单项式乘多项式怎么算？分配律深度解析与易错题通关指南专项练习题库

💡 阿星精讲：单项式乘多项式 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，你（单项式 \( m \) ）推着一个购物车去超市采购。你的购物车（括号）里装着三样东西：苹果 \( a \)、香蕉 \( b \)、橙子 \( c \)，记作 \( (a+b+c) \)。结账时，你不是只付一样东西的钱，而是要对每一样东西都付钱！这就是“分配律”。你的钱（系数、字母、指数）要公平地分配给购物车里的每一项：\( m \times a \)， \( m \times b \)， \( m \times c \)，最后把结果加起来：\( ma + mb + mc \)。记住，如果 \( m \) 是负的（比如 \(-3x\)），那就相当于你每拿一样东西，都要倒贴钱（符号要变哦）！
• 计算秘籍：
  1. 定符号：先看单项式的符号，它将决定后面每一项的“命运”。
  2. 分而治之：用单项式的系数乘多项式的每一项的系数。
  3. 字母搬家：把单项式的字母部分乘到每一项上（同底数幂相乘，指数相加）。
  4. 合并同类项：如果结果中有同类项，别忘了把它们合并。

  公式表示：\( m(a+b+c) = m \cdot a + m \cdot b + m \cdot c \)。

• 阿星口诀：单项式，乘多项式，分配律，来指路。逐项乘，别漏步，系数字母指数住，最后合并同类项，检查符号莫失误！

📐 图形解析

分配律可以用几何面积模型来直观理解。假设一个长方形的宽为 \( m \)，长被分割为三段 \( a \)、\( b \)、\( c \)。那么这个长方形的总面积等于三个小矩形面积之和。

总面积公式：\( S = m \times (a + b + c) = m \cdot a + m \cdot b + m \cdot c \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：漏乘项。例如：\( 2x(x^2 - 3x +1) = 2x^3 - 6x^2 \) (漏了 \( +1 \))。
  
  ✅ 正解：单项式必须与括号内每一项相乘。\( 2x(x^2 - 3x +1) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-3x) + 2x \cdot 1 = 2x^3 - 6x^2 + 2x \)。
• ❌ 错误2：符号错误。例如：\( -3a(a-2b) = -3a^2 - 6ab \) (第二项符号错误)。
  
  ✅ 正解：单项式的负号要分配给每一项。\( -3a(a-2b) = (-3a) \cdot a + (-3a) \cdot (-2b) = -3a^2 + 6ab \)。
• ❌ 错误3：指数运算错误。例如：\( x^2 \cdot x^3 = x^5 \) 是对的，但 \( x^2 \cdot (x^3 + y) = x^5 + y \) 是错的。
  
  ✅ 正解：字母部分只和同类项相乘。\( x^2 \cdot (x^3 + y) = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot y = x^5 + x^2y \)。\( y \) 的指数没有变。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算：\( 5x \cdot (2x - 3) \)
2. 计算：\( -3a \cdot (a^2 + 4a - 5) \)
3. 计算：\( \frac{1}{2}mn \cdot (4m - 8n) \)
4. 计算：\( 0.5y^2 \cdot (2y^3 - 6y + 10) \)
5. 化简：\( 2(x-3y) - 4x(1-y) \)
6. 化简：\( a(a+b-c) + b(a-b+c) \)
7. 先化简，再求值：\( 3x(x-2) - (x-1)(2x) \)，其中 \( x = -2 \)。（提示：后一项先用分配律）
8. 一个长方形的长为 \( (3a+2) \)，宽为 \( 2a \)，用代数式表示其面积。
9. 计算：\( -x \cdot (-x^2 + x - 1) \)
10. 判断正误并改正：\( 2y(y^2 - y + 3) = 2y^3 - 2y^2 + 3 \)

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( (-2a^2b)^3 \cdot (-\frac{1}{2}ab^2)^2 \)（提示：先算乘方，再用分配律）
2. 化简：\( 2x^2 - 3x(x - 2y) - (x - y)^2 \)（提示：完全平方公式）
3. 已知 \( A = 3x^2 - 2x + 1, B = -2x^2 + x - 3 \)，求 \( 2A - 3B \)。
4. 若 \( (x^2 + nx + 3)(x^2 - 2x + m) \) 的展开式中不含 \( x^2 \) 项和 \( x^3 \) 项，求 \( m, n \) 的值。（提示：考察特定项的系数）
5. 解方程：\( 3x(2x - 5) - 2(3x - 4) = 4(1 - x) \)
6. 已知 \( 2x-3=0 \)，求代数式 \( x(x^2-2) + x^2(5-x) - 9 \) 的值。
7. 如图，用不同方法表示校园草坪的面积，由此能得到什么恒等式？
   
8. 计算：\( (2x^{n+1} + 3x^n - 4x^{n-1}) \cdot (-5x^{2-n}) \)（结果用不含负整数指数幂的形式表示）
9. 若三角形的一边长为 \( 2a-b \)，这条边上的高为 \( 3a+2b \)，求这个三角形的面积。
10. 已知实数 \( a, b, c \) 满足 \( a+b+c=0 \)，求证：\( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)。（提示：从 \( c = -(a+b) \) 代入，并利用乘法公式展开）

第三关：生活应用（5道）

1. 【装修预算】小明家要铺地砖。客厅是一个长方形，长 \( (5x+2) \) 米，宽 \( 3x \) 米。每平方米地砖价格是 \( (2x-1) \) 元。请用代数式表示铺满客厅所需的总费用。
2. 【运动场设计】一个运动场由长方形和两个半圆组成。长方形的长为 \( 2a \)，宽为 \( b \)（也是半圆的直径）。跑道（阴影部分）的宽度为 \( d \)。请用代数式表示跑道内部的矩形区域的面积。
   
3. 【快递打包】一个立方体快递箱的棱长是 \( (x+3) \) cm。为了防震，需要在六个面都贴上厚度为 \( 1 \) cm的泡沫板。请用代数式表示贴完泡沫板后，整个包裹的外表面棱长。
4. 【农业灌溉】一块梯形试验田，上底为 \( a \) 米，下底为 \( (2a+4) \) 米，高为 \( h \) 米。如果每平方米每季需要浇水 \( k \) 升，请用代数式表示这块田一季的总需水量。
5. 【编程算法】在计算机图形学中，一个点 \( P(x, y) \) 经过矩阵 \( \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} \) 变换后得到新点 \( P'(x', y') \)，其变换规则为 \( x' = m \cdot x, y' = n \cdot y \)。如果要对一个三角形的三个顶点 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) 同时进行此变换，请写出新顶点坐标的表达式。这体现了什么数学原理？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 10x^2 - 15x \)
2. \( -3a^3 - 12a^2 + 15a \)
3. \( 2m^2n - 4mn^2 \)
4. \( y^5 - 3y^3 + 5y^2 \)
5. \( 2x-6y - 4x + 4xy = -2x -6y + 4xy \)
6. \( a^2+ab-ac + ab-b^2+bc = a^2 + 2ab - ac - b^2 + bc \)
7. 化简：\( 3x^2 - 6x - 2x^2 + 2x = x^2 - 4x \)。代入得 \( (-2)^2 - 4\times(-2) = 4 + 8 = 12 \)。
8. 面积 \( S = 2a(3a+2) = 6a^2 + 4a \)
9. \( x^3 - x^2 + x \)
10. 错误。正解：\( 2y^3 - 2y^2 + 6y \)（漏乘了常数项3）。

第二关：中考挑战

1. \( (-8a^6b^3) \cdot (\frac{1}{4}a^2b^4) = -2a^8b^7 \)
2. \( 2x^2 - 3x^2 + 6xy - (x^2 - 2xy + y^2) = -x^2+6xy - x^2+2xy-y^2 = -2x^2 + 8xy - y^2 \)
3. \( 2A = 6x^2 -4x+2 \)， \( 3B = -6x^2+3x-9 \)， \( 2A-3B = (6x^2-4x+2) - (-6x^2+3x-9) = 12x^2 -7x +11 \)
4. 展开后 \( x^3 \) 项：\( -2x^3 + n x^3 = (n-2)x^3 \)，令系数为0得 \( n=2 \)。\( x^2 \) 项：\( m x^2 + (-2n)x^2 + 3x^2 = (m-2n+3)x^2 \)，代入 \( n=2 \)，得 \( m-4+3=0 \)， \( m=1 \)。
5. \( 6x^2 -15x -6x +8 = 4 - 4x \) → \( 6x^2 -21x +8 -4 +4x=0 \) → \( 6x^2 -17x +4=0 \) → \( (3x-4)(2x-1)=0 \)， \( x_1=\frac{4}{3}, x_2=\frac{1}{2} \)。
6. 由 \( 2x-3=0 \) 得 \( x=1.5 \)。化简代数式：\( x^3-2x+5x^2-x^3-9 = 5x^2-2x-9 \)。代入 \( x=1.5 \)： \( 5\times(1.5)^2 - 2\times1.5 - 9 = 5\times2.25 -3 -9 = 11.25 -12 = -0.75 \)。
7. 恒等式：\( (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \)。（面积模型验证分配律的扩展）
8. \( -10x^{3} -15x^{2} + 20x^{1} = -10x^3 -15x^2 + 20x \)
9. 面积 \( S = \frac{1}{2} \cdot (2a-b) \cdot (3a+2b) = \frac{1}{2} (6a^2 + 4ab - 3ab - 2b^2) = \frac{1}{2} (6a^2 + ab - 2b^2) = 3a^2 + \frac{1}{2}ab - b^2 \)。
10. 证明：由 \( a+b+c=0 \) 得 \( c = -a-b \)。左边 \( = a^3+b^3+(-a-b)^3 = a^3+b^3 - (a+b)^3 \)。展开 \( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)。代入得：\( a^3+b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 = -3a^2b-3ab^2 = -3ab(a+b) \)。又因为 \( a+b = -c \)，所以原式 \( = -3ab(-c) = 3abc \)。证毕。

第三关：生活应用

1. 费用 = 面积 × 单价 = \( [3x(5x+2)] \cdot (2x-1) = (15x^2+6x)(2x-1) = 30x^3 -15x^2 +12x^2 -6x = 30x^3 -3x^2 -6x \) 元。
2. 跑道内部矩形长 = \( 2a - 2d \)，宽 = \( b - 2d \)。面积 = \( (2a-2d)(b-2d) = 2ab - 4ad - 2bd + 4d^2 \) 平方米。
3. 贴泡沫板后，每条棱长增加 \( 2 \) cm（因为两个对面各贴了1cm）。所以新的棱长为 \( (x+3+2) = (x+5) \) cm。
4. 梯形面积 = \( \frac{1}{2} \cdot (a + 2a+4) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (3a+4) \cdot h = \frac{3ah+4h}{2} \) 平方米。总需水量 = \( k \cdot \frac{3ah+4h}{2} = \frac{3akh+4kh}{2} \) 升。
5. 新顶点：\( A'(mx_1, ny_1), B'(mx_2, ny_2), C'(mx_3, ny_3) \)。这体现了线性变换中的数乘运算和分配律，即对每个坐标分量独立地进行缩放（乘以系数），这正是单项式乘多项式在二维坐标系统中的体现。