单项式乘多项式怎么算？不漏乘口诀与易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：单项式乘多项式 原理

• 核心概念：嗨，我是阿星！今天我们来玩一个“快递员派件”的游戏。想象一下，单项式 \( m \) 是一个勤劳的快递员，多项式 \( a+b+c \) 是一栋楼里的三户人家（\( a \) 家，\( b \) 家，\( c \) 家）。快递员 \( m \) 的任务是给每一户都派送一份完全相同的包裹。他的工作准则就是“不漏乘”！所以，\( m(a+b+c) = m \cdot a + m \cdot b + m \cdot c \)。记住，快递员要敲遍每一家的门，绝不能偷懒漏掉任何一户，这就是乘法分配律的核心。同时，快递员自己可能带着“正”能量或“负”能量（正号或负号），派件时要一起带给每家，所以要注意符号变化。
• 计算秘籍：
  1. 拆括号：用单项式去乘多项式的每一项。口诀：单乘多，项项顾。
  2. 定符号：牢记“同号得正，异号得负”的乘法规矩，确定每一项的符号。
  3. 算系数：将单项式的系数与多项式每一项的系数相乘。
  4. 算字母：字母部分按同底数幂的乘法法则计算（指数相加）。
  5. 合起来：将得到的一系列新的单项式用加号（或减号）连接起来。

  公式表示：\( m(a + b - c) = m \cdot a + m \cdot b + m \cdot (-c) = ma + mb - mc \)

• 阿星口诀：单项式乘多项式，分配律是门路。乘遍每一项，符号要记住，系数相乘指数加，最后结果不含糊！

📐 图形解析

我们可以用“面积模型”来可视化分配律 \( m(a+b) = ma + mb \)。想象一个长方形，它的总长度是 \( (a+b) \)，宽度是 \( m \)。它的总面积可以看作是两个小长方形面积之和。

总面积公式：\( S_{总} = m \times (a + b) \)

如图所示，大长方形被分成左右两块。左边蓝色区域面积为 \( m \times a \)，右边绿色区域面积为 \( m \times b \)。所以，总面积 \( S_{总} = m \times a + m \times b \)。这直观地证明了 \( m(a+b) = ma + mb \)，一个都不能“漏乘”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：漏乘。 计算 \( -2x(3x^2 - x) \) 时，只乘了第一项：\( -2x \cdot 3x^2 = -6x^3 \)，然后就结束了。
  ✅ 正解： 快递员必须派送两家！正确过程：\( -2x(3x^2 - x) = (-2x)\cdot(3x^2) + (-2x)\cdot(-x) = -6x^3 + 2x^2 \)。
• ❌ 错误2：符号定错。 计算 \( -3a(a-2b) \) 时，写成 \( -3a \cdot a + (-3a) \cdot (-2b) = -3a^2 - 6ab \)。错在第二项的符号。
  ✅ 正解： 仔细计算符号：\( -3a \cdot a = -3a^2 \)，\( -3a \cdot (-2b) = +6ab \)。所以结果是 \( -3a^2 + 6ab \)。牢记：负负得正。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算：\( 3a(a-2) \)
2. 计算：\( -4x(2x+5) \)
3. 计算：\( 5y(3y^2 - y + 1) \)
4. 计算：\( -2m(-m^3 + 4m) \)
5. 计算：\( \frac{1}{3}b(6b-9) \)
6. 计算：\( x(2x-5) + 3x(x+1) \) （提示：先分别乘，再合并）
7. 一个正方形的边长为 \( 4n \)，求它的周长和面积。
8. 计算：\( 0.5p(2p^2 - 8p + 10) \)
9. 计算：\( -a^2(5ab - 2b^2) \)
10. 计算：\( (t+1) \cdot 7t \) （提示：可交换位置，转化为 \( 7t(t+1) \)）

第二关：中考挑战（10道）

1. 化简：\( 2x(x-3) - (x-2)(3x) \)
2. 已知 \( A = 3x^2 - 2x \)，\( B = -4x \)，求 \( A \cdot B \) 的值。
3. 若 \( 2a(5a - b) = 10a^2 - 6a \)，则 \( b = \) ?
4. 化简求值：\( -3m(m^2 - m + 4) + 2m(m^2-6) \)，其中 \( m = -2 \)。
5. 一个三角形的底边长为 \( (4y+1) \)，这条底边上的高为 \( 3y \)，求三角形的面积。
6. 计算：\( -\frac{2}{5}xy^2 \cdot (15x - \frac{5}{2}y + 10xy) \)
7. 若 \( x^2 - 2x = 3 \)，求 \( x(x-2)(x+1) \) 的值。（提示：先单项式乘多项式）
8. 计算：\( (a^{n+1} - 2a^n) \cdot 3a^2 \) （n为正整数）
9. 已知长方形的长比宽的2倍多3，设宽为 \( k \)，用含 \( k \) 的式子表示长方形的面积。
10. 某同学计算 \( -2x(3x-5) \) 时，得到的结果是 \( -6x^2 + 10x \)，请判断他做得对吗？如果不对，请指出错误原因并改正。

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物预算】笔记本单价 \( x \) 元，钢笔单价是笔记本的2倍少5元。小明买了3本笔记本和2支钢笔，请用含 \( x \) 的式子表示他总共花费了多少钱？
2. 【工程速度】施工队甲每天修路 \( 2a \) 米，施工队乙每天修路 \( (3a-1) \) 米。两队合作5天，一共能修路多少米？
3. 【农业种植】一块梯形试验田，上底为 \( b \) 米，下底是上底的3倍，高是20米。用两种方法（直接公式法和分割法）表示它的面积，并证明它们等价。
4. 【快递运费】某快递公司省内首重 \( 1kg \) 以内收费 \( c \) 元，续重每 \( 0.5kg \) 收费 \( d \) 元（不足 \( 0.5kg \) 按 \( 0.5kg \) 计）。一个包裹重 \( (2.3)kg \)，请用含 \( c, d \) 的式子表示运费。（提示：\( 2.3kg \) 首重1kg，续重需要多少个 \( 0.5kg \)？）
5. 【装修预算】要给一个长方形房间铺设地板。房间长 \( (5p+4) \) 米，宽 \( 4p \) 米。地板砖是边长为 \( p \) 米的正方形。理论上至少需要多少块地板砖？（不考虑损耗，结果用含 \( p \) 的式子表示）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 3a^2 - 6a \)
2. \( -8x^2 - 20x \)
3. \( 15y^3 - 5y^2 + 5y \)
4. \( 2m^4 - 8m^2 \)
5. \( 2b^2 - 3b \)
6. \( 2x^2-5x + 3x^2+3x = 5x^2 - 2x \)
7. 周长 \( = 4 \times 4n = 16n \)，面积 \( = (4n)^2 = 16n^2 \)
8. \( p^3 - 4p^2 + 5p \)
9. \( -5a^3b + 2a^2b^2 \)
10. \( 7t^2 + 7t \)

第二关：中考挑战

1. \( 2x^2 - 6x - 3x^2 + 6x = -x^2 \)
2. \( -12x^3 + 8x^2 \)
3. \( 10a^2 - 2ab = 10a^2 - 6a \)，对比得 \( -2ab = -6a \)，所以 \( b=3 \)
4. 化简：\( -3m^3+3m^2-12m + 2m^3-12m = -m^3+3m^2-24m \)。代入 \( m=-2 \)：\( -(-8)+3\times4-24\times(-2) = 8+12+48=68 \)。
5. 面积 \( S = \frac{1}{2} \times (4y+1) \times 3y = \frac{1}{2} \times (12y^2+3y) = 6y^2 + \frac{3}{2}y \)
6. \( -6x^2y^2 + x y^3 - 4x^2 y^3 \)
7. \( x(x-2)(x+1) = x[(x-2)(x+1)] = x(x^2 -x -2) = x^3 - x^2 -2x \)。已知 \( x^2-2x=3 \)，原式 \( = x \cdot (x^2-2x) - x^2 = 3x - x^2 = -(x^2-3x) \)。由已知 \( x^2=2x+3 \) 代入亦可。
8. \( 3a^{n+3} - 6a^{n+2} \)
9. 长 \( = 2k+3 \)，面积 \( S = k(2k+3) = 2k^2 + 3k \)
10. 对。过程：\( -2x \cdot 3x = -6x^2 \)，\( -2x \cdot (-5) = +10x \)。

第三关：生活应用

1. 笔记本花费：\( 3x \)；钢笔单价：\( (2x-5) \)，钢笔花费：\( 2(2x-5) = 4x-10 \)；总花费：\( 3x + 4x - 10 = 7x - 10 \) (元)。
2. 甲队5天修 \( 5 \times 2a = 10a \) 米；乙队5天修 \( 5 \times (3a-1) = 15a - 5 \) 米；合计：\( (10a) + (15a - 5) = 25a - 5 \) (米)。
3. 直接公式法：面积 \( S = \frac{(b + 3b) \times 20}{2} = \frac{4b \times 20}{2} = 40b \)。
   
   分割法（看作一个平行四边形加一个三角形等，方法不唯一）：例如，可分割成一个底为 \( b \)、高20的平行四边形和一个底为 \( 2b \)、高20的三角形，面积 \( = b \times 20 + \frac{1}{2} \times 2b \times 20 = 20b + 20b = 40b \)。两者等价。
4. \( 2.3kg \) 中，首重1kg收费 \( c \) 元。续重 \( 1.3kg \)，需要 \( \lceil \frac{1.3}{0.5} \rceil = \lceil 2.6 \rceil = 3 \) 个计费单位。续重费 \( 3d \) 元。总运费 \( = c + 3d \) 元。
5. 房间面积 \( = 4p(5p+4) = 20p^2 + 16p \) 平方米。每块砖面积 \( = p^2 \) 平方米。需要砖数 \( = \frac{20p^2 + 16p}{p^2} = 20 + \frac{16}{p} \) (块)。（注意：\( p \) 是正数，但结果不一定为整数，实际问题中需进一取整）