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十进制转二进制怎么算？短除法练习题与答案解析 | PDF下载

适用年级

奥数

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：进制转换：十转二 原理

  • 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你手里有一个数字大礼包（比如 \(13\)），但计算机只看得懂由 \(0\) 和 \(1\) 组成的“密码”。我们的任务，就是把这份“大礼包”一层层拆开，变成一串酷炫的二进制“代码”。怎么拆？就用“短除法”这把神奇的刀！每次除以 \(2\)，就像剥开一层包装纸，记录下余数（\(0\) 或 \(1\)）作为密码碎片。一直剥到礼包变成 \(0\) 为止。最后，把这些密码碎片从后往前倒着拼起来，就得到了最终的二进制密码！看我把 \(13\) 变成 \(1101\) 的秘密代码，就是这么酷。
  • 计算秘籍：
    1. 第一步：持续除以2，记录余数。 将十进制数不断除以 \(2\)，并记录每次的余数（\(0\) 或 \(1\)）。
      计算 \(13 \div 2 = 6 \cdots \mathbf{1}\) （余数 \(1\)）
      计算 \(6 \div 2 = 3 \cdots \mathbf{0}\) （余数 \(0\)）
      计算 \(3 \div 2 = 1 \cdots \mathbf{1}\) （余数 \(1\)）
      计算 \(1 \div 2 = 0 \cdots \mathbf{1}\) （余数 \(1\)）
      直到商为 \(0\) 时停止。
    2. 第二步：余数倒序排列。 将记录的余数从最后一次计算开始，自下而上（倒着）读出来。
      得到：\(1\) (最后) \(1\) \(0\) \(1\) (最前)
    3. 第三步：写出结果。 所以，\((13)_{10} = (1101)_{2}\)。
  • 阿星口诀：二除取余，倒序排列，零一密码，轻松解开！

阿星的“拆礼包”流程 (13 → 1101) 13 ÷2，取余1 6 ÷2，取余0 ...→0 余数栈： 1 0 1 1 倒着读 ↑

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：正着写余数。计算完 \(13\) 得到余数序列 \(1, 0, 1, 1\) 后，直接写成 \(1011\)。
    → ✅ 正解：必须倒序！ 最后一步的余数是最高位。要记住口诀“倒序排列”，正确结果是 \(1101\)。
  • ❌ 错误2：未除到商为0就停止。计算到商为 \(1\) 时 (\(1 \div 2 = 0 \cdots 1\))，觉得 \(1\) 不能再除而停止，漏掉了最后一个余数 \(1\)。
    → ✅ 正解：必须除到商为 \(0\) 才算结束。即使商是 \(1\)，也要再做一次 \(1 \div 2\)，得到商 \(0\) 和余数 \(1\)，这个余数至关重要。

🔥 三例题精讲

例题1：将十进制数 \(22\) 转换为二进制数。

📌 解析：

  1. \(22 \div 2 = 11 \cdots \mathbf{0}\)
  2. \(11 \div 2 = 5 \cdots \mathbf{1}\)
  3. \(5 \div 2 = 2 \cdots \mathbf{1}\)
  4. \(2 \div 2 = 1 \cdots \mathbf{0}\)
  5. \(1 \div 2 = 0 \cdots \mathbf{1}\)

将余数从下往上读：\(10110\)。

✅ 总结：按部就班除到商为 \(0\)，余数倒序就是答案。\((22)_{10} = (10110)_2\)。

例题2：将十进制数 \(63\) 转换为二进制数。观察结果有什么特点？

📌 解析：

  1. \(63 \div 2 = 31 \cdots \mathbf{1}\)
  2. \(31 \div 2 = 15 \cdots \mathbf{1}\)
  3. \(15 \div 2 = 7 \cdots \mathbf{1}\)
  4. \(7 \div 2 = 3 \cdots \mathbf{1}\)
  5. \(3 \div 2 = 1 \cdots \mathbf{1}\)
  6. \(1 \div 2 = 0 \cdots \mathbf{1}\)

余数全是 \(1\)，倒序后为 \(111111\)。

✅ 总结：\(63 = 2^6 - 1\)，这种“2的n次幂减1”的数，其二进制是 \(n\) 个连续的 \(1\)。\((63)_{10} = (111111)_2\)。

例题3：阿星有一个两位数的年龄，用二进制表示是一个六位数 \(1ab01c\)，其中 \(a, b, c\) 代表未知的 \(0\) 或 \(1\)。已知 \(c = 1\)，请问阿星多少岁？

📌 解析：

  1. 二进制数 \(1ab01c\) 已知 \(c=1\)，所以是 \(1ab011\)。
  2. 我们用“短除法”的逆过程——按权展开来反推十进制：
    \((1ab011)_2 = 1 \times 2^5 + a \times 2^4 + b \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
    \(= 32 + 16a + 8b + 0 + 2 + 1\)
    \(= 35 + 16a + 8b\)
  3. 因为阿星年龄是两位数，且 \(a, b\) 为 \(0\) 或 \(1\)，我们尝试：
    • 若 \(a=0, b=0\)，年龄 \(= 35\)。
    • 若 \(a=0, b=1\)，年龄 \(= 43\)。
    • 若 \(a=1, b=0\)，年龄 \(= 51\)。
    • 若 \(a=1, b=1\)，年龄 \(= 59\)。
  4. 所有结果都是两位数，符合条件。但通常“年龄”指比较小的数，且是例题，最可能的是 \(35\)。我们可以验证：\(35\) 转二进制：
    \(35 \div 2 = 17 \cdots 1\)
    \(17 \div 2 = 8 \cdots 1\)
    \(8 \div 2 = 4 \cdots 0\)
    \(4 \div 2 = 2 \cdots 0\)
    \(2 \div 2 = 1 \cdots 0\)
    \(1 \div 2 = 0 \cdots 1\)
    倒序得 \((100011)_2\)，即 \(1\ 0\ 0\ 0\ 1\ 1\)，所以 \(a=0, b=0, c=1\) 成立。

✅ 总结：进制转换可以正反双向运用。本题结合了二进制转十进制（按权展开）和十进制转二进制（短除法）进行验证。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 将你的年龄（假设12岁）转换为二进制数。
  2. 将楼层号 \(8\) 转换为二进制数。
  3. 将 \(5\) 转换为二进制数。
  4. 将 \(19\) 转换为二进制数。
  5. 将 \(30\) 转换为二进制数。
  6. 将 \(7\) 转换为二进制数。
  7. 将 \(25\) 转换为二进制数。
  8. 将 \(2\) 转换为二进制数。
  9. 将 \(15\) 转换为二进制数。
  10. 将 \(100\) 转换为二进制数。

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 将 \(127\) 转换为二进制数。
  2. 将 \(255\) 转换为二进制数。
  3. 一个数的二进制表示是 \(1001001\)，它是十进制多少？
  4. 将十进制数 \(2024\) 转换为二进制数。
  5. 已知 \((9)_{10} = (1001)_2\)，不计算，直接写出 \((18)_{10}\) 的二进制形式（提示：\(18=9\times2\)）。
  6. 一个二进制数，从右往左数第3位（从1开始）是1，这个位代表的十进制值是多少？
  7. 将 \(64\) 转换为二进制数。
  8. 十进制数 \(n\) 的二进制表示恰好有3个1，且 \(n < 20\)，求所有可能的 \(n\)。
  9. 将 \(47\) 转换为二进制数。
  10. 二进制数 \((110110)_2\) 和 \((101101)_2\)，哪个对应的十进制数更大？

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI与神经网络） 某个简易的神经网络有4层，每层的神经元数量用二进制配置分别为：第1层 \((1000)_2\) 个，第2层 \((100)_2\) 个，第3层 \((10)_2\) 个，第4层 \((1)_2\) 个。请问这四层实际各有多少个神经元？
  2. （航天指令） 地面向探测器发送一条开关指令，用8位二进制代码表示。如果“打开太阳能板”的指令是十进制数 \(21\) 的二进制形式，请写出这个8位指令码（不足8位前面补0）。
  3. （网购优惠） 某商品原价 \((10100)_2\) 元，限时折扣价 \((1111)_2\) 元，请问优惠了多少元？（请用十进制回答）
  4. （计算机存储） 我们知道 \(1KB = 1024\) 字节。请将 \(1024\) 转换为二进制数，并观察其特点。
  5. （权限管理） 一个系统的文件权限用3位二进制码表示，分别代表“读”、“写”、“执行”权限，1为允许，0为禁止。如果用户A的权限码是十进制数 \(6\) 的二进制形式，请问他拥有哪些权限？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：进制转换：十转二 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在于计算步骤，而在于对“基数”和“位权”概念的抽象理解。十进制中，数字“\(13\)”我们天然理解为 \(1\) 个十和 \(3\) 个一。但在转换时，我们需要跳出这种直觉，用数学定义去解构它：\(13 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)。短除法的本质，就是不断确定每个“\(2^n\)”位上的系数是 \(0\) 还是 \(1\)。“倒着写”之所以反直觉，是因为我们计算时从低位（\(2^0\)）的余数开始得到，但书写结果要从高位（\(2^n\)）开始。理解其背后的数理逻辑，而不仅是记忆步骤，是关键。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是连接古典算术与现代信息科学的基石。首先，它是最基本的数论思想——用不同基数表示数的实践。其次，它是理解计算机科学所有底层逻辑的起点，从数据存储到CPU运算。在数学上，它通向同余理论（短除法取余）、递归思想（不断除以2的过程）和指数、对数的实际应用（二进制位数 \(n\) 与数值大小 \(N\) 的关系约为 \(n \approx \log_2 N\)）。熟练掌握进制转换，能极大提升你的逻辑分解与重组能力。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！牢记并严格执行这个标准化操作流程（SOP）：

  1. 设问： “将 \((N)_{10}\) 转为二进制”。
  2. 列竖式： 写下短除法框架。
  3. 循环计算： 执行“\(商 \leftarrow N \div 2\)，记录余数 \(r\) (\(0\) 或 \(1\))，\(N \leftarrow 商\)”，直到 \(商 = 0\)。
  4. 反向输出： 将所有记录的余数，从最后一个到第一个，依次写出。

用公式化的语言描述：对于正整数 \(N\)，其二进制表示 \((b_k b_{k-1} ... b_1 b_0)_2\) 可通过递归关系 \(N = 2 \times Q_1 + b_0,\ Q_1 = 2 \times Q_2 + b_1,\ ... ,\ Q_{k-1} = 2 \times 0 + b_k\) 得到。无脑执行这个流程，就能保证100%正确。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \((12)_{10}\): \(12\div2=6\cdots0\), \(6\div2=3\cdots0\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((1100)_2\)
  2. \((8)_{10}\): \(8\div2=4\cdots0\), \(4\div2=2\cdots0\), \(2\div2=1\cdots0\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((1000)_2\)
  3. \((5)_{10}\): \(5\div2=2\cdots1\), \(2\div2=1\cdots0\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((101)_2\)
  4. \((19)_{10}\): \(19\div2=9\cdots1\), \(9\div2=4\cdots1\), \(4\div2=2\cdots0\), \(2\div2=1\cdots0\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((10011)_2\)
  5. \((30)_{10}\): \(30\div2=15\cdots0\), \(15\div2=7\cdots1\), \(7\div2=3\cdots1\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((11110)_2\)
  6. \((7)_{10}\): \(7\div2=3\cdots1\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((111)_2\)
  7. \((25)_{10}\): \(25\div2=12\cdots1\), \(12\div2=6\cdots0\), \(6\div2=3\cdots0\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((11001)_2\)
  8. \((2)_{10}\): \(2\div2=1\cdots0\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((10)_2\)
  9. \((15)_{10}\): \(15\div2=7\cdots1\), \(7\div2=3\cdots1\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((1111)_2\)
  10. \((100)_{10}\): \(100\div2=50\cdots0\), \(50\div2=25\cdots0\), \(25\div2=12\cdots1\), \(12\div2=6\cdots0\), \(6\div2=3\cdots0\), \(3\div2=1\cdots1\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((1100100)_2\)

第二关：奥数挑战

  1. \((127)_{10}\): \(127=2^7-1\) → \((1111111)_2\)
  2. \((255)_{10}\): \(255=2^8-1\) → \((11111111)_2\)
  3. \((1001001)_2 = 1\times2^6+0\times2^5+0\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+0\times2^1+1\times2^0 = 64+8+1=73\)
  4. \((2024)_{10}\): 计算得 \((11111101000)_2\)（过程略）
  5. \((18)_{10} = (9)_{10} \times 2\)，二进制 \(1001\) 左移一位（末尾加0）得 \((10010)_2\)。
  6. 从右往左第3位（\(2^{2}\)位），代表的十进制值是 \(4\)。
  7. \((64)_{10} = 2^6\) → \((1000000)_2\)
  8. 可能的 \(n\)：\((111)_2=7\), \((1011)_2=11\), \((1101)_2=13\), \((1110)_2=14\), \((10011)_2=19\)。但 \(n<20\)，所以是 \(7, 11, 13, 14, 19\)。
  9. \((47)_{10}\): \(47\div2=23\cdots1\), \(23\div2=11\cdots1\), \(11\div2=5\cdots1\), \(5\div2=2\cdots1\), \(2\div2=1\cdots0\), \(1\div2=0\cdots1\) → \((101111)_2\)
  10. \((110110)_2=54\), \((101101)_2=45\)，前者更大。

第三关：生活应用

  1. 第1层: \((1000)_2 = 8\)个；第2层: \((100)_2 = 4\)个；第3层: \((10)_2 = 2\)个；第4层: \((1)_2 = 1\)个。
  2. \((21)_{10} = (10101)_2\)，补足8位为 \(00010101\)。
  3. 原价: \((10100)_2=20\)元，折扣价: \((1111)_2=15\)元，优惠了 \(5\) 元。
  4. \((1024)_{10} = 2^{10}\)，二进制为 \(1\) 后面跟 \(10\) 个 \(0\)，即 \((10000000000)_2\)。
  5. \((6)_{10} = (110)_2\)。从高位到低位（读、写、执行）：1（允许读），1（允许写），0（禁止执行）。所以拥有读和写权限。

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