数三角形专项练习题及答案解析：几何计数方法与技巧总结-PDF下载

💡 阿星精讲：几何计数：数三角形 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，三角形就像一个幸福的“三口之家”。在这个家里，有一个“顶点”爸爸（或妈妈），他站在最高处。底边上有好多“孩子”在玩耍。爸爸想和两个不同的孩子手拉手，组成一个家庭小队（一个三角形）。那么，关键就在于，底边上的这些孩子们，每两个就能组成一对搭档，然后分别和顶点的爸爸拉手。所以，数三角形家庭的数量，就完全等价于数底边上的孩子们能组成多少对不同的搭档！这就是“其实就是数底边上有多少条线段。”
• 计算秘籍：
  1. 找到那个孤独的“顶点”（通常是唯一一个不在一条直线上的点）。
  2. 找到它对面的“底边”，数清楚底边上一共有多少个“孩子”（即被分割成了多少条小线段）。假设有 \( n \) 个孩子（分点），那么底边就被分成了 \( n+1 \) 条小线段。
  3. 计算这些孩子能配成多少对搭档。这等价于从 \( n+1 \) 个点（包括底边两个端点）中，任意选取两个点构成一条线段。计算公式是：三角形总数 = \( C_{n+1}^{2} = \frac{(n+1) \times n}{2} \)。
• 阿星口诀：顶点在上像老爸，底边点数仔细查，配对手数用公式，三角形数不会差！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到一个图形就漫无目的地乱数，容易重复或遗漏。
  
  ✅ 正解：先锁定唯一的“顶点”，明确它向哪条“底边”引出了线。把复杂图形拆解成多个“一个顶点 + 一条底边”的标准模型，分别计算再相加。
• ❌ 错误2：底边上的“孩子”（分点）数不清，把端点也算成被分割出来的分点。
  
  ✅ 正解：底边被分割成若干小段，分点是指那些在底边线段中间的点，两端的顶点不算在内。总点数是分点数 \( n \) 加 \( 2 \)（两个端点）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 下图中，以 \( A \) 为顶点的三角形有____个。（图：类似例题1，底边有2个分点）
2. 下图中，以 \( B \) 为顶点的三角形有____个。（图：类似例题1，顶点换到左边）
3. 下图中共有____个三角形。（图：一个顶点，底边有4个分点）
4. 下图中共有____个三角形。（图：两个顶点在同侧，共享一条底边，底边有1个分点）
5. 下图中共有____个三角形。（图：一个顶点，但线是连接到底边和底边上方另一个点，需分辨有效底边）
6. 一个顶点引出 \( 5 \) 条线到一条直线上，共构成____个三角形。
7. 一个顶点引出 \( n \) 条线到一条直线上，共构成____个三角形。（用含 \( n \) 的式子表示）
8. 下图中共有____个三角形。（图：一个四边形加一条对角线，数最小的三角形）
9. 下图“金字塔”型（一层一个三角形，二层三个，三层六个...）最底层有4个点，共____个小三角形。（提示：逐层以顶层点为顶点）
10. 简单回顾：一条线段上有10个点（包括两端点），这条线段上一共有____条不同的线段。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 下图中，包含“*”号的三角形共有____个。（图：一个复杂连线图，中心有个*号）
2. 下图中，共有____个三角形。（图：五边形各顶点两两相连，即五边形的所有对角线都画出来）
3. 一个 \( 4 \times 4 \) 的点阵中，任意三个不共线的点构成三角形，其中面积为 \( 1 \) （以相邻点距离为1）的三角形有____个。
4. 下图由3个大小不同的等边三角形套在一起组成，共____个三角形。
5. 平面上有10条直线，任意三条不交于同一点，且任意两条不平行。这些直线最多能把平面分成____个部分，并在此条件下，这些直线可构成____个三角形。
6. 正六边形的所有对角线连接后，图中一共有____个三角形。
7. 下图是一个“工”字形，内部还有若干连线，数一数总共有____个三角形。
8. 用“分类-顶点法”证明：三角形网格图中，正着放的三角形和倒着放的三角形分别有多少。（公式推导）
9. 一条直线上有 \( m \) 个点，另一条平行线上有 \( n \) 个点，连接所有可能的点构成线段。这些线段相交（不包括在端点处相交）最多能构成____个以交点为顶点的三角形？
10. （真题变式）下图中，共有____个含阴影部分的三角形。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI构图）一个AI图像生成器，需要从一张有6个特征点的底边和一个独立顶点生成不同的三角形区域来填充纹理。如果每个三角形区域必须由顶点和底边上两个不同的特征点构成，AI最多能生成多少种不同的基础三角形区域？
2. （航天通信）一个卫星（顶点）需要同时与地面一条光纤主干线上的 \( 8 \) 个中继站中的任意两个建立加密通信链路，形成一个稳定的三角校验信号通道。最多可以建立多少个不同的通道？
3. （交通规划）一个新城区，计划以一个中心公园为顶点，向一条笔直的主干道修建直达步行道。如果计划修5条步行道连接到主干道上的不同位置（包括路口），那么从空中俯瞰，这些道路将形成多少个不同的三角形地块？
4. （网购推荐）一个电商平台有1个主打商品A和10个关联商品B1-B10。页面推荐逻辑是：展示一个包含A和任意两个关联商品的“组合套装”。这基于“三角形推荐算法”（A与两个B关联性强，则两个B之间也可能关联）。那么平台最多能自动生成多少种不同的“组合套装”推荐方案？
5. （社交网络）在一个社群中，有一个核心人物K，他与社群内其他 \( n \) 个成员都是好友。如果“小圈子”定义为包括K在内且三人互为好友的三人组，那么这个社群中以K为核心的小圈子最多有多少个？这和数三角形模型有什么联系？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. \( C_{3}^{2} = 3 \)
2. （视图形而定，方法同）
3. \( C_{5}^{2} = 10 \)
4. 顶点1：\( C_{3}^{2}=3 \)，顶点2：\( C_{3}^{2}=3 \)，共 \( 6 \) 个。
5. （需具体分析，通常需确认哪些点共线作为有效底边）
6. 引出 \( 5 \) 条线，则底边有 \( 5 \) 个分点，分成 \( 6 \) 段，有效点 \( 6 \) 个，\( C_{6}^{2}=15 \)。
7. 底边有 \( n \) 个分点，有效点 \( n+1 \) 个，\( C_{n+1}^{2} = \frac{n(n+1)}{2} \)。
8. （四边形对角线分出4个小三角形）
9. 各层顶点到底边的点数依次为2,3,4,5。三角形数 = \( C_{2}^{2}+C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2} = 1+3+6+10 = 20 \)。
10. \( C_{10}^{2} = 45 \)。

第二关 & 第三关解析（节选）：

2-1. 包含“*”号，则“*”必须是三角形的一个顶点。锁定“*”为顶点，找出其所在的所有可能底边，分别计算线段数再相加。

3-1. AI生成三角形区域：即从6个特征点中任选2个与顶点组合。答案：\( C_{6}^{2} = 15 \) 种。

3-2. 卫星通信通道：即从8个中继站中任选2个。答案：\( C_{8}^{2} = 28 \) 个。

3-5. 社交小圈子：核心K已固定，问题等价于从n个成员中任选2个组成三人组。答案：\( C_{n}^{2} = \frac{n(n-1)}{2} \) 个。这正是数三角形模型的直接应用。

（注：其余挑战题解析思路类似，均强调锁定关键顶点进行分类计算，篇幅所限不全部展开。）