代入消元法解题步骤及易错点深度解析：二元一次方程组怎么解专项练习题库

💡 阿星精讲：代入消元法 原理

• 核心概念：嘿，同学！你有没有想过，为什么一道题里会有 \( x \) 和 \( y \) 两个字母在打架？因为它们代表两个不同的“未知势力”，这就是“二元”。代入消元法，就是阿星的“合二为一”神功！简单说，就是在两个方程里，找到一个机会，把其中一个（比如 \( y \)）的“真身”——也就是用 \( x \) 表示它的式子——找出来。然后，把这个“真身”塞到另一个方程里去，代替原来的 \( y \)。你瞧，那个方程里就只剩下 \( x \) 一个“光杆司令”了，这不就“二元立马变一元”了吗？解决了 \( x \)，再回头把 \( y \) 找出来，大功告成！
• 计算秘籍：
  1. 寻踪觅迹：从两个方程中，挑一个简单的，把其中一个未知数（比如 \( y \)）用含另一个未知数（\( x \)）的式子表示出来。得到：\( y = \text{关于 } x \text{ 的式子} \)。
  2. 移花接木：把这个式子“代入”到另一个方程中，替换掉里面的 \( y \)。于是，第二个方程华丽变身，成为一个只关于 \( x \) 的一元一次方程。
  3. 单挑破敌：解这个一元一次方程，求出 \( x \) 的值。
  4. 顺藤摸瓜：把求得的 \( x \) 的值，代回第一步得到的那个式子（\( y = \text{...} \)），求出 \( y \) 的值。
  5. 验明正身：将求出的 \( x \)，\( y \) 值代入原方程组检验，确保无误。
• 阿星口诀：“二元打架太麻烦，找个替身往里换。替身换来一元显，逐个击破真简单！”

📐 图形解析

从图形上看，二元一次方程 \( ax + by = c \) 在坐标系中表示一条直线。一个二元一次方程组，就是寻找两条直线的交点。代入消元法的“合二为一”，可以理解为：先利用方程①，将交点的纵坐标 \( y \) 用横坐标 \( x \) 表示出来（即找到直线上点的通用关系），再把这个关系“代入”到方程②对应的直线中，去寻找同时满足两条直线关系的那个特殊的 \( x \)（即交点的横坐标）。

交点坐标公式（思想）：若从方程①得 \( y = kx + m \)，代入方程② \( ax + by = c \)，得 \( ax + b(kx + m) = c \)，解得 \( x_0 \)。这个过程在几何上就是寻找交点。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：代入时忘记加括号。例如，由 \( y = 2x - 1 \) 代入 \( 3x + 4y = 10 \) 时，写成 \( 3x + 4 \times 2x - 1 = 10 \)。
  ✅ 正解：代入的是一整个式子，必须看成一个整体，要加括号：\( 3x + 4 \times (2x - 1) = 10 \)。
• ❌ 错误2：消元不彻底。例如，从方程①得到 \( x = 3 - y \)，代入方程② \( 2x + 3y = 7 \) 后，得到 \( 2(3 - y) + 3y = 7 \)，解得 \( y = 1 \)。然后就结束了，忘了求 \( x \)。
  ✅ 正解：求出第一个未知数后，必须“顺藤摸瓜”，代回最开始的变形式中求另一个未知数：\( x = 3 - 1 = 2 \)。方程组的解是一对值 \( (x, y) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解方程组：\( \begin{cases} y = x \\ 2x + y = 9 \end{cases} \)
2. 解方程组：\( \begin{cases} x = 3y \\ x - y = 6 \end{cases} \)
3. 解方程组：\( \begin{cases} y = 2x + 1 \\ 5x - 3y = 0 \end{cases} \)
4. 解方程组：\( \begin{cases} 2x + y = 10 \\ y = x - 2 \end{cases} \)
5. 解方程组：\( \begin{cases} x + y = 7 \\ y = 2x - 5 \end{cases} \)
6. 用代入法解：\( \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x + y = 16 \end{cases} \)（提示：由第一个方程表示 \( x \)）
7. 用代入法解：\( \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x = 5 - 2y \end{cases} \)
8. 用代入法解：\( \begin{cases} 4x - y = 1 \\ y = 3x \end{cases} \)
9. 一个数的2倍比另一个数大5，且两数之和是13。求这两个数。
10. 小明买3支铅笔和2块橡皮花了9元。已知一支铅笔比一块橡皮贵1元。求铅笔和橡皮的单价。（设铅笔 \( x \) 元，橡皮 \( y \) 元）

第二关：中考挑战（10道）

1. 解方程组：\( \begin{cases} 3(x-1) = y + 5 \\ 5(y-1) = 3(x+5) \end{cases} \)（先化简）
2. 解方程组：\( \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \\ 3x - 4y = -2 \end{cases} \)（可先消分母，也可直接变形代入）
3. 若 \( |x - 2y| + (3x - 2y - 8)^2 = 0 \)，求 \( x \)， \( y \) 的值。（转化为方程组）
4. 解关于 \( x \)， \( y \) 的方程组：\( \begin{cases} 3x + 2y = 5a \\ x - y = a \end{cases} \)（用含 \( a \) 的式子表示解）
5. 已知关于 \( x \)， \( y \) 的方程组 \( \begin{cases} 2x + 3y = k \\ 3x + 2y = k+2 \end{cases} \) 的解满足 \( x + y = 8 \)，求 \( k \) 的值。
6. （与函数结合）若一次函数 \( y = kx + b \) 的图象经过点 \( A(2, 5) \) 和点 \( B(-1, -1) \)，求这个一次函数的解析式。（转化为关于 \( k \)， \( b \) 的方程组）
7. （几何综合）如图，在长方形 ABCD 中，\( AB \) 比 \( BC \) 长 \( 3 \) cm，对角线 \( AC \) 长为 \( 15 \) cm。求 \( AB \) 和 \( BC \) 的长度。（提示：设 \( AB = x \) cm, \( BC = y \) cm，利用勾股定理 \( x^2 + y^2 = 15^2 \)）
8. 解方程组：\( \begin{cases} 7x - 11y = 1 \\ 3x + 2y = 17 \end{cases} \)（选择系数较简单的 \( y \) 进行变形）
9. 已知 \( \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \) 是方程组 \( \begin{cases} mx + ny = 8 \\ nx - my = 1 \end{cases} \) 的解，求 \( m \)， \( n \) 的值。
10. （阅读理解）定义新运算：\( a \oplus b = 2a - b \)。例如：\( 3 \oplus 2 = 2\times3 - 2 = 4 \)。已知 \( x \oplus (3y) = 6 \)，且 \( (2x) \oplus y = 9 \)，求 \( x \) 和 \( y \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 采购方案：学校食堂计划购买一批食用油。如果买 \( 5 \) 桶大豆油和 \( 3 \) 桶花生油，需花费 \( 610 \) 元；如果买 \( 3 \) 桶大豆油和 \( 5 \) 桶花生油，需花费 \( 590 \) 元。求大豆油和花生油每桶的单价。
2. 行程问题：甲、乙两地相距 \( 180 \) 千米。一辆慢车从甲地驶往乙地，一小时后，一辆快车也从甲地出发沿同一道路驶往乙地，快车速度是慢车的 \( 1.5 \) 倍，结果两车同时到达乙地。求两车的速度。
3. 合金问题：有两种不同含量的合金，甲种合金含金 \( 90\% \)，乙种合金含金 \( 80\% \)。现在要配制含金 \( 82\% \) 的合金 \( 100 \) 克，需要甲、乙两种合金各多少克？
4. 工程协作：一项工程，甲队单独做 \( 10 \) 天完成，乙队单独做 \( 15 \) 天完成。现在甲队先单独做若干天后，乙队加入，两队又共同做了 \( 4 \) 天完成了全部工程。问甲队一共工作了几天？
5. 测量问题：要测量一座古塔的高度，在阳光下，测得一根长为 \( 2 \) 米的竹竿的影长为 \( 1.5 \) 米，同时测得古塔的影长有一部分落在地面（长 \( 21 \) 米），一部分落在旁边的建筑上（长 \( 3 \) 米）。求古塔的高度。（提示：画出示意图，利用相似三角形比例。设古塔高为 \( h \) 米，建立关于影长的方程）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases} \)（①代入②：\( 2x + x = 9 \)）
2. \( \begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases} \)（①代入②：\( 3y - y = 6 \)）
3. \( \begin{cases} x = 3 \\ y = 7 \end{cases} \)（①代入②：\( 5x - 3(2x+1)=0 \)， 解得 \( x=3 \)）
4. \( \begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases} \)（②代入①：\( 2x + (x-2) = 10 \)）
5. \( \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} \)（②代入①：\( x + (2x-5) = 7 \)）
6. \( \begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases} \)（由①得 \( x = 3 + 2y \)， 代入②：\( 3(3+2y) + y = 16 \)， 解得 \( y=1 \)， 回代 \( x=5 \)）
7. \( \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} \)（②代入①：\( 3(5-2y) + 2y = 7 \)， 解得 \( y=2 \)， 注意：此处计算应为 \( 15 - 6y + 2y = 7 \)， \( -4y = -8 \)， \( y=2 \)， 回代 \( x=1 \)。修正答案。）
8. \( \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases} \)（②代入①：\( 4x - 3x = 1 \)）
9. 设两数为 \( x \)， \( y \)。\( \begin{cases} 2x = y + 5 \\ x + y = 13 \end{cases} \)， 由①得 \( y = 2x - 5 \)， 代入②解得 \( x = 6 \)， \( y = 7 \)。
10. \( \begin{cases} 3x + 2y = 9 \\ x = y + 1 \end{cases} \)， 代入解得 \( y = 1.2 \)， \( x = 2.2 \)。铅笔 \( 2.2 \) 元，橡皮 \( 1.2 \) 元。

第二关 & 第三关解析（部分关键步骤）

第二关第1题：化简得 \( \begin{cases} 3x - y = 8 \\ 3x - 5y = -20 \end{cases} \)， 由①得 \( y = 3x - 8 \)， 代入②：\( 3x - 5(3x-8) = -20 \)， 解得 \( x = 5 \)， \( y = 7 \)。

第二关第7题：设 \( AB = x \), \( BC = y \)。则 \( \begin{cases} x = y + 3 \\ x^2 + y^2 = 225 \end{cases} \)。代入消元：\( (y+3)^2 + y^2 = 225 \)， 展开得 \( 2y^2 + 6y - 216 = 0 \)， 化简 \( y^2 + 3y - 108 = 0 \)， 解得 \( y = 9 \)（舍负）， \( x = 12 \)。

第三关第1题：设大豆油 \( x \) 元/桶，花生油 \( y \) 元/桶。\( \begin{cases} 5x + 3y = 610 \\ 3x + 5y = 590 \end{cases} \)， 可由①得 \( x = (610 - 3y)/5 \)， 代入②求解；或利用加减消元法更简便。解得 \( x = 80 \)， \( y = 70 \)。

第三关第5题：设塔高 \( h \) 米。根据相似，竹竿高/影长 = 塔高/塔影长，即 \( 2 / 1.5 = h / (21 + 3) \)。但注意，落在建筑上的 \( 3 \) 米是影子的垂直部分，实际相当于增加了塔的“可视”高度。更精确的模型是：塔在地面投影 \( 21 \) 米，对应塔高的一部分 \( h_1 \)；塔在建筑上的投影 \( 3 \) 米，意味着塔顶比建筑顶端高出 \( h_2 \)，且 \( h_2 / 3 = 2 / 1.5 \)， 得 \( h_2 = 4 \) 米。设建筑高为 \( b \) 米，则 \( h = b + 4 \)，且 \( b / 21 = 2 / 1.5 \)， 得 \( b = 28 \) 米。所以 \( h = 28 + 4 = 32 \) 米。本题需画图理解，本质是建立方程组：\( \begin{cases} h = b + 4 \\ b / 21 = 4 / 3 \end{cases} \) （其中 \( 4/3 = 2/1.5 \)）。