牛吃草问题求原草量详解：公式推导、解题步骤与易错点解析-PDF题库下载
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2025-12-20
💡 阿星精讲：牛吃草：求原草量 原理
- 核心概念：想象一下，你有一个神奇的「水池」，这个水池就是我们的牧场。池子里的原草量，就是一开始池子里存的水量 \( S_0 \)。但这不是普通水池，它有个进水口（草在匀速生长），进水速度就是草的生长速度 \( v \)（单位：份/天）。同时，有一群牛在池边当“抽水机”，每头牛每天能吃固定份数的草，所以牛头数 \( N \) 就代表了总的“抽水”或消耗速度。关键在于：如果牛吃得比草长得快 (\( N > v \))，池子里的水（草）最终会被“抽干”（吃光）。阿星把整个过程总结为：原草量 = (牛头数 - 草长速) × 天数，即 \( S_0 = (N - v) \times T \)。这个公式意味着，在草被吃光的时间 \( T \) 内，牛总共吃掉的草量 \( N \times T \)，等于原有的草量 \( S_0 \) 加上这段时间新长出来的草量 \( v \times T \)。
- 计算秘籍：
- 设未知：设牧场原有草量为 \( S_0 \) 份，草每天均匀生长 \( v \) 份。
- 列方程：根据“牛吃光草”意味着“消耗量 = 原草量 + 新生草量”，对两组已知条件列出方程。
- 若有 \( N_1 \) 头牛， \( T_1 \) 天吃完：\( N_1 \times T_1 = S_0 + v \times T_1 \)
- 若有 \( N_2 \) 头牛， \( T_2 \) 天吃完：\( N_2 \times T_2 = S_0 + v \times T_2 \)
- 解速度：两式相减，消去 \( S_0 \)，解出草的生长速度 \( v \)。
\( (N_1 \times T_1) - (N_2 \times T_2) = v \times (T_1 - T_2) \)
所以 \( v = \frac{N_1 \times T_1 - N_2 \times T_2}{T_1 - T_2} \) - 求原量：将 \( v \) 代入任一方程，求出原草量 \( S_0 \)。
例如：\( S_0 = N_1 \times T_1 - v \times T_1 \)
- 阿星口诀：草长如进水，牛吃像放水。两组数据列方程，消元先求生长率，代入求出原草量，水池模型心中记。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：认为“牛头数”就是消耗速度，直接拿它乘以天数当作原草量。
✅ 正解：牛头数 \( N \) 是总消耗速度，但草自身还在以速度 \( v \) 增加。净消耗速度是 \( N - v \)，原草量 \( S_0 = (N - v) \times T \)。 - ❌ 错误2：列方程时，混淆“吃尽”条件。例如，10头牛20天吃完，错误地写成 \( 10 \times 20 = S_0 \)。
✅ 正解：“吃完”意味着牛吃的总量等于原草量加上这段时间新长的草量，必须写成 \( 10 \times 20 = S_0 + v \times 20 \)。
🔥 三例题精讲
例题1：一片草地，10头牛可以吃20天，15头牛可以吃10天。问：原草量可供多少头牛吃5天？（假设草匀速生长）
📌 解析：
- 设原草量 \( S_0 \) 份，草每天长 \( v \) 份。
- 根据题意列“水池方程”：
- \( 10 \times 20 = S_0 + 20v \) ➔ \( 200 = S_0 + 20v \)
- \( 15 \times 10 = S_0 + 10v \) ➔ \( 150 = S_0 + 10v \)
- 两式相减，消去 \( S_0 \)：\( (200 - 150) = (20v - 10v) \) ➔ \( 50 = 10v \) ➔ \( v = 5 \)（份/天）。
- 代入求 \( S_0 \)：\( S_0 = 200 - 20 \times 5 = 200 - 100 = 100 \)（份）。
- 设可供 \( x \) 头牛吃5天，则 \( 5x = S_0 + 5v = 100 + 5 \times 5 = 125 \) ➔ \( x = 25 \)（头）。
✅ 总结：经典二式求参法。先利用两组条件求出 \( v \) 和 \( S_0 \)，再代入目标情景列方程求解。
例题2：一片匀速生长的牧草，如果放养27头牛，6天吃尽；放养23头牛，9天吃尽。那么放养21头牛，几天吃尽？
📌 解析：
- 设原草量 \( S_0 \) 份，草每天长 \( v \) 份。
- 列方程：
- \( 27 \times 6 = S_0 + 6v \) ➔ \( 162 = S_0 + 6v \)
- \( 23 \times 9 = S_0 + 9v \) ➔ \( 207 = S_0 + 9v \)
- 两式相减：\( 207 - 162 = 9v - 6v \) ➔ \( 45 = 3v \) ➔ \( v = 15 \)（份/天）。
- 代入求 \( S_0 \)：\( S_0 = 162 - 6 \times 15 = 162 - 90 = 72 \)（份）。
- 设21头牛 \( T \) 天吃尽：\( 21 \times T = S_0 + T \times v = 72 + 15T \)。
移项得：\( 21T - 15T = 72 \) ➔ \( 6T = 72 \) ➔ \( T = 12 \)（天）。
✅ 总结：在求出 \( S_0 \) 和 \( v \) 后，将所求天数设为 \( T \) 列方程。核心仍是净消耗速度思想：\( 21 \) 头牛中，有 \( 15 \) 头“抵消”新草，剩下 \( 6 \) 头吃原草 \( 72 \) 份，故需 \( 72 \div 6 = 12 \) 天。
例题3（生活应用）：一个热门手机APP，其服务器在初始时刻承受着 \( S_0 \) 个用户请求的积压（原草量）。与此同时，新用户还在以恒定速度 \( v \) 发起请求（草在长）。现有两种应对方案：A方案（分配27台处理节点）需6小时清空请求；B方案（分配23台处理节点）需9小时清空。请问，如果要确保在12小时内清空请求，至少需要分配多少台处理节点？（每台节点处理请求的速度相同，相当于一头牛）
📌 解析：这完全是一个“牛吃草”模型。
- 由例题2结果可知：\( S_0 = 72 \)（万请求）， \( v = 15 \)（万请求/小时）。
- 设需要 \( x \) 台节点，要求在 \( T=12 \) 小时内“吃尽”请求。
列方程：\( x \times 12 = S_0 + 12 \times v = 72 + 12 \times 15 = 72 + 180 = 252 \) - 解得：\( x = 252 \div 12 = 21 \)（台）。
所以，至少需要21台处理节点。
✅ 总结：将“牛吃草”模型迁移到流量处理、资源消耗等现代场景，关键在于识别出“初始积压量”（原草量）和“恒定新增速率”（草长速），解题思路完全一致。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 一片草地，12头牛吃25天，10头牛吃30天。求每天草的生长量是原草量的几分之几？
- 一个牧场，草匀速生长。24头牛6天吃完，21头牛8天吃完。问：16头牛几天吃完？
- 一口井，井底有泉水匀速涌出。用6台抽水机20小时抽干，用8台抽水机15小时抽干。问：用几台抽水机5小时可抽干？
- 火车站检票口，排队人数匀速增加。开4个检票口30分钟检完，开5个检票口20分钟检完。问：开7个检票口几分钟检完？
- 一片草地，可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天。问：这片草地每天新长的草可供几头牛吃1天？
- 一个水池，有一根进水管匀速进水。用5台排水管10小时排空，用7台排水管5小时排空。问：进水管每小时进水速度是几台排水管的排水速度？
- 牧场上有一片青草，每天匀速生长。这些草可供20头牛吃10周，或供18头牛吃12周。那么可供11头牛吃多少周？
- 画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众一样多。开3个入场口，9点9分就不再有人排队；开5个入场口，9点5分就没人排队。问：第一个观众到达时是几点几分？
- 一艘船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速流入船内。如果用12人舀水，3小时舀完；如果用5人舀水，10小时舀完。问：如果想在2小时内舀完，需要多少人？
- 一块草地，草匀速生长。如果放25只羊，可以吃8天；如果放21只羊，可以吃12天。问：每只羊每天吃草量相同，这块草地可供30只羊吃多少天？
第二关：奥数挑战（10道）
- 有三块草地，面积分别为 \( 4 \) 公顷、 \( 8 \) 公顷和 \( 10 \) 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 \( 24 \) 头牛吃 \( 6 \) 周，第二块草地可供 \( 36 \) 头牛吃 \( 12 \) 周。问：第三块草地可供 \( 50 \) 头牛吃几周？
- 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两位性急的孩子从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 \( 20 \) 级台阶，女孩每分钟走 \( 15 \) 级台阶，结果男孩用 \( 5 \) 分钟到达楼上，女孩用了 \( 6 \) 分钟。问：该扶梯静止时，有多少级台阶？
- 一个水池，池底有泉水均匀涌出。若用 \( 8 \) 台抽水机 \( 10 \) 小时能把水抽干，用 \( 12 \) 台抽水机 \( 6 \) 小时能把水抽干。那么，用 \( 14 \) 台抽水机几小时能把水抽干？
- 一片牧草，每天匀速生长。现在这片牧草可供 \( 27 \) 头牛吃 \( 6 \) 天，或可供 \( 23 \) 头牛吃 \( 9 \) 天。那么，可供 \( 21 \) 头牛吃几天？（与例题2同型，检验）
- 某超市开张，顾客排队结账。若开通 \( 4 \) 个收银台， \( 30 \) 分钟无人排队；若开通 \( 6 \) 个收银台， \( 20 \) 分钟无人排队。现在要 \( 15 \) 分钟就无人排队，需开通几个收银台？
- 一个牧场，草每天匀速生长。如果放 \( 24 \) 头牛，则 \( 6 \) 天吃完牧草；如果放 \( 21 \) 头牛，则 \( 8 \) 天吃完。问：要使牧草永远吃不完，最多放多少头牛？
- 某水库原有水量一定，河水每天均匀入库。 \( 5 \) 台抽水机连续 \( 20 \) 天可抽干， \( 6 \) 台同样的抽水机连续 \( 15 \) 天可抽干。若要求 \( 6 \) 天抽干，需要多少台同样的抽水机？
- 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内。发现漏洞时，船内已进了一些水。如果用 \( 12 \) 人舀水， \( 3 \) 小时舀完；如果用 \( 5 \) 人舀水， \( 10 \) 小时舀完。现在想 \( 2 \) 小时舀完，需要多少人？
- 一片草地，可供 \( 5 \) 头牛吃 \( 40 \) 天，或供 \( 6 \) 头牛吃 \( 30 \) 天。如果 \( 4 \) 头牛吃了 \( 30 \) 天后，又增加 \( 2 \) 头牛一起吃，还可以再吃几天？
- 某游乐场在开门前 \( 400 \) 人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入口每分钟可以进 \( 10 \) 个游客。如果开放 \( 4 \) 个入口， \( 20 \) 分钟后就没有人排队；现在开放 \( 6 \) 个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
第三关：生活应用（5道）
- （AI算力调度）某AI训练任务初始有 \( S_0 \) 个计算单元等待处理（原草量），同时新的任务单元以恒定速率 \( v \) 产生。已知调用 \( 100 \) 块GPU可在 \( 6 \) 小时处理完，调用 \( 80 \) 块GPU可在 \( 9 \) 小时处理完。若想保证在 \( 4.5 \) 小时内处理完，至少需调用多少块GPU？
- （物流仓储）一个智能仓库，初始有 \( S_0 \) 件包裹积压（原草量），同时传送带以恒定速率 \( v \) 送来新包裹。现有A、B两种分拣机器人方案：A方案投入 \( m \) 台， \( a \) 小时清空；B方案投入 \( n \) 台， \( b \) 小时清空。请推导出计算 \( S_0 \) 和 \( v \) 的通用公式（用 \( m, n, a, b \) 表示）。
- （社交媒体热度）一个话题的初始热度值为 \( S_0 \)，同时它以每小时 \( v \) 点的速度自然增长。现有两个营销策略：策略A（投入 \( 27 \) 个“热推”）可在 \( 6 \) 小时内消耗完所有热度（即讨论平息）；策略B（投入 \( 23 \) 个“热推”）需 \( 9 \) 小时。问：投入 \( 21 \) 个“热推”，几小时能平息讨论？
- （碳中和场景）一片森林的碳储量初始为 \( S_0 \) 吨（原草量）。每年通过生长能固碳 \( v \) 吨（草在长）。某地区有两个减排方案：方案一（相当于派 \( N_1 \) 头“牛”去消耗，如发展工业）会在 \( T_1 \) 年后使森林碳储量归零；方案二（消耗速度为 \( N_2 \) ）会在 \( T_2 \) 年后归零。请问，若要实现 \( T_3 \) 年达到碳中和（碳储量归零），我们的“净消耗速度”应控制在多少？请用公式表示。
- （云服务器弹性伸缩）某云服务后台日志显示：在 \( t=0 \) 时积压了 \( S_0 \) 条待处理日志。日志以恒定速率 \( v \) 产生。监控系统两次采样发现：在 \( 6 \) 分钟后，若分配 \( 27 \) 个计算容器，积压可清零；在 \( 9 \) 分钟后，若分配 \( 23 \) 个计算容器，积压可清零。假设你可以随时调整容器数量，请设计一个策略：从 \( t=0 \) 开始，应如何动态调整容器数量，才能在始终无积压的情况下，使总容器使用量最小？并求出这个最小数量。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：牛吃草：求原草量 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点在于“动态平衡”的抽象性。学生习惯静态问题（如工程问题），但“牛吃草”引入了时间维度上的持续变化量（草在长）。这需要同时考虑初始状态 \( S_0 \)、增加速率 \( v \) 和减少速率 \( N \)** 三者关系。阿星的“水池模型”正是为了将这种动态过程可视化，把抽象的“生长”变成具象的“进水”，帮助大脑建立模型。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是微分方程思想的启蒙！牛吃草问题本质是求解一个最简单的线性微分方程：存量 \( S \) 的变化率 \( \frac{dS}{dt} = v - N \)。其中 \( v \) 是生长率（源）， \( N \) 是消耗率（汇）。我们求解 \( S(t) = S_0 + (v - N)t = 0 \) 的时刻 \( t \)。它训练了“列方程描述动态系统”的核心数学能力，对未来学习物理、经济学、计算机科学中的任何增长/衰减模型（如人口模型、资本复利、缓存淘汰）都至关重要。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！牢记并执行以下标准化四步法：
- 设未知：设原草量 \( S_0 \)，草日（时）生长量 \( v \)。
- 列方程：对每组“几头牛几天吃完”的条件，列出方程：\( N_i \times T_i = S_0 + v \times T_i \)。
- 解方程：两式相减，消去 \( S_0 \)，解出 \( v = \frac{N_1T_1 - N_2T_2}{T_1 - T_2} \)。
- 代回求索：将 \( v \) 代回任一方程求 \( S_0 \)，再根据问题所求（求牛数、天数或其他）列第三个方程求解。
万变不离其宗，核心公式永远是 \( \text{总消耗} = \text{原量} + \text{新增量} \)。
答案与解析
第一关 部分解析：
- 设原草量 \( S_0 \)，草日长 \( v \)。由 \( 12 \times 25 = S_0 + 25v \) 和 \( 10 \times 30 = S_0 + 30v \) 相减得 \( 0 = -5v \)？检查：\( 300 - 300 = 0 \)， \( 25v - 30v = -5v \)，所以 \( 0 = -5v \)， \( v=0 \)。此题数据特殊，草不长。原草量 \( S_0 = 300 \)。所求为 \( v/S_0 = 0/300 = 0 \)。
- 设原草量 \( S_0 \)，日长 \( v \)。列式：\( 24\times6=S_0+6v \)， \( 21\times8=S_0+8v \)。相减：\( (144-168) = (6v-8v) \) ➔ \( -24 = -2v \) ➔ \( v=12 \)。代入：\( S_0=144-6\times12=72 \)。设16头牛吃 \( T \) 天：\( 16T=72+12T \) ➔ \( 4T=72 \) ➔ \( T=18 \)（天）。
第二关 第1题解析（典型面积变化）：
设每公顷原有草量 \( s_0 \)，每公顷每周长草 \( v \)。
对于 \( 4 \) 公顷草地：总原草量 \( 4s_0 \)，每周总长草 \( 4v \)。\( 24 \) 头牛吃 \( 6 \) 周：\( 24 \times 6 = 4s_0 + 6 \times (4v) \) ➔ \( 144 = 4s_0 + 24v \) …(1)
对于 \( 8 \) 公顷草地：总原草量 \( 8s_0 \)，每周总长草 \( 8v \)。\( 36 \) 头牛吃 \( 12 \) 周：\( 36 \times 12 = 8s_0 + 12 \times (8v) \) ➔ \( 432 = 8s_0 + 96v \) …(2)
(1)式乘以2：\( 288 = 8s_0 + 48v \) …(3)
(2)-(3)：\( 144 = 48v \) ➔ \( v = 3 \)。
代入(1)：\( 144 = 4s_0 + 24 \times 3 = 4s_0 + 72 \) ➔ \( 4s_0 = 72 \) ➔ \( s_0 = 18 \)。
对于 \( 10 \) 公顷草地：总原草量 \( 10 \times 18 = 180 \)，每周总长草 \( 10 \times 3 = 30 \)。
设 \( 50 \) 头牛吃 \( W \) 周：\( 50W = 180 + 30W \) ➔ \( 20W = 180 \) ➔ \( W = 9 \)（周）。
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