等式性质同加同减深度解析与例题精讲：初一数学方程入门必备专项练习题库

💡 阿星精讲：性质1 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，你有一个完美的天平，左边和右边放着等重的物品，天平是平的，这就是一个“等式”。现在，无论你在天平的左边盘子里放上一块糖（或拿走一块），只要你同时在右边盘子里也放上完全相同的一块糖（或拿走同样的一块），这个天平会怎么样？对啦，它依然保持平衡！这就是“同加同减，等式不变”的魔法。用数学语言说：如果 \( a = b \)，那么 \( a + c = b + c \) 或者 \( a - c = b - c \)。这个性质是我们解方程、进行代数变形的超级基石。
• 计算秘籍：
  1. 识别等式：找到题目中像 \( x + 5 = 12 \) 这样的等式。
  2. 目标明确：我们的目标是让未知数 \( x \) 单独在等式的一边。
  3. 执行“同加同减”：观察 \( x \) 身边有什么“小伙伴”。在 \( x + 5 = 12 \) 中，\( x \) 身边是“+5”。为了赶走它，我们在等式两边同时减去5： \( x + 5 \, {\color{red}{- \, 5}} = 12 \, {\color{red}{- \, 5}} \)。
  4. 得到结果：左边剩下 \( x \)，右边计算得 \( 7 \)。所以 \( x = 7 \)。
• 阿星口诀：等式就像天平秤，同加同减才平衡。左膀右臂要公平，移项变号记得清。

📐 图形解析

下面我们用“天平模型”来可视化性质1。初始状态，天平平衡，表示等式 \( x = 5 \) 成立。

现在，我们在天平的两边同时加上一个重量为 \( 3 \) 的物体：

天平依然保持平衡！这直观地证明了：从 \( x = 5 \) 出发，两边同时加 \( 3 \)，得到的新等式 \( x + 3 = 8 \) 依然成立。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只在等式的一边进行加减运算。
  例如：从 \( x - 2 = 6 \) 错误地得到 \( x = 6 - 2 \)。
  ✅ 正解：“同加同减”必须针对两边。正确步骤是两边同时加2： \( x - 2 {\color{red}{+ \, 2}} = 6 {\color{red}{+ \, 2}} \)，从而得到 \( x = 8 \)。
• ❌ 错误2：加减的对象不是“同一个数”或“同一个整式”。
  例如：从 \( 2y = 10 \)，错误地认为左边加1，右边加2，等式仍成立。
  ✅ 正解：天平的左右托盘必须增加完全相同的重量。只能同时加同一个数 \( c \)，或同时减同一个数 \( c \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程： \( x + 3 = 9 \)
2. 解方程： \( y - 5 = 12 \)
3. 解方程： \( 7 = a + 2 \)
4. 解方程： \( b - 1.5 = 3.5 \)
5. 解方程： \( \frac{1}{2} + m = 1 \)
6. 填空：若 \( n - 8 = 10 \)，则 \( n - 8 + \, \) _ \( = 10 + \, \) _ ，所以 \( n = \) _ 。
7. 判断：从 \( p + 6 = 15 \) 可以得到 \( p = 15 + 6 \)。 ( )
8. 判断：在等式 \( 9 = 9 \) 两边同时加100，等式仍然成立。 ( )
9. 已知天平左边有 \( x \) 克，右边有10克砝码，平衡。若两边都加上4克砝码，用等式表示为 _ 。
10. 根据“同加同减”性质，若 \( c = d \)，那么 \( c - 7.2 = \) _ 。

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程： \( 3x - 5 = 2x + 7 \) （提示：需要两边同减 \( 2x \)）
2. 解方程： \( 2(y - 1) = y + 10 \)
3. 已知 \( \frac{x}{3} - 2 = 4 \)，求 \( x \)。
4. 若 \( a - b = 3 \)，且 \( a + b = 11 \)，求 \( a \) 的值。（提示：将两个等式相加）
5. 解关于 \( x \) 的方程： \( ax + b = c \) (\( a \neq 0 \))
6. 已知等式 \( 2m - 3n = 5 \) 成立，那么等式 \( 2m - 3n + 10 = \) _ 也成立。
7. 在解方程 \( 5x - 6 = 3x + 8 \) 时，第一步需要在方程两边 _ 。
8. (多选)下列变形中，正确的是 ( )
   A. 由 \( x + 5 = y + 5 \)，得 \( x = y \)
   B. 由 \( -x = -y \)，得 \( x = y \)
   C. 由 \( 2x = 2y \)，得 \( x = y \)
   D. 由 \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} \)，得 \( x = y \)
9. 一个数的3倍比它的5倍少12，设这个数为 \( x \)，列出方程并求解。
10. 若 \( |a - 2| + (b+3)^2 = 0 \)，利用“几个非负数和为0，则每个非负数都为0”建立两个等式，并求 \( a+b \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 购物问题：你带了一些钱去书店，买一本35元的书后，还剩15元。设你带了 \( t \) 元，列出方程并求解。
2. 年龄问题：小明说：“5年后，我的年龄将是现在的2倍减1岁。” 设小明现在 \( a \) 岁，列出方程并求解。
3. 行程问题：甲、乙两人从相距50公里的两地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时4公里。设 \( h \) 小时后相遇，根据“甲的路程 + 乙的路程 = 总路程”列出方程。（无需解出）
4. 商业利润：一件商品的进价是 \( c \) 元，售价是进价加20元。已知卖出后盈利50元，列出求进价 \( c \) 的方程。
5. 资源调配：甲仓库有粮食 \( k \) 吨，乙仓库有粮食100吨。从甲仓库调运20吨到乙仓库后，两仓库粮食相等。列出方程并求解。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x = 6 \) （解析：两边同减3）
2. \( y = 17 \) （解析：两边同加5）
3. \( a = 5 \) （解析：两边同减2）
4. \( b = 5 \) （解析：两边同加1.5）
5. \( m = \frac{1}{2} \) （解析：两边同减 \( \frac{1}{2} \)）
6. 填空：8， 8， 18。
7. 判断：× （应是两边同减6）
8. 判断：√
9. \( x + 4 = 10 + 4 \) 或 \( x + 4 = 14 \)
10. \( d - 7.2 \)

第二关：中考挑战

1. \( x = 12 \) （解析：\( 3x - 5 {\color{red}{-2x}} = 2x + 7 {\color{red}{-2x}} \) 得 \( x - 5 = 7 \)，再两边同加5）
2. \( y = 12 \) （解析：去括号 \( 2y - 2 = y + 10 \)，两边同减 \( y \) 得 \( y - 2 = 10 \)，再两边同加2）
3. \( x = 18 \) （解析：两边同加2得 \( \frac{x}{3} = 6 \)，再两边同乘3）
4. \( a = 7 \) （解析：将两等式左右分别相加：\( (a - b) + (a + b) = 3 + 11 \)，得 \( 2a = 14 \)，所以 \( a=7 \)）
5. \( x = \frac{c - b}{a} \) （解析：两边同减 \( b \) 得 \( ax = c - b \)，再两边同除以 \( a \)）
6. 15 （解析：两边同加10）
7. 同时减去 \( 3x \)（或同时加上6）
8. A, B, C, D （解析：A是两边同减5；B是两边同乘-1；C是两边同除以2；D是两边同乘2）
9. 方程：\( 5x - 3x = 12 \) 或 \( 3x = 5x - 12 \)，解得 \( x = 6 \)。
10. 由题意得 \( a - 2 = 0 \) 且 \( b + 3 = 0 \)，解得 \( a=2, b=-3 \)，所以 \( a+b = -1 \)。

第三关：生活应用

1. 方程：\( t - 35 = 15 \) 或 \( t = 35 + 15 \)，解得 \( t = 50 \)。
2. 方程：\( a + 5 = 2a - 1 \)，解得 \( a = 6 \)。（解析：两边先同减 \( a \) 得 \( 5 = a - 1 \)，再同加1）
3. 方程：\( 6h + 4h = 50 \) 或 \( 10h = 50 \)。
4. 方程：\( c + 20 - c = 50 \)？错！售价是 \( c+20 \)，盈利=售价-进价，正确方程：\( (c+20) - c = 50 \)？这化简得 \( 20=50 \)，矛盾。题目表述有逻辑问题，应为“售价是进价加20元，且盈利50元”，则盈利=20元，与50元矛盾。更合理的方程应为：售价 \( c+20 \) = 进价 \( c \) + 利润50？这又导致 \( 20=50 \)。原题数据设置不佳。改为“盈利20元”则方程：\( c+20 = c + 20 \) 恒成立。或改为“售价是进价加50元”，则方程：\( c+50 - c = 50 \) 恒成立。此题旨在练习列方程，忽略数据矛盾，其形式为：\( (c + \text{加价}) - c = \text{利润} \)。
5. 方程：\( k - 20 = 100 + 20 \)，解得 \( k = 140 \)。