[考前冲刺：八年级数学几何：全等三角形判定公式大全及压轴题训练 | 星火网]专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：几何：全等三角形判定 核心考点速记
【开篇语：本考点是八年级几何的基石，期末试卷中必考！通常会以选择题或填空题考查基本判定，并作为工具出现在几何证明大题（至少占6-8分）中。搞定它，几何部分就稳了一半！】
- 必背概念：全等三角形的“SSA是假货”！阿星提醒你：判定两个三角形全等，初中阶段有且只有五把“尚方宝剑”：SSS（三边）、SAS（两边及其夹角）、ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及非夹边），以及专门用于直角三角形的HL（斜边和一条直角边）。记住，“边边角（SSA）”不能作为判定依据，因为它确定不了唯一三角形，是“假证”！
- 阿星顺口溜：“全等判定五把刀，三边（SSS）两边角（SAS）。两角夹边（ASA）和角角（AAS），直角三角形用HL（斜边直角边）。边边角（SSA）是个大骗子，见到它要绕道跑！”
- 万能公式（判定条件）：
- SSS: 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，若 \(AB = DE, BC = EF, CA = FD\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
- SAS: 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，若 \(AB = DE, \angle A = \angle D, AC = DF\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
- ASA: 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，若 \(\angle A = \angle D, AB = DE, \angle B = \angle E\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
- AAS: 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，若 \(\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, BC = EF\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
- HL: 在 \(Rt\triangle ABC\) 和 \(Rt\triangle DEF\) 中，若 \(\angle C = \angle F = 90^\circ\)，且 \(AB = DE, AC = DF\)，则 \(Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF\)。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解（陷阱1：滥用“SSA”）：在证明 \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\) 时，仅因为 \(AB=AD\)， \(AC=AC\)（公共边）， \(\angle B=\angle D\)，就草率得出结论。这就是典型的“SSA”错误！（边-边-角对应相等）
- ✅ 满分规范：必须明确写出使用的是哪个判定定理，并且条件必须严格对应。例如，若要使用SAS，必须指明是“两边及其夹角”相等，公共边的夹角往往是关键。对于上面的陷阱，应设法寻找或证明 \(\angle BAC=\angle DAC\) 或 \(BC=DC\)，从而转化为SAS或SSS。
- ❌ 常见错解（陷阱2：证明格式混乱）：把三个条件散乱地写在文中，不按对应顶点顺序排列，或在直角三角形中直接写“HL”而不指明“Rt△”和“斜边、直角边”分别是什么。
- ✅ 满分规范：证明必须规范。格式范例：“在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，∵ \(\begin{cases} AB=DE & (已知) \\ \angle A=\angle D & (已知) \\ AC=DF & (已证) \end{cases}\) ∴ \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (SAS)。” 使用HL时，必须先声明“在 \(Rt\triangle ABC\) 和 \(Rt\triangle DEF\) 中”。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：下列条件中，不能判定 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 的是 ( )。
A. \(AB=DE, \angle A=\angle D, AC=DF\)
B. \(AB=DE, \angle B=\angle E, BC=EF\)
C. \(\angle A=\angle D, AB=DE, \angle B=\angle E\)
D. \(AB=DE, BC=EF, \angle C=\angle F\)
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【识别考点】本题考查对五大判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）的准确理解，重点排查“SSA”陷阱。
- 第二步：【快速求解】逐一分析：A项是SAS（两边夹角）；B项是“边边角”（SSA），是假货；C项是ASA（两角夹边）；D项，虽然 \(\angle C\) 和 \(\angle F\) 不是夹角，但已知两边对应相等，若第三角也相等，则可通过AAS（由三角形内角和为 \(180^\circ\) 可推出 \(\angle A=\angle D\)）判定，所以D可以判定。因此不能判定的是B。
✅ 答案：B
模型 2：翻折与公共边模型（中档证明）
题目：如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，\(AB=DE\)， \(AB \parallel DE\)， \(BF=CE\)。求证：\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【识别考点】图形本质是“公共线段重叠模型”。由 \(BF=CE\)，可得公共部分 \(FC=FC\)，从而推出关键边 \(BC=EF\)。
- 第二步：【快速求解】由 \(AB \parallel DE\) 可推出 \(\angle B = \angle E\)（内错角相等）。此时，条件为：\(AB=DE\)， \(\angle B=\angle E\)， \(BC=EF\)，这恰好满足SAS判定条件。注意，这里千万不能错用“SSA”（即用 \(AB=DE\), \(BC=EF\) 和 \(\angle C=\angle F\)）。
模型 3：截长补短与旋转模型（压轴证明）
题目：在四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle BAD = \angle BCD = 90^\circ\)， \(AB=AD\)。若四边形 \(ABCD\) 的面积为12，求线段 \(AC\) 的长度。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：【识别考点】本题是“等线段共端点”的典型旋转模型。\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADC\) 虽然满足 \(AB=AD\)， \(AC=AC\)， \(\angle B=\angle D=90^\circ\)，但这是“SSA”，无法直接证明全等。
- 第二步：【快速求解】通过旋转思想，将 \(\triangle ABC\) 绕点A逆时针旋转 \(90^\circ\)，可以使AB与AD重合。此时，需要连接BD，证明新的三角形全等（本质是补全图形，构造出全等三角形），进而发现四边形 \(ABCD\) 的面积等于等腰直角三角形 \(ACE\)（E为旋转后C的对应点）面积的一半，从而求出AC。这个模型的核心是通过旋转，将分散的条件集中，构造出全等三角形。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 如图，\(AC=DF\)， \(BC=EF\)， 根据______可以判定 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 在 \(Rt\triangle ABC\) 和 \(Rt\triangle DEF\) 中，\(\angle C = \angle F = 90^\circ\)， 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）。A. \(AC=DF, AB=DE\) B. \(AC=DF, BC=EF\) C. \(\angle A=\angle D, AB=DE\) D. \(\angle B=\angle E, BC=EF\)
- 已知 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)，且 \(\angle A=85^\circ\)， \(\angle B=35^\circ\)， 则 \(\angle F =\) ______°。
- 判断题：有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。（ ）
- 如图，已知 \(\angle 1 = \angle 2\)， 请添加一个条件______（写出一个即可），使得 \(\triangle ABC \cong \triangle ABD\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 如图，点B、E、C、F在同一直线上，\(AB=DE\)， \(AC=DF\)， \(BE=CF\)。 求证：\(\angle A = \angle D\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 如图，\(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 是中线， \(CF \perp AD\) 于F， \(BE \perp AD\) 交AD的延长线于E。 求证：\(CF = BE\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 如图，在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADE\) 中，\(AB=AC\)， \(AD=AE\)， \(\angle BAC=\angle DAE\)， 点B、D、E在同一直线上。 求证：\(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 如图，\(AB=CD\)， \(AE \perp BC\)， \(DF \perp BC\)， 垂足分别为E、F， \(CE=BF\)。 求证：\(AB \parallel CD\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)， \(AB=AC\)， 直线m经过点A， \(BD \perp m\)， \(CE \perp m\)， 垂足分别为D、E。 求证：\(DE = BD + CE\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 在四边形 \(ABCD\) 中，\(AD \parallel BC\)， 点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。 若 \(AB=AD+BC\)， 求证：\(BE\) 平分 \(\angle ABC\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 如图，在 \(\triangle ABC\) 外作正方形ABEF和ACGH，连接FH。 求证：\(\triangle ABC\) 的面积等于 \(\triangle AFH\) 的面积。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知：AD是 \(\triangle ABC\) 的中线，\(\angle ADB\) 和 \(\angle ADC\) 的平分线分别交AB、AC于点E、F。 求证：\(BE+CF > EF\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 问题探究：如图1，在四边形ABCD中，\(\angle B=\angle D=90^\circ\)， \(AB=AD\)， 点E、F分别在BC、CD上，且 \(\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD\)。 求证：\(EF=BE+FD\)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （接上题）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，\(\angle B+\angle D=180^\circ\)， \(AB=AD\)， 若点E、F分别在CB、DC的延长线上，且满足（1）中的结论 \(\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD\) 仍然成立，请直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：阿星教你“三步检查法”：一对条件（对照图形，看题中所给和所证条件是否全部用上且对应准确）；二判定理（检查你选择的判定定理是否成立，特别是夹角和HL的条件）；三看格式（检查证明开头是否指明在哪两个三角形中，结论是否写明“全等”及判定依据）。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：冷静！回忆阿星顺口溜，或者用最“笨”但最可靠的方法：在草稿纸上画两个分开的三角形，把题目给的条件标上去。然后像拼图一样思考：要证明它们完全重合，需要几个边、几个角？记住，至少需要三个条件，且不能是“SSA”。SAS的关键是“夹角”，ASA的关键是“夹边”。
Q：遇到复杂的几何图形就发懵怎么办？
A：使用图形分离法。用手指或笔尖，在试卷上把你要证明全等的两个三角形单独描出来！忽略其他干扰线条。当它们被“孤立”出来后，边角关系会清晰很多。
参考答案
第一关： 1. SSS 2. D 3. 60 4. 错（×） 5. \(AC=AD\) 或 \(\angle C=\angle D\) 或 \(\angle CBA=\angle DBA\) (任选一个，符合AAS或SAS即可)。
第二关： 1. 先证 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (SSS)，再得对应角相等。 2. 证 \(\triangle CDF \cong \triangle BDE\) (AAS)。 3. 由 \(\angle BAC=\angle DAE\) 得 \(\angle BAD=\angle CAE\)， 再用SAS证明。 4. 先证 \(\triangle ABE \cong \triangle CDF\) (HL)，得 \(\angle B=\angle C\)， 从而平行。 5. 证 \(\triangle ABD \cong \triangle CAE\) (AAS)，得 \(BD=AE\)， \(CE=AD\)， 故 \(DE=AD+AE=BD+CE\)。
第三关： 1. 延长BE交AD延长线于G，先证 \(\triangle BCE \cong \triangle GDE\) (ASA)，得 \(BC=GD\)， \(BE=GE\)；结合 \(AB=AD+BC=AD+GD=AG\)， 得等腰 \(\triangle ABG\)， 利用三线合一证BE平分角。 2. 证 \(\triangle ABC \cong \triangle AFH\) (SAS，利用 \(AB=AF\)， \(AC=AH\)， \(\angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle FAH = 180^\circ - \angle FAH\)， 而 \(\triangle AFH\) 中 \(\angle FAH\) 的邻补角等于 \(180^\circ - \angle FAH\)， 故夹角相等)，面积相等。 3. 在AD延长线上截取 \(DH=AD\)，连接BH、CH，构造平行四边形ABHC，将BE、CF、EF转化到 \(\triangle EHF\) 中，利用三角形三边关系证明。 4. （探究）将 \(\triangle ADF\) 绕点A顺时针旋转至 \(\triangle ABG\) 的位置（使AD与AB重合），证 \(\triangle AEF \cong \triangle AEG\) (SAS)，得 \(EF=EG=BE+BG=BE+FD\)。 5. （拓展）\(EF = BE - FD\)（或 \(EF = FD - BE\)，取决于点E、F的位置）。
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