魔法。数学上，如果 \( a = b \)，那么 \( a \times c = b \times c \)（同乘）；如果 \( c \neq 0 \)，那么 \( a \div c = b \div c \)（同除）。它让等式的“平衡”关系得以延续。
• 计算秘籍：
  1. 识别操作：观察方程，目标是让未知数 \( x \) 单独留在等式一边。判断需要“除掉”它身边的数字，还是需要“乘上”某个数以消去分母。
  2. 判断“零”：如果选择“除以一个数”，必须确认这个数 不等于0。除以0在数学上没有意义，是严格禁止的操作！
  3. 同步执行：在等号两边同时进行完全相同的乘法或除法运算。

  例如：解方程 \( 3x = 18 \)。目标是把 \( x \) 前的系数3去掉。根据性质2，等式两边 同时除以3：\( 3x \div 3 = 18 \div 3 \)，得到 \( x = 6 \)。

• 阿星口诀：天平两边，同乘同除，保持平衡，等式稳固。（除以零，是大忌！）

📐 图形解析

我们用矩形面积来可视化“同乘同除”。假设一个矩形的面积是 \( S \)，其长和宽满足关系：\( \text{长} \times \text{宽} = S \)。

公式：\( L \times W = S \)

如图所示，已知 \( L \times W = S \)。如果长 \( L \) 变为原来的 \( 1.5 \) 倍（即乘以 \( \frac{3}{2} \)），为了保持面积 \( S \) 不变（即等式成立），宽 \( W \) 必须变为原来的 \( \frac{2}{3} \)（即除以 \( 1.5 \) 或乘以 \( \frac{2}{3} \)）。这完美体现了等式中“同乘”与“同除”的相互制约与平衡关系：\( (L \times \frac{3}{2}) \times (W \times \frac{2}{3}) = S \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：在方程 \( 5x = 0 \) 中，得到 \( x = 5 \)。 → ✅ 正解：根据性质2，两边应同除以5：\( 5x \div 5 = 0 \div 5 \)，得到 \( x = 0 \)。牢记，任何数乘以0都得0。
• ❌ 错误2：解方程 \( \frac{x}{-2} = 4 \) 时，只在右边乘以 \(-2\)。 → ✅ 正解：必须对等式两边同时乘以 \(-2\)：\( \frac{x}{-2} \times (-2) = 4 \times (-2) \)，得到 \( x = -8 \)。“同乘同除”是一个同步操作，不能只对一边进行。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程：\( 7x = 56 \)。
2. 解方程：\( -3y = 27 \)。
3. 解方程：\( \frac{z}{4} = 5 \)。
4. 解方程：\( \frac{a}{-6} = 2 \)。
5. 根据 \( 8 = b \times 2 \)，求 \( b \)。
6. 一个正方形边长为 \( s \)，周长公式为 \( 4s = P \)。若周长 \( P=20 \)，求边长 \( s \)。
7. 解方程：\( 0.5t = 10 \)。
8. 解方程：\( -\frac{1}{8}k = 3 \)。
9. 若 \( 12 \div n = 4 \)，求 \( n \)。（提示：先写成乘法等式）
10. 判断正误：在等式 \( x = 5 \) 两边同时乘以0，得到 \( 0 = 0 \)，这个过程是正确的。

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程：\( \frac{3x - 5}{2} = 8 \)。
2. 解方程：\( 0.25(4y + 12) = 7 \)。
3. 若 \( \frac{2}{3}m - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)，求 \( m \)。
4. 已知公式 \( v = u + at \)，其中 \( v=30, u=10, a=5 \)，求 \( t \)。
5. 解关于 \( x \) 的方程：\( ax = b \) (\( a \neq 0 \))。
6. 在等式 \( S = \frac{1}{2}(a+b)h \) 中，已知 \( S=60, a=8, b=12 \)，求高 \( h \)。
7. 解方程：\( \frac{x+1}{3} = \frac{x-2}{4} \)。（提示：先利用性质2消去分母）
8. 若 \( \frac{5}{x} = \frac{15}{6} \)，求 \( x \)。
9. 一个数的 \( \frac{2}{5} \) 是16，求这个数。（列方程求解）
10. 判断：由 \( a = b \) 可推出 \( a^2 = b^2 \)，这是应用了等式的性质2吗？为什么？

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物折扣】一件衣服打八折（即原价乘以0.8）后的售价是240元。利用等式“原价 \( \times 0.8 = 240 \)”求原价。
2. 【工程速度】修路队计划每天修 \( 120 \) 米，需要 \( d \) 天修完一条路，总长公式为 \( 120d = L \)。已知总长 \( L=3000 \) 米，求所需天数 \( d \)。
3. 【汇率换算】已知美元兑人民币汇率约为 \( 7.2 \)（即1美元 \( \times 7.2 = \) 相应人民币）。小明有 \( 360 \) 元人民币，问他大约能兑换多少美元？（设美元数为 \( x \)，列方程 \( 7.2x = 360 \) 求解）
4. 【浓度问题】一瓶 \( 500\)ml 的消毒液，其中酒精含量为 \( 75\% \)。设酒精体积为 \( V \) ml，则有 \( V = 500 \times 75\% \)。求 \( V \)。（本题直接运用性质2的乘法形式）
5. 【地图比例尺】地图上比例尺为 \( 1:100000 \)，表示图上 \( 1 \) cm 代表实际 \( 100000 \) cm。若地图上两地距离为 \( 4.5 \) cm，设实际距离为 \( s \) cm，则有 \( 4.5 \times 100000 = s \)。求实际距离 \( s \) 公里（1公里=100000厘米）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x = 8 \) （两边同除以7）
2. \( y = -9 \) （两边同除以-3）
3. \( z = 20 \) （两边同乘以4）
4. \( a = -12 \) （两边同乘以-6）
5. \( b = 4 \) （将 \( 8 = b \times 2 \) 看作 \( b \times 2 = 8 \)，两边同除以2）
6. \( s = 5 \) （方程 \( 4s = 20 \)，两边同除以4）
7. \( t = 20 \) （两边同除以0.5，或同乘以2）
8. \( k = -24 \) （两边同乘以-8）
9. \( n = 3 \) （由 \( 12 \div n = 4 \) 得 \( 12 = 4n \)，两边同除以4）
10. 错误。 过程虽然得到 \( 0=0 \) 这个真等式，但乘以0后，新等式 \( 0=0 \) 与原始等式 \( x=5 \) 已不是同解方程，丢失了 \( x=5 \) 这个信息。所以，在解方程时禁止两边同乘以0。

第二关：中考挑战

1. \( x = 7 \) （解析：两边同乘以2：\( 3x-5=16 \); 两边同加5：\( 3x=21 \); 两边同除以3：\( x=7 \)）
2. \( y = 4 \) （解析：两边同除以0.25（或乘以4）：\( 4y+12=28 \); 两边同减12：\( 4y=16 \); 两边同除以4：\( y=4 \)）
3. \( m = 1 \) （解析：两边同乘以6消分母：\( 4m - 1 = 3 \); 两边同加1：\( 4m=4 \); 两边同除以4：\( m=1 \)）
4. \( t = 4 \) （解析：代入得 \( 30 = 10 + 5t \)，即 \( 10+5t=30 \); 两边同减10：\( 5t=20 \); 两边同除以5：\( t=4 \)）
5. \( x = \frac{b}{a} \) （解析：两边同除以 \( a \) (\( a \neq 0 \))）
6. \( h = 6 \) （解析：代入得 \( 60 = \frac{1}{2} \times (8+12) \times h \)，即 \( 60 = 10h \); 两边同除以10：\( h=6 \)）
7. \( x = 10 \) （解析：两边同乘以12（3和4的最小公倍数）：\( 4(x+1) = 3(x-2) \); 去括号：\( 4x+4=3x-6 \); 移项合并：\( 4x-3x=-6-4 \); 得 \( x=-10 \)）
8. \( x = 2 \) （解析：利用比例性质或交叉相乘（本质是同乘两边分母）：\( 5 \times 6 = 15 \times x \)，即 \( 30=15x \); 两边同除以15：\( x=2 \)）
9. 设这个数为 \( x \)，则 \( \frac{2}{5}x = 16 \)。解得 \( x = 40 \)（两边同乘以 \( \frac{5}{2} \)）。
10. 是。 因为 \( a^2 = a \times a \)。由 \( a = b \) 出发，右边 \( b \) 可以看作 \( b \times 1 \)，但为了得到 \( a^2 \)，我们实际上是对等式 \( a = b \) 的两边同乘以 \( a \)**（或同乘以 \( b \)，因为 \( a=b \)），得到 \( a \times a = b \times a \)，再将右边 \( a \) 替换为 \( b \)，即得 \( a^2 = b^2 \)。它确实是性质2（同乘）的应用。

第三关：生活应用

1. 原价 = \( 300 \) 元 （方程：\( 原价 \times 0.8 = 240 \)，两边同除以0.8）
2. \( d = 25 \) 天 （方程：\( 120d = 3000 \)，两边同除以120）
3. 约 \( 50 \) 美元 （方程：\( 7.2x = 360 \)，两边同除以7.2，\( x = 50 \)）
4. \( V = 375 \) ml （直接计算：\( V = 500 \times 0.75 \)）
5. \( 4.5 \) 公里 （计算：\( s = 4.5 \times 100000 = 450000 \) cm = \( 4.5 \) km）