凑整法：9, 99, 999的秘密 - 学习资料

知识要点

💡 核心概念：

数字 9、99、999 看起来很特别，它们有一个共同的秘密：它们离一个“整”数（比如10、100、1000）非常非常近，只差1。比如，\( 99 = 100 - 1 \)。“凑整法”就是利用这个“差一点就满”的特点，把复杂的计算变得像“拼积木”一样简单快捷。它的核心思想是“先凑成容易算的整十、整百、整千数，然后再把多加的减掉，少加的加上”。

📝 计算法则：

当你遇到一个数加上或减去 9、99、999... 这样的数时，可以这样算：

1. 看伙伴：找到那个接近整十、整百、整千的数（如9、99、999）。
2. 凑成整：把这个数看作“整十、整百、整千数 减 1”。例如，\( 99 = 100 - 1 \)。
3. 变身算：把原来的算式按照“凑整”后的形式改写。
4. 调结果：如果是加法，凑整时“多加了几就要减掉几”；如果是减法，凑整时“多减了几就要加回几”。

🎯 记忆口诀：

“见九想到一，凑整再调整。加法多加了要减，减法多减了要加。”

🔗 知识关联：

这个方法和我们之前学过的加法的运算律（交换律、结合律）以及巧算“凑十法”紧密相连。它是“凑十法”的升级版，从“凑十”扩展到“凑百、凑千”，让我们能算得更快更准。

易错点警示

❌ 错误1： \( 456 + 99 = 456 + 100 = 556 \)

✅ 正解： \( 456 + 99 = 456 + 100 - 1 = 556 - 1 = 555 \) （提示：把99当成100加，多加了1，所以最后必须减去1。）

❌ 错误2： \( 302 - 99 = 302 - 100 = 202 \)

✅ 正解： \( 302 - 99 = 302 - 100 + 1 = 202 + 1 = 203 \) （提示：把99当成100减，多减了1，所以最后必须加回1。）

❌ 错误3： \( 87 + 999 = 87 + 1000 = 1087 \)

✅ 正解： \( 87 + 999 = 87 + 1000 - 1 = 1087 - 1 = 1086 \) （提示：999是离1000差1，不是差10或100，要看清它接近的是哪个整千数。）

三例题精讲

🔥 例题1： 计算 \( 123 + 99 \)

📌 第一步： 观察。99很接近整百数100。

📌 第二步： 凑整。把99看成 \( 100 - 1 \)。算式变成 \( 123 + 100 - 1 \)。

📌 第三步： 计算。先算 \( 123 + 100 = 223 \)，再算 \( 223 - 1 = 222 \)。

✅ 答案： \( 222 \)

💬 总结： “多加要减”。把加法里的99凑成100来加，因为多加了1，所以最后必须减去1。

🔥 例题2： 计算 \( 567 - 199 \)

📌 第一步： 观察。199很接近整百数200。

📌 第二步： 凑整。把199看成 \( 200 - 1 \)。但这里是减法，所以算式变成 \( 567 - (200 - 1) \)。

📌 第三步： 去括号调整。括号前面是减号，去掉括号要变号：\( 567 - 200 + 1 \)。

✅ 答案： \( 367 + 1 = 368 \)

💬 总结： “多减要加”。把减法里的199凑成200来减，因为多减了1，所以最后必须加回1。

🔥 例题3： 计算 \( 88 + 99 + 999 \)

📌 第一步： 观察。99接近100，999接近1000。

📌 第二步： 分别凑整。\( 99 = 100 - 1 \)，\( 999 = 1000 - 1 \)。算式变为 \( 88 + 100 - 1 + 1000 - 1 \)。

📌 第三步： 分组计算。先算整的数：\( 88 + 100 + 1000 = 1188 \)。再减去调整的数：\( 1188 - 1 - 1 = 1186 \)。

✅ 答案： \( 1186 \)

💬 总结： 多个数都接近整十、整百、整千时，可以分别对它们进行“凑整-调整”，然后合并计算。

练习题（10道）

1. \( 74 + 9 = \)
2. \( 132 + 99 = \)
3. \( 65 - 99 = \)
4. \( 301 - 199 = \)
5. \( 456 + 999 = \)
6. \( 1000 - 99 = \)
7. \( 27 + 18 + 99 = \) （提示：先把能凑整的放一起）
8. \( 150 - 49 - 51 = \) （提示：49和51分别接近50）
9. 学校图书馆有故事书287本，又新购进了99本，现在一共有多少本？
10. 小明的微信钱包里有205元，他买了一本价值99元的《百科全书》，钱包里还剩多少钱？

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( 9 + 99 + 999 + 9999 \)
2. 计算：\( 1999 + 199 + 19 \)
3. 计算：\( 2024 - 99 - 999 \)
4. 计算：\( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 + 101 \)（提示：观察配对，利用凑整思想简化）
5. 计算：\( 999 \times 7 + 111 \times 37 \)（提示：把999拆开看）
6. 一个数加上99，再减去101，结果是200。这个数是多少？
7. 求等差数列 1, 3, 5, 7, ..., 99 的和。（提示：首尾配对凑100）
8. 计算：\( 888 + 88 + 8 + 8888 + 88888 \)（提示：把它们都补成整万、整千...的数再减）
9. 定义一种新运算“☆”：a ☆ b = (a + 99) × (b - 99)。求 100 ☆ 200 的值。
10. 从1写到999，一共写了多少个数字“9”？（提示：分类统计个位、十位、百位上的9）

生活应用（5道）

1. （高铁） “复兴号”高铁的时速是350公里，而“和谐号”动车时速是251公里。复兴号比和谐号每小时快多少公里？（尝试用凑整法计算 \( 350 - 249 \) ）
2. （航天） 中国空间站每90分钟绕地球一圈。一天（24小时）大约能绕地球多少圈？（计算 \( 1440 \div 90 \) ，可以把90看作 \( 100 - 10 \) 来估算）
3. （AI与环保） 一个AI森林防火系统，原来每天处理999张图片。升级后，效率提高到原来的2倍。现在每天能处理多少张图片？
4. （网购） “双十一”购物节，爸爸想买一个原价799元的智能音箱，现在有“满500减100”的优惠券，爸爸实际需要支付多少钱？
5. （人口统计） 某城市2023年人口约999万，2024年计划吸引人才，希望总人口达到1010万。2024年需要净增人口约多少万？