等角对等边怎么证明？判定方法与典型例题深度解析专项练习题库

例题1：基础识别 在 \( \triangle ABC \) 中，已知 \( AB = AC \)，\( \angle B = 70^\circ \)，求 \( \angle A \) 的度数。

📌 解析：

1. 由 \( AB = AC \)，根据“等边对等角”，可得 \( \angle C = \angle B = 70^\circ \)。
2. 在 \( \triangle ABC \) 中，由三角形内角和定理：\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)。
3. 代入计算：\( \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ \)。

✅ 总结：本题是“等角对等边”性质的逆用。先由等边得等角，再结合内角和定理求解。

例题2：证明应用 已知：在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC \) 的平分线 \( BD \) 交 \( AC \) 于点 \( D \)，且 \( \angle A = \angle C \)。求证：\( AD = BD \)。

📌 解析：

1. ∵ \( BD \) 平分 \( \angle ABC \)（已知），∴ \( \angle 1 = \angle 2 \)。
2. ∵ \( \angle A = \angle C \)（已知），且 \( \angle 1 = \angle 2 \)， ∴ 在 \( \triangle ABD \) 中，\( \angle 3 = 180^\circ - \angle A - \angle 1 \)。
3. 在 \( \triangle ABC \) 中，∵ \( \angle A = \angle C \)，∴ \( AB = BC \)（等角对等边）。
4. 在 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle CBD \) 中：
   • \( AB = BC \)（已证）
   • \( \angle 1 = \angle 2 \)（已证）
   • \( BD = BD \)（公共边）

   ∴ \( \triangle ABD \cong \triangle CBD \)（SAS）。

5. ∴ \( AD = CD \)。但更直接地，观察 \( \triangle ABD \)：∵ \( \angle 3 = 180^\circ - \angle A - \angle 1 \)，且 \( \angle BDA = 180^\circ - \angle 3 = \angle A + \angle 1 \)。
6. ∵ \( \angle A = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1 \)， ∴ \( \angle BDA = \angle A + \angle 1 = 2\angle 1 + \angle 1 = 3\angle 1 \)。而 \( \angle ABD = \angle 1 \)。
7. 关键一步：我们发现 \( \angle A = \angle 3 \)。为什么？因为 \( \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 - \angle A \)，且由三角形内角和 \( \angle A + \angle C + \angle ABC = 180^\circ \)，即 \( 2\angle A + 2\angle 1 = 180^\circ \)，所以 \( \angle A + \angle 1 = 90^\circ \)。因此 \( \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)。这个推导有误，让我们重新聚焦核心。
8. 正确简洁证法：∵ \( \angle A = \angle C \)，且 \( BD \) 平分 \( \angle ABC \)，∴ \( \angle ABD = \angle CBD \)。在 \( \triangle ABD \) 中，\( \angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC = 180^\circ - 2\angle A \)，所以 \( \angle ABD = \frac{1}{2}(180^\circ - 2\angle A) = 90^\circ - \angle A \)。代入得 \( \angle ADB = 180^\circ - \angle A - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ \)。但这还不是目标。最直接的路径是：在 \( \triangle ABD \) 中，计算 \( \angle ABD = \angle 1 \)，\( \angle A = \angle A \)。需要证 \( \angle A = \angle ADB \) 或 \( \angle A = \angle ABD \)？观察图形，尝试证明 \( \angle A = \angle ABD \)。
9. ∵ \( \angle A = \angle C \)， \( \angle ABD = \angle CBD \)，且 \( \angle A + \angle C + \angle ABC = 180^\circ \)，即 \( 2\angle A + 2\angle ABD = 180^\circ \)，∴ \( \angle A + \angle ABD = 90^\circ \)。在 \( \triangle ABD \) 中，\( \angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 90^\circ \)。仍未得到等角。换思路：∵ \( \angle A = \angle C \)， ∴ \( AB = BC \)（等角对等边）。∵ \( BD \) 平分 \( \angle ABC \)，∴ \( \angle ABD = \angle CBD \)。在 \( \triangle ABD \) 与 \( \triangle CBD \) 中，\( AB=BC, \angle ABD=\angle CBD, BD=BD \)，∴ \( \triangle ABD \cong \triangle CBD \) (SAS)。∴ \( AD=CD \)，且 \( \angle ADB = \angle CDB \)。又∵ \( \angle ADB + \angle CDB = 180^\circ \)，∴ \( \angle ADB = 90^\circ \)。现在看 \( \triangle ABD \)，它是直角三角形。要证 \( AD=BD \)，需证 \( \triangle ABD \) 是等腰直角三角形，即需证 \( \angle A = 45^\circ \)。由 \( \angle A + \angle ABD = 90^\circ \)，且若 \( \angle A = \angle ABD \)，则得证。而 \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2}(180^\circ - 2\angle A) = 90^\circ - \angle A \)。代入 \( \angle A + (90^\circ - \angle A) = 90^\circ \) 恒成立。所以只有当 \( \angle A = 90^\circ - \angle A \) 即 \( \angle A = 45^\circ \) 时，才有 \( \angle A = \angle ABD \)。题目未给此条件，所以原结论 \( AD=BD \) 不一定成立？检查：若 \( \angle A = \angle C = 60^\circ \)，则 \( \angle ABC=60^\circ \)，三角形等边，BD是角平分线也是中线高，则AD=1/2AC，BD=√3/2*AB，不相等。所以原题需增加条件或结论有误。常见改编题为：求证AD=CD。或增加条件∠A=45°。这里我们按经典正确题型讲解：已知：在△ABC中，∠A=∠C，BD平分∠ABC。求证：AD=CD。 上面第8步SAS全等已证明。

✅ 总结：本题融合了角平分线定义、等角对等边性质、三角形全等判定。核心思路是利用“等角对等边”得到一组对应边相等，为证明全等创造条件。

例题3：实际测量 如图，为了测量河宽AB，测量员在河岸一侧选取点C，测得 \( \angle ACB = 45^\circ \)，然后沿河岸向前走100米到点D，测得 \( \angle ADB = 45^\circ \)。已知B、C、D在一条直线上。请问河宽AB是多少米？

📌 解析：

1. 由题意，\( \angle ACB = \angle ADB = 45^\circ \)。
2. 观察 \( \triangle ABC \) 和 \( \triangle ABD \)，它们有公共边 \( AB \) 和对顶角？不，它们共享∠A吗？更优视角：在 \( \triangle ACB \) 和 \( \triangle ADB \) 中，∠ACB=∠ADB=45°，但这不是同一个三角形。考虑大三角形 \( \triangle ABD \)：其中 \( \angle ADB = 45^\circ \)。需要找到另一个45°角。
3. 关键点：∵ \( \angle ACB = 45^\circ \) 且 \( \angle ADB = 45^\circ \)，∴ \( \angle ACB = \angle ADB \)。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中？在 \( \triangle ADC \) 中？实际上，观察 \( \triangle ACB \) 和 \( \triangle ADB \)，它们不满足直接全等或相似条件。换个思路：考虑 \( \triangle ABC \)，已知∠ACB=45°。考虑 \( \triangle ABD \)，已知∠ADB=45°。这两个三角形共用AB边，且∠ABD是直角吗？未说明。运用“等角对等边”的模型：点A、B、C、D构成图形，其中∠ACB和∠ADB都是45°且对着线段AB，这不足以直接应用。
5. 正确建模：连接AC、AD。在 \( \triangle ACB \) 和 \( \triangle ADB \) 中，我们无法直接比较。考虑 \( \triangle ADC \)：其中∠ADC的外角∠ADB=45°，所以∠ADC=135°。此路不通。经典解法是：∵ ∠ACB=∠ADB=45°，∴ A、B、C、D四点共圆（同弦AB所对的两个圆周角相等）。但这超纲。更简单的方法：∵ ∠ACB=∠ADB，∴ 在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=45°，∠B公共，所以两三角形相似。得对应边成比例，但未知数太多。
6. 标准实际测量解法（利用等腰直角三角形）：设AB=x。在Rt△ABC中（∠B=90°？题目没说AB垂直BD，但河宽通常指垂直距离，所以应默认AB⊥BD）。若AB⊥BD，则∠ABC=∠ABD=90°。在Rt△ABC中，∠C=45°，∴∠BAC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=x。同理，在Rt△ABD中，∠D=45°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴BD=AB=x。∵CD=BD-BC=100米，∴x-x=100=>0=100，矛盾。所以B、C、D顺序应为B、D、C？若顺序是B、D、C，则CD=BC-BD=x-x=0，也矛盾。说明点顺序是C、B、D？若顺序是C、B、D，则CD=CB+BD=x+x=2x=100米，∴x=50米。这才是合理情境：测量员在河对岸先看到点C，走到点B正对面，再走到点D。题目说“B、C、D在一条直线上”，未说明顺序。按常理，C和D都在河岸同侧（测量员所在侧），B在对岸。所以直线上的顺序应为C、D、B或C、B、D。若顺序为C、D、B，则从A看C和D，∠ACB和∠ADB都是45°，且AB⊥CB，则△ABC和△ABD都是等腰Rt△，BC=AB，BD=AB，∴CD=BD-BC=0，矛盾。所以顺序只能是C、B、D。即点B在C、D之间。此时，在等腰Rt△ABC中，CB=AB；在等腰Rt△ABD中，DB=AB。∴CD=CB+BD=AB+AB=2AB。∵CD=100米，∴AB=50米。

计算：设河宽 \( AB = x \) 米。
在等腰 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( BC = AB = x \)。
在等腰 \( Rt\triangle ABD \) 中，\( BD = AB = x \)。
∵ \( CD = BD + BC = x + x = 2x = 100 \)， ∴ \( x = 50 \)。
答：河宽AB为50米。

✅ 总结：将实际问题转化为几何模型时，要隐含或明确垂直条件。通过发现等腰直角三角形，本质上运用了“等角（45°）对等边”的性质，从而将问题转化为线段和差计算。