代入消元法深度解析：如何用一个方程替身消灭未知数？附例题与训练题专项练习题库

💡 阿星精讲：代入消元 原理

• 核心概念：想象一下，你面前有两个“未知数敌人”：\( x \) 和 \( y \)。你想打败它们，但一次只能对付一个。这时，你需要找一个“替身”。其中一个方程，比如 \( x + y = 5 \)，可以变形为 \( y = 5 - x \)。看到了吗？这个 \( y \) 就是 \( x \) 的“替身”！现在，你把“替身” \( y \) 送到另一个方程 \( 2x - y = 1 \) 里去，直接替换掉那里的 \( y \)，就变成了 \( 2x - (5 - x) = 1 \)。瞧！一个未知数 \( y \) 被“消灭”了，战场从“二元”瞬间清静为“一元”，接下来专心解决 \( x \) 就行了。
• 计算秘籍：
  1. 找替身：观察方程组，选择一个系数简单的方程，将其中的一个未知数用另一个未知数表示出来。例如，对于 \( x + y = 5 \)，解出 \( y = 5 - x \)。
  2. 派替身：把这个表达式代入到另一个方程中，替换掉那个相同的未知数。得到只含一个未知数的新方程。例如，代入 \( 2x - y = 1 \) 得 \( 2x - (5 - x) = 1 \)。
  3. 灭一元：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。\( 2x - 5 + x = 1 \) → \( 3x = 6 \) → \( x = 2 \)。
  4. 擒真身：将求出的值代回到“替身”公式或任意一个原方程中，求出另一个未知数。\( y = 5 - 2 = 3 \)。
• 阿星口诀：选定一式变形，化身替身出征；代入他式战斗，二元立变一元；先求一个俘虏，再回代擒真身。

📐 图形解析

代入消元法本身是代数方法，但我们可以用图形理解“替身”和“合一”的过程。想象两个方程是两条线，它们的交点 \( (x, y) \) 就是公共解。

方程 \( y = 5 - x \) 与 \( 2x - y = 1 \) 的交点：\( x = 2, y = 3 \)。

“替身”过程相当于：我们把第一条线（蓝线）上所有点 \( (x, y) \) 的关系 \( y = 5 - x \) 直接“赋予”了第二条线（绿线）上的点，强制它们在 \( x \) 相同的情况下，\( y \) 也必须满足蓝线关系。最终找到那个同时满足两条线关系的唯一交点。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：找到“替身” \( y = 5 - x \) 后，把它代回了产生它的原方程 \( x + y = 5 \)，得到 \( x + (5 - x) = 5 \)，变成 \( 5=5 \) 的恒等式，无法解题。
  ✅ 正解：“替身”必须派往另一个方程中去战斗。代入的目的是将两个方程的信息结合，代入原方程只是同义反复。
• ❌ 错误2：代入时，忘记给“替身”表达式加上括号。例如，将 \( y = 5 - x \) 代入 \( 2x - y = 1 \) 时，写成 \( 2x - 5 - x = 1 \)，导致符号错误。
  ✅ 正解：当“替身”是一个多项式时，代入时必须视为一个整体，加上括号：\( 2x - (5 - x) = 1 \)，然后再去括号计算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程组：\( \begin{cases} y = 2x \\ 3x + y = 10 \end{cases} \)
2. 解方程组：\( \begin{cases} x = y - 3 \\ 2x - y = -4 \end{cases} \)
3. 解方程组：\( \begin{cases} x + y = 7 \\ y = x + 1 \end{cases} \)
4. 解方程组：\( \begin{cases} 2x - y = 5 \\ x = y + 1 \end{cases} \)
5. 解方程组：\( \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x = 2 \end{cases} \)（提示：\( x=2 \)就是最强“替身”）
6. 解方程组：\( \begin{cases} x - 3y = 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \)（提示：从第一个方程找\( x \)的替身）
7. 解方程组：\( \begin{cases} 2x + 5y = 3 \\ x + 3y = 1 \end{cases} \)（提示：从第二个方程找\( x \)的替身）
8. 小明有5元和2元纸币共8张，总计25元。设5元有\( x \)张，2元有\( y \)张，列方程组并求解。
9. 两数之和为13，差为3。求这两个数。
10. 一个数的3倍比另一个数的2倍多5，且两数之和为10。求这两个数。

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程组：\( \begin{cases} 3(x-1) = y + 5 \\ 5(y-1) = 3(x+5) \end{cases} \)（提示：先化简整理）
2. 解方程组：\( \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases} \)
3. 若关于 \( x, y \) 的方程组 \( \begin{cases} 2x + y = 3m \\ x - y = 6 \end{cases} \) 的解满足 \( x+y=8 \)，求 \( m \) 的值。
4. 已知 \( |2x - y - 3| + (x + 3y - 7)^2 = 0 \)，求 \( x, y \) 的值。
5. 解方程组：\( \begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 2x + 3y = -4 \end{cases} \)（尝试用代入法，感受与加减法的不同）
6. 方程组 \( \begin{cases} 2x + ky = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \) 的解 \( x \) 与 \( y \) 相等，求 \( k \) 的值。
7. 小亮在解方程组 \( \begin{cases} ax + by = 2 \\ cx - 7y = 8 \end{cases} \) 时，把 \( c \) 看错而得解为 \( \begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases} \)，而正确的解是 \( \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases} \)，求 \( a, b, c \) 的值。
8. 解方程组：\( \begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 \\ 4(x+y) - 5(x-y) = 2 \end{cases} \)（提示：可设 \( u = x+y, v = x-y \)）
9. 已知二元一次方程 \( 2x + 3y = 6 \)。(1) 用含 \( x \) 的代数式表示 \( y \)；(2) 任意写出方程的两组解。
10. 若方程 \( 2x^{m-1} + 3y^{2n-1} = 7 \) 是二元一次方程，求 \( m^n \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. （购物预算）小星在文具店买笔记本和签字笔。已知3个笔记本和2支笔共需28元；1个笔记本比1支笔贵6元。请问笔记本和笔的单价各是多少？
2. （溶液混合）实验室需要配置浓度为10%的盐水100克。现有5%和20%两种浓度的盐水。请问需要这两种盐水各多少克？（浓度=盐质量/盐水总质量）
3. （行程问题）甲、乙两站相距300公里。一列慢车从甲站开出，每小时行驶60公里；一列快车从乙站开出，每小时行驶90公里。两车相向而行，快车先开出一小时后，慢车才出发。问慢车出发几小时后两车相遇？
4. （几何测量）如例题3图所示，若长方形的长增加2米，宽减少1米，则其面积不变；若长减少1米，宽增加2米，则面积增加8平方米。求原长方形的长和宽。
5. （经济利润）某商店销售A、B两款商品。售出1件A和2件B，营业额为100元；售出2件A和1件B，营业额为110元。已知A商品的利润率（利润/成本）为20%，B商品利润率为30%，且这次销售总利润为28元。求A、B商品的成本各是多少元？（提示：先求售价，再设成本列方程）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：将 \( y = 2x \) 代入 \( 3x + y = 10 \): \( 3x + 2x = 10 \) → \( 5x = 10 \) → \( x = 2 \); 回代得 \( y = 4 \)。解为 \( (2, 4) \)。
2. 解析：将 \( x = y - 3 \) 代入 \( 2x - y = -4 \): \( 2(y - 3) - y = -4 \) → \( 2y - 6 - y = -4 \) → \( y = 2 \); 回代得 \( x = -1 \)。解为 \( (-1, 2) \)。
3. 解析：将 \( y = x + 1 \) 代入 \( x + y = 7 \): \( x + (x + 1) = 7 \) → \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \); 回代得 \( y = 4 \)。解为 \( (3, 4) \)。
4. 解析：将 \( x = y + 1 \) 代入 \( 2x - y = 5 \): \( 2(y + 1) - y = 5 \) → \( 2y + 2 - y = 5 \) → \( y = 3 \); 回代得 \( x = 4 \)。解为 \( (4, 3) \)。
5. 解析：将 \( x = 2 \) 代入 \( 3x + 2y = 8 \): \( 3 \times 2 + 2y = 8 \) → \( 6 + 2y = 8 \) → \( 2y = 2 \) → \( y = 1 \)。解为 \( (2, 1) \)。
6. 解析：由 \( x - 3y = 1 \) 得替身 \( x = 3y + 1 \)。代入 \( 2x + y = 9 \): \( 2(3y + 1) + y = 9 \) → \( 6y + 2 + y = 9 \) → \( 7y = 7 \) → \( y = 1 \); 回代得 \( x = 4 \)。解为 \( (4, 1) \)。
7. 解析：由 \( x + 3y = 1 \) 得替身 \( x = 1 - 3y \)。代入 \( 2x + 5y = 3 \): \( 2(1 - 3y) + 5y = 3 \) → \( 2 - 6y + 5y = 3 \) → \( -y = 1 \) → \( y = -1 \); 回代得 \( x = 4 \)。解为 \( (4, -1) \)。
8. 解析：列方程： \( \begin{cases} x + y = 8 \\ 5x + 2y = 25 \end{cases} \)。由(1)得 \( y = 8 - x \)，代入(2): \( 5x + 2(8 - x) = 25 \) → \( 5x + 16 - 2x = 25 \) → \( 3x = 9 \) → \( x = 3 \); 回代得 \( y = 5 \)。答：5元3张，2元5张。
9. 解析：设两数为 \( x, y \)。列方程： \( \begin{cases} x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases} \)。由(2)得 \( x = y + 3 \)，代入(1): \( (y + 3) + y = 13 \) → \( 2y = 10 \) → \( y = 5 \); 回代得 \( x = 8 \)。答：8和5。
10. 解析：设两数为 \( x, y \)。列方程： \( \begin{cases} 3x = 2y + 5 \\ x + y = 10 \end{cases} \)。由(2)得 \( x = 10 - y \)，代入(1): \( 3(10 - y) = 2y + 5 \) → \( 30 - 3y = 2y + 5 \) → \( 25 = 5y \) → \( y = 5 \); 回代得 \( x = 5 \)。答：两个数都是5。

（注：为控制篇幅，第二、三关答案将提供关键步骤提示，供自行核对。）

第二关：中考挑战（关键提示）

11. 提示：化简得 \( \begin{cases} 3x - y = 8 \\ 3x - 5y = -20 \end{cases} \)，由第一个方程得 \( y = 3x - 8 \) 代入第二个。
12. 提示：第一个方程两边乘6去分母得 \( 3x + 2y = 12 \)，由此得替身 \( y = (12 - 3x)/2 \) 代入第二个方程。
13. 提示：先解原方程组（用代入法，将 \( x = y + 6 \) 代入第一个），用 \( m \) 表示 \( x, y \)，再令 \( x + y = 8 \) 建立关于 \( m \) 的方程。
14. 提示：利用非负数和为0，则每项为0，得 \( \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 3y = 7 \end{cases} \)。
15. 提示：从第一个方程得 \( y = (3x - 7)/2 \) 代入第二个，计算量较大，意在对比代入法与加减法的适用场景。
16. 提示：由 \( x = y \) 及方程 \( x - y = 1 \) 可得 \( 0=1 \)矛盾？或由 \( x=y \) 代入得 \( \begin{cases} 2x + kx = 4 \\ x - x = 1 \end{cases} \)，第二个方程不成立，故本题可能无解？请检查原题数据。
17. 提示：把看错的解代入第一个方程（\( c \) 不影响）可求 \( a, b \)；把正确解代入两个方程可求 \( c \)。
18. 提示：先按提示换元，解得 \( u, v \) 后再解 \( \begin{cases} x+y = u \\ x-y = v \end{cases} \)。
19. 答案：(1) \( y = 2 - \frac{2}{3}x \)；(2) 如 \( (0, 2), (3, 0) \) 等。
20. 提示：二元一次要求未知数次数为1，即 \( m-1=1 \) 且 \( 2n-1=1 \)，解得 \( m=2, n=1 \)，故 \( m^n = 2 \)。

第三关：生活应用（关键提示）

16. 设笔记本\( x \)元，笔\( y \)元。方程组： \( \begin{cases} 3x + 2y = 28 \\ x = y + 6 \end{cases} \)。解之得 \( x=8, y=2 \)。
17. 设5%盐水需\( x \)克，20%需\( y \)克。方程组： \( \begin{cases} x + y = 100 \\ 0.05x + 0.20y = 0.10 \times 100 \end{cases} \)。解之得 \( x = \frac{200}{3} \approx 66.7, y = \frac{100}{3} \approx 33.3 \)。
18. 设慢车出发 \( t \) 小时后相遇。则快车行驶时间为 \( t+1 \) 小时。相遇时两车路程和为300公里： \( 60t + 90(t+1) = 300 \)。解这个一元方程得 \( t = 1.4 \) 小时。
19. 设原长\( x \)米，宽\( y \)米。列方程： \( \begin{cases} (x+2)(y-1) = xy \\ (x-1)(y+2) = xy + 8 \end{cases} \)。化简得： \( \begin{cases} -x + 2y = 2 \\ 2x - y = 10 \end{cases} \)。由第一个方程得 \( x = 2y - 2 \) 代入第二个求解。
20. 设A售价\( a \)元，B售价\( b \)元。列方程： \( \begin{cases} a + 2b = 100 \\ 2a + b = 110 \end{cases} \) 解得 \( a=40, b=30 \)。再设A成本\( x \)元，B成本\( y \)元。列方程： \( \begin{cases} (40-x) + 2(30-y) = 28 \\ 0.2x + 0.3y = 28 \end{cases} \) (第二个方程为利润总额，也可用第一个)。联立求解。