运算律的巧用：带符号搬家

你好！今天我们一起来学习一个让计算变简单的魔法技巧——「带符号搬家」。掌握了它，你就能像指挥家一样，灵活调整算式中数字的位置，让复杂的计算瞬间变得清晰、容易！

知识要点

1. 💡 核心概念

「带符号搬家」是指在只有同级运算（只有加法、减法，或者只有乘法、除法）的算式中，我们可以让一个数字连同它前面的运算符号一起移动到新的位置，而计算结果保持不变。

你可以把它想象成：每个数字都戴着一顶属于自己的“符号帽子”（+号或-号，×号或÷号）。当这个数字要“搬家”到算式的另一个位置时，它必须戴着这顶帽子一起走。

2. 📝 计算法则

步骤一：观察算式，确认是否是同级运算（只有加减，或只有乘除）。

步骤二：确定你想移动哪个数字，并看清它前面的符号是什么。

步骤三：移动这个数字和它前面的符号，到你想放的位置。

步骤四：重新计算移动后组合起来的简便算式。

3. 🎯 记忆口诀

数字要搬家，符号跟着它。前后换位置，结果不变哒！

4. 🔗 知识关联

这个技巧的本质是加法交换律、结合律和乘法运算律的灵活应用。它建立在你知道 \( a + b = b + a \)， \( a \times b = b \times a \) 的基础上。同时，它是未来学习代数运算、解方程时进行“移项”的重要基础。

易错点警示

❌ 错误1：移动数字时，丢了它的“符号帽子”。

错例：计算 \( 15 - 7 + 3 \)，想把 \( +3 \) 移到前面，写成 \( 15 + 3 - 7 \)，结果却写成了 \( 153 - 7 \)。

✅ 正解：移动时，数字和它前面的符号是一个整体。正确过程是：\( 15 - 7 + 3 = 15 + 3 - 7 \)。

❌ 错误2：在混合运算（如加减乘除混合）中胡乱搬家。

错例：计算 \( 12 - 3 \times 2 \)，认为可以把 \( -3 \) 搬到后面，变成 \( 12 \times 2 - 3 \)。

✅ 正解：“带符号搬家”只适用于同级运算。 \( 12 - 3 \times 2 \) 是减法和乘法混合，不能直接搬家。必须先算乘法 \( 3 \times 2 \)，得到 \( 12 - 6 = 6 \)。

❌ 错误3：在连减或连除中，搬家时弄错后面数字的符号。

错例：计算 \( 20 - 5 - 3 \)，想把 \( -5 \) 搬到最后，错误地写成 \( 20 - 3 - 5 \)。 (虽然这题巧合结果一样，但过程逻辑错误)。

✅ 正解：在只有加减的算式中，我们可以把每个数字连同它左边的符号看作整体。原式是 \( 20 - 5 - 3 \)，可以看作是 \( 20 + (-5) + (-3) \)。移动 \( (-5) \) 时，它带着“-”号，正确搬家后是 \( 20 - 3 - 5 \) 或 \( 20 + (-3) + (-5) \)。

三例题精讲

🔥 例题1：计算 \( 47 + 18 - 27 \)

📌 第一步：观察。这是一个只有加法和减法的同级运算算式。

📌 第二步：思考。发现 \( 47 \) 和 \( 27 \) 的尾数相同，如果先计算 \( 47 - 27 \) 会很简便。但 \( 27 \) 前面是减号，被 \( +18 \) 隔开了。

📌 第三步：搬家。我们可以让 \( -27 \) 带着它的减号“搬家”，和 \( 47 \) 靠在一起。算式变为：\( 47 - 27 + 18 \)。

📌 第四步：计算。 \( 47 - 27 = 20 \)， \( 20 + 18 = 38 \)。

✅ 答案： \( 38 \)

💬 总结：利用“带符号搬家”，可以把能凑整或尾数相同的数先结合起来计算，达到简便的目的。

🔥 例题2：计算 \( 2.5 \times 7 \div 0.4 \)

📌 第一步：观察。这是一个只有乘法和除法的同级运算算式。

📌 第二步：思考。 \( 2.5 \) 和 \( 0.4 \) 相乘可以得到整数1。但它们被 \( \times 7 \) 隔开了。

📌 第三步：搬家。让 \( \div 0.4 \) 带着它的除号“搬家”，和 \( 2.5 \) 靠在一起。算式变为：\( 2.5 \div 0.4 \times 7 \)。

📌 第四步：计算。 \( 2.5 \div 0.4 = 6.25 \)， \( 6.25 \times 7 = 43.75 \)。 (或者先算 \( 2.5 \times 7 = 17.5 \)，再 \( 17.5 \div 0.4 = 43.75 \)，搬家是为了计算更心算友好)。

✅ 答案： \( 43.75 \)

💬 总结：在乘除混合运算中，搬家可以让数字之间形成更便于口算的组合，比如凑整、化繁为简。

🔥 例题3：计算 \( 35 + 17 - 25 + 13 \)

📌 第一步：观察。同级运算（连加连减）。

📌 第二步：思考。这里有明显的“好朋友数”： \( 35 \) 和 \( 25 \)， \( 17 \) 和 \( 13 \)。我们希望把它们分别配对计算。

📌 第三步：搬家。进行两次“带符号搬家”。先把 \( -25 \) 移到 \( +35 \) 后面，再把 \( +13 \) 移到 \( +17 \) 后面。算式变为：\( 35 - 25 + 17 + 13 \)。

📌 第四步：计算。 \( (35 - 25) + (17 + 13) = 10 + 30 = 40 \)。

✅ 答案： \( 40 \)

💬 总结：面对多个数的加减混合，可以多次使用“带符号搬家”，将所有能简便计算的数重组，是结合律与交换律的综合应用。

练习题（10道）

用带符号搬家计算： \( 63 + 29 - 13 \)
用带符号搬家计算： \( 81 - 24 + 19 \)
用带符号搬家计算： \( 4.8 \times 5 \div 2.4 \)
用带符号搬家计算： \( 150 \div 25 \times 4 \)
用带符号搬家计算： \( 72 - 36 + 28 \)
用带符号搬家计算： \( 5.6 + 2.9 - 1.6 \)
用带符号搬家计算： \( 18 \times 7 \div 9 \)
计算： \( 45 + 67 - 35 + 33 \) （提示：两次搬家）
计算： \( 12.5 \times 8 \div 2.5 \div 4 \) （提示：多次搬家）
计算： \( 100 - 23 + 50 - 27 \)

奥数挑战（10道）

计算： \( 1 + 3 - 2 + 5 - 4 + 7 - 6 + \ldots + 99 - 98 \) （提示：每两项一组）
计算： \( 2024 - 2023 + 2022 - 2021 + \ldots + 2 - 1 \)
计算： \( 50 \times 125 \times 8 \times 2 \div 50 \div 8 \)
给算式 \( 10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1 \) 添上一个括号，使得结果最大。这个结果是多少？
计算： \( (1+3+5+\ldots+49) - (2+4+6+\ldots+50) \)
已知 \( a \bigodot b = a - b + 10 \)，求 \( 15 \bigodot (7 \bigodot 3) \) 的值。
计算： \( 999 \times 222 + 333 \times 334 \) （提示：把乘法看成连加，再用搬家思想重组）
在方框内填上“+”或“-”，使等式成立： \( 1 \square 2 \square 3 \square 4 \square 5 \square 6 = 3 \)
计算： \( 1-2+3-4+5-6+\ldots-98+99 \)
计算： \( 20 + 19 - 18 - 17 + 16 + 15 - 14 - 13 + \ldots + 4 + 3 - 2 - 1 \) （提示：四个数一组）

生活应用（5道）

【高铁出行】一列“复兴号”高铁从北京南站出发，车上原有乘客356人。济南西站上车128人，下车79人。列车长为了快速统计当前人数，他先算了 \( 356 - 79 \)，再加上128。请用“带符号搬家”解释他这样算的道理，并计算结果。
【航天发射】火箭发射前需要加注燃料。第一阶段加注 \( 15.6 \) 吨，第二阶段加注 \( 8.9 \) 吨，之后因为调整又抽回 \( 5.6 \) 吨。工程师为快速计算最终加注量，列式为 \( 15.6 - 5.6 + 8.9 \)。请说明这个算式的思路并计算。
【AI训练】一个AI模型训练一批数据需要 \( 4.8 \) 小时。为了提高效率，工程师将运算任务平均分给5个GPU同时处理。请用带符号搬家思路快速计算每个GPU需要处理的时间（列式： \( 4.8 \div 5 \) 小时，想想如何快速口算？）。
【环保回收】环保小队上午收集了 \( 47 \) 个塑料瓶，下午又收集了 \( 33 \) 个，但发现其中有 \( 27 \) 个不符合分类标准，需要拣出来。请用简便方法计算最终合格瓶子的数量。
【网购优惠】小明的购物车商品原价总额 \( 250 \) 元，他有一张“满200减30”的优惠券，店铺还提供“两件特定商品总价减15”的优惠。他先使用店铺优惠，再使用平台券。请列出最简便的算式计算他最终应付金额。（提示：思考付款顺序改变是否影响结果？）

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 63 - 13 + 29 = 50 + 29 = 79 \)

\( 81 + 19 - 24 = 100 - 24 = 76 \)

\( 4.8 \div 2.4 \times 5 = 2 \times 5 = 10 \)

\( 150 \times 4 \div 25 = 600 \div 25 = 24 \) （或 \( 150 \div 25 =6 \)， \( 6 \times 4=24 \)）

\( 72 + 28 - 36 = 100 - 36 = 64 \)

\( 5.6 - 1.6 + 2.9 = 4 + 2.9 = 6.9 \)

\( 18 \div 9 \times 7 = 2 \times 7 = 14 \)

\( (45 - 35) + (67 + 33) = 10 + 100 = 110 \)

\( (12.5 \div 2.5) \times (8 \div 4) = 5 \times 2 = 10 \)

\( (100 + 50) - (23 + 27) = 150 - 50 = 100 \)

【奥数挑战答案】

答案： 50 解析：原式 = \( (1-2)+(3-4)+(5-6)+ \ldots +(97-98)+99 \)。前面98个数，每两个一组，共49组，每组结果都是-1。所以 = \( (-1) \times 49 + 99 = -49 + 99 = 50 \)。

答案： 1012 解析：原式 = \( (2024-2023)+(2022-2021)+ \ldots +(2-1) \)。共2024个数，每两个一组，共1012组，每组结果都是1。所以 = \( 1 \times 1012 = 1012 \)。

答案： 2000 解析：原式 = \( (50 \div 50) \times (125 \times 8) \times (2 \div 8) \)… 这样不好。更好的搬家： = \( (50 \div 50) \times (125 \times 8) \times 2 \div 8 = 1 \times 1000 \times 2 \div 8 = 2000 \div 8 = 250 \)。更优： = \( 125 \times 2 \times (50 \times 8 \div 50 \div 8) = 250 \times 1 = 250 \)。 (答案应为250)

答案： 在10-9外加括号，结果最大，为5。 解析： \( (10-9)+8-7+6-5+4-3+2-1 = 1+1+1+1+1=5 \)。其他添法结果都会减小。

答案： -25 解析：原式 = \( (1-2)+(3-4)+(5-6)+ \ldots +(49-50) = (-1) \times 25 = -25 \)。

答案： 19 解析：先算 \( 7 \bigodot 3 = 7 - 3 + 10 = 14 \)。再算 \( 15 \bigodot 14 = 15 - 14 + 10 = 11 \)。 (注意：此题新定义运算，主要考察运算顺序，搬家思想体现在理解运算顺序可调整性上)

答案： 333000 解析： \( 999 \times 222 + 333 \times 334 = 333 \times 3 \times 222 + 333 \times 334 = 333 \times 666 + 333 \times 334 = 333 \times (666 + 334) = 333 \times 1000 = 333000 \)。这里“搬家”思想体现在把999分解成333×3，从而“搬”出公因数333。

答案： \( 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 = 3 \) (答案不唯一) 解析：尝试法，利用“带符号搬家”思想，总和为21，需要减到3，即减掉18。合理分配加减号。

答案： 50 解析：原式 = \( 1 + (-2+3) + (-4+5) + \ldots + (-98+99) = 1 + 1 \times 49 = 50 \)。

答案： 20 解析：原式 = \( (20+19-18-17) + (16+15-14-13) + \ldots + (4+3-2-1) \)。每组结果都是4。从1到20共20个数，4个数一组，共5组。所以 = \( 4 \times 5 = 20 \)。

【生活应用答案】

答案： 405人。 解析：原来算式是 \( 356 + 128 - 79 \)。列车长利用“带符号搬家”，先算 \( 356 - 79 \)，再加128，即 \( 356 - 79 + 128 \)。这样可以先算下车后的剩余人数 \( 277 \) 人，再加上车人数，思维更连贯。计算： \( 356 - 79 = 277 \)， \( 277 + 128 = 405 \)。

答案： 18.9吨。 解析：原过程是 \( 15.6 + 8.9 - 5.6 \)。工程师将“-5.6”搬到“+15.6”后面，先算 \( 15.6 - 5.6 = 10 \) (吨)，再加上 \( 8.9 \) 吨，得到 \( 18.9 \) 吨。这样避免了小数进位加法，口算更快捷。

答案： 0.96小时。 解析： \( 4.8 \div 5 \) 直接除不易口算。可以“搬家”思考，将除法转化为乘法： \( 4.8 \times \frac{1}{5} = 4.8 \times 0.2 \)。或者利用小数性质： \( 4.8 \div 5 = (4.8 \times 2) \div (5 \times 2) = 9.6 \div 10 = 0.96 \) (小时)。这里体现了运算转化的思想。

答案： 53个。 解析：合格数量 = 总收集数 - 不合格数 = \( (47 + 33) - 27 \)。利用“带符号搬家”思想，可以先算 \( 47 - 27 \)，再加33，即 \( 47 - 27 + 33 = 20 + 33 = 53 \) (个)。这样计算更简便。

答案： 205元。 解析：最终应付 = 原价 - 店铺优惠 - 平台券 = \( 250 - 15 - 30 \)。根据“带符号搬家”及运算律，先减哪个优惠结果都一样。简便计算： \( 250 - 30 - 15 = 220 - 15 = 205 \) (元)。这说明了在连续减去几个数时，顺序可以交换。

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