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浓度问题十字交叉法详解：小升初溶液混合计算专项练习与答案解析

适用年级

六年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：浓度问题：十字交叉 原理

  • 核心概念：想象一下，阿星面前有两杯盐水，一杯咸一点（浓度高），一杯淡一点（浓度低）。他想把它们混合成一杯味道正好的“目标”盐水。十字交叉法就像一个神奇的“天平”！我们把两杯盐水的浓度差看作“力臂”，把它们的重量看作“砝码”。为了让天平平衡（混合后浓度一致），咸的那杯离目标浓度差得远（力臂长），就要少放点（质量轻）；淡的那杯离目标浓度差得近（力臂短），就要多放点（质量重）。阿星画下的那个“十”字，就完美地展示了一个秘密：浓度差的比 = 溶液质量的反比。这就像一场精密的调配舞蹈。
  • 计算秘籍：
    1. 确定三方：明确两种原溶液浓度 \( a\% \) 和 \( b\% \)，以及目标溶液浓度 \( c\% \) （通常 \( a > c > b \)）。
    2. 画十字：

      📐 公式说明：\( a \)，\( b \)，\( c-b \)，\( a-c \)

      a b c-b a-c

    3. 求比例：左上角写 \( a \)，左下角写 \( b \)，中间写 \( c \)。然后分别用 \( c-b \) 和 \( a-c \) 得到右边上下两个值。这两个值就是所需溶液质量 \( m_a \) 和 \( m_b \) 的比：\( m_a : m_b = (c - b) : (a - c) \)。
    4. 应用求解：根据已知的 \( m_a \) 或 \( m_b \) 具体数值，利用比例关系求解未知量。
  • 阿星口诀：浓减中，中减淡，十字交叉得比例。差大质量小，差小质量大，混合平衡就靠它！

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：浓度顺序写反。 把高浓度 \( a \) 和低浓度 \( b \) 在十字图中的上下位置放错，导致比例算反。
    ✅ 正解：永远保证 \( a > c > b \)。 画十字时，\( a \) 在上，\( b \) 在下，\( c \) 在中间，这是固定格式。
  • ❌ 错误2：混淆“浓度差”与“溶液质量”。 得到 \( (c-b) : (a-c) \) 后，误以为这是浓度的比，或者直接当作质量数值相加得到总质量。
    ✅ 正解：十字右边得到的是质量比。 即 \( m_{\text{浓}} : m_{\text{淡}} = (c-b) : (a-c) \)。总质量是这两部分按比例相加：\( m_{\text{总}} = k \times [(c-b) + (a-c)] = k \times (a-b) \)，其中 \( k \) 是比例系数。

🔥 三例题精讲

例题1：要将 \( 30\% \) 的糖水与 \( 10\% \) 的糖水混合，配制成 \( 200 \) 克浓度为 \( 22\% \) 的糖水。问需要两种糖水各多少克？

📌 解析：

  1. 设需要 \( 30\% \) 糖水 \( x \) 克，\( 10\% \) 糖水 \( y \) 克。已知 \( x + y = 200 \)。
  2. 画十字：\( a = 30 \)，\( b = 10 \)，\( c = 22 \)。

    得比例：\( x : y = (22 - 10) : (30 - 22) = 12 : 8 = 3 : 2 \)。
  3. 总份数：\( 3 + 2 = 5 \) 份，对应总质量 \( 200 \) 克。所以每份是 \( 200 \div 5 = 40 \) 克。
  4. 因此，\( x = 3 \times 40 = 120 \) 克，\( y = 2 \times 40 = 80 \) 克。

✅ 总结：已知总质量和目标浓度，十字交叉直接给出两种原料的质量比，按比例分配即可。

例题2：一瓶 \( 80 \) 克的盐水浓度为 \( 40\% \)，要把它稀释成浓度为 \( 25\% \) 的盐水，需要加入多少克纯净水？（纯净水浓度视为 \( 0\% \)）

📌 解析：

  1. 将问题视为 \( 40\% \) 盐水与 \( 0\% \) “水”的混合。设需加水 \( x \) 克。
  2. 画十字：\( a = 40 \)，\( b = 0 \)，\( c = 25 \)。

    得比例：\( m_{40\%} : m_{\text{水}} = (25 - 0) : (40 - 25) = 25 : 15 = 5 : 3 \)。
  3. 已知 \( m_{40\%} = 80 \) 克，对应 \( 5 \) 份。所以每份是 \( 80 \div 5 = 16 \) 克。
  4. 因此，需要的水 \( x = 3 \times 16 = 48 \) 克。

✅ 总结：加水或蒸发问题，可将水（或纯溶质）视为浓度为 \( 0\% \)（或 \( 100\% \)）的溶液，完美融入十字交叉模型。

例题3：有 A、B 两种酒精溶液，A 的浓度是 \( 60\% \)，B 的浓度是 \( 90\% \)。现从两种溶液中各取一部分混合，得到浓度为 \( 66\% \) 的酒精溶液 \( 600 \) 克。已知从 A 中取出的质量比从 B 中取出的多 \( 200 \) 克。问 A、B 两种溶液原各有多少克？（假设溶液足够多）

📌 解析：

  1. 设从 A 中取 \( x \) 克，从 B 中取 \( y \) 克。已知 \( x + y = 600 \)，且 \( x - y = 200 \)。可解得 \( x = 400 \) 克，\( y = 200 \) 克。这就是混合时 A、B 的质量。
  2. 用十字交叉验证或分析原溶液：已知混合时 \( m_A : m_B = 400 : 200 = 2 : 1 \)。

    画十字（针对混合过程）：\( a = 90 \)，\( b = 60 \)，\( c = 66 \)。

    理论比例应为：\( m_B : m_A = (66 - 60) : (90 - 66) = 6 : 24 = 1 : 4 \)。

    这与我们算出的 \( 2:1 \)（即 \( m_A : m_B = 2:1 \)）不符？注意这里谁是“浓”溶液？B是 \( 90\% \)，更浓，所以十字中 \( a=90 \) 应在上方。得到的比例是 \( m_{\text{B(浓)}} : m_{\text{A(淡)}} = 1 : 4 \)。

    而我们实际混合是 \( m_A(淡) = 400 \)，\( m_B(浓) = 200 \)，即 \( m_B : m_A = 200 : 400 = 1 : 2 \)。
  3. 发现矛盾了吗？这说明我们第一步的假设（“设从 A 中取 \( x \) 克…”）与浓度条件冲突。题目说“从两种溶液中各取一部分混合得到…”，意味着我们设的 \( x \) 和 \( y \) 必须满足十字交叉的比例关系。所以正确解法是：

    由十字交叉得，混合时 \( m_A : m_B = (90 - 66) : (66 - 60) = 24 : 6 = 4 : 1 \)。

    又知 \( m_A - m_B = 200 \) 克。设 \( m_A = 4k \)，\( m_B = 1k \)，则 \( 4k - 1k = 200 \)，解得 \( k = \frac{200}{3} \)。

    所以 \( m_A = 4 \times \frac{200}{3} = \frac{800}{3} \) 克，\( m_B = \frac{200}{3} \) 克。

    总质量 \( \frac{800}{3} + \frac{200}{3} = \frac{1000}{3} \) 克，这与题目给的 \( 600 \) 克矛盾吗？仔细看题：“得到…溶液 \( 600 \) 克”，而这里我们算出的 \( \frac{1000}{3} \approx 333.3 \) 克，明显不符。哪里错了？
  4. 关键点审题：“问 A、B 两种溶液原各有多少克？” 我们刚刚算出的 \( m_A, m_B \) 是取出的量，不是原溶液的量。原溶液量未知且足够多。取出混合后得到 \( 600 \) 克浓度为 \( 66\% \) 的溶液。所以：

    由十字交叉得 取出部分 的质量比：\( m_A(\text{取}) : m_B(\text{取}) = (90 - 66) : (66 - 60) = 24:6 = 4:1 \)。

    总质量 \( 600 \) 克对应 \( 4+1=5 \) 份，每份 \( 120 \) 克。所以 \( m_A(\text{取}) = 480 \) 克，\( m_B(\text{取}) = 120 \) 克。

    已知“从 A 中取出的质量比从 B 中取出的多 \( 200 \) 克”，验证：\( 480 - 120 = 360 \) 克，与 \( 200 \) 克不符！题目条件自相矛盾？除非…

    我们定义反了！A浓度 \( 60\% \)，B浓度 \( 90\% \)，所以混合时，浓溶液是B，淡溶液是A。十字应为：

    浓(B: \( 90 \)) 与 淡(A: \( 60 \)) 混合成 \( 66 \)。

    比例：\( m_B : m_A = (66 - 60) : (90 - 66) = 6 : 24 = 1:4 \)。

    所以 \( m_A(\text{取}) : m_B(\text{取}) = 4 : 1 \)。

    总质量 \( 600 \) 克对应 \( 4+1=5 \) 份，每份 \( 120 \) 克。所以 \( m_A(\text{取}) = 480 \) 克，\( m_B(\text{取}) = 120 \) 克。

    此时 \( m_A(\text{取}) - m_B(\text{取}) = 360 \) 克，与题设的 \( 200 \) 克不符。说明原题数据可能设计如此，我们按此计算。题目最后问原溶液各有多少克？条件不足，无法求出原溶液总量，只能知道取出了多少。通常此类题会给出类似“取完后剩余质量相等”等条件。本题在“已知从A中取出的比从B中取出的多200克”这一条件下无解（因为算出来是多360克）。我们以十字交叉得出的比例为准，完成思路演示：即取出了A溶液 \( 480 \) 克，B溶液 \( 120 \) 克进行混合。原溶液量未知。

✅ 总结：复杂题目中，十字交叉确定的是参与混合部分的质量比。需仔细辨别谁是“浓”谁是“淡”，并注意题目中关于“取出量”和“原存量”的不同问法。本题揭示了审题和逻辑链衔接的重要性。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 用 \( 50\% \) 的酒精和 \( 20\% \) 的酒精配制成 \( 800 \) 克 \( 35\% \) 的酒精，需要两种酒精各多少克？
  2. 现有 \( 300 \) 克浓度为 \( 10\% \) 的糖水，要把它变成浓度为 \( 20\% \) 的糖水，需要加糖多少克？（糖视为 \( 100\% \) 浓度）
  3. 有浓度为 \( 15\% \) 的盐水 \( 200 \) 克，为了制成浓度为 \( 10\% \) 的盐水，需要加水多少克？
  4. 将 \( 20\% \) 的盐水和 \( 5\% \) 的盐水混合成 \( 600 \) 克 \( 10\% \) 的盐水，两种盐水各需多少克？
  5. 在 \( 100 \) 克浓度为 \( 30\% \) 的糖水中，加入多少克水后，浓度变为 \( 12\% \)？
  6. 用 \( 40\% \) 和 \( 15\% \) 的两种酸配制成 \( 500 \) 克 \( 25\% \) 的酸，两种酸各取多少克？
  7. 有 \( 180 \) 克浓度为 \( 8\% \) 的盐水，蒸发掉多少克水后，浓度变为 \( 12\% \)？
  8. 把 \( 50 \) 克 \( 90\% \) 的酒精溶液稀释成 \( 75\% \) 的酒精溶液，需加水多少克？
  9. 将 \( 60 \) 克 \( 6\% \) 的盐水与 \( 40 \) 克 \( 9\% \) 的盐水混合，混合后的浓度是多少？
  10. 需要将多少克 \( 5\% \) 的盐水和 \( 300 \) 克 \( 15\% \) 的盐水混合，才能得到 \( 10\% \) 的盐水？

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 甲种酒精纯酒精含量为 \( 72\% \)，乙种酒精纯酒精含量为 \( 58\% \)。混合后纯酒精含量为 \( 62\% \)。如果每种酒精取的数量都比原来多 \( 15 \) 升，则混合后纯酒精含量为 \( 63.25\% \)。问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
  2. 有 A、B、C三种盐水，按 A 与 B 数量之比为 \( 2:1 \) 混合，得到浓度为 \( 13\% \) 的盐水；按 A 与 B 数量之比为 \( 1:2 \) 混合，得到浓度为 \( 14\% \) 的盐水。如果 A、B、C 数量之比为 \( 1:1:3 \) 混合，得到浓度为 \( 10.2\% \) 的盐水。问盐水 C 的浓度是多少？
  3. 两个杯子里分别装有浓度为 \( 40\% \) 与 \( 10\% \) 的盐水，倒在一起后混合盐水浓度为 \( 30\% \)。若再加入 \( 300 \) 克 \( 20\% \) 的盐水，则浓度变为 \( 25\% \)。问原来 \( 40\% \) 的盐水有多少克？
  4. 一容器内装有 \( 10 \) 升纯酒精，倒出 \( 2.5 \) 升后用水加满，再倒出 \( 5 \) 升后再用水加满。此时容器内酒精的浓度是多少？
  5. 有浓度为 \( 20\% \) 的糖水 \( 30 \) 克，浓度为 \( 15\% \) 的糖水 \( 70 \) 克，浓度为 \( 10\% \) 的糖水 \( 100 \) 克。现在要将它们全部混合在一起，需要加入多少克水，才能使混合后糖水的浓度变为 \( 8\% \)？
  6. 甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水 \( 60 \) 千克，含糖率为 \( 40\% \)；乙桶有糖水 \( 40 \) 千克，含糖率为 \( 20\% \)。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？
  7. 有 A、B 两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取 \( 1 \) 升混合在一起，得到浓度为 \( 36\% \) 的盐水；他又从两瓶中各取 \( 1 \) 升混合，但这次是将 A 中取的倒入 B 瓶，将 B 中取的倒入 A 瓶，然后再从新状态下的 A、B 两瓶中各取 \( 1 \) 升混合，得到浓度为 \( 32\% \) 的盐水。问原来 A、B 两瓶盐水的浓度各是多少？
  8. 在浓度为 \( 50\% \) 的硫酸溶液 \( 100 \) 升中，加入多少升浓度为 \( 5\% \) 的硫酸溶液，就可以配制成浓度为 \( 25\% \) 的硫酸溶液？
  9. 从装满 \( 100 \) 克浓度为 \( 80\% \) 的盐水中倒出 \( 40 \) 克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出 \( 40 \) 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
  10. 有三个一样大的桶，一个装有浓度为 \( 60\% \) 的酒精 \( 100 \) 升，一个装有水 \( 100 \) 升，还有一个桶是空的。现在要配置浓度为 \( 36\% \) 的酒精，只有 \( 5 \) 升和 \( 11 \) 升的空桶各一个作为量具（均可用于从大桶中取液或倒液入大桶）。问如何才能量出 \( 6 \) 升浓度为 \( 36\% \) 的酒精？请描述步骤。

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI训练） 训练一个AI模型需要“数据燃料”。高质量数据（标注准确率 \( 95\% \)）成本高，低质量数据（标注准确率 \( 70\% \)）成本低。为控制成本并保证效果，工程师需要混合两类数据，得到一个总体标注准确率为 \( 85\% \) 的数据集共 \( 1000 \) 万条。问需要两种数据各多少万条？
  2. （航天燃料） 一种火箭燃料由高能组分A（纯度 \( 98\% \)）和稳定剂B（纯度 \( 5\% \)）混合而成，要求混合后纯度达到 \( 80\% \) 才能稳定燃烧。现有A组分 \( 120 \) 吨，问最多可以配制出多少吨合格燃料？需要消耗多少吨B组分？
  3. （投资理财） 小星有两笔存款，一笔年利率为 \( 5\% \)，另一笔年利率为 \( 3\% \)。一年后，两笔存款的平均年化收益为 \( 4.2\% \)。已知利率 \( 5\% \) 的那笔存款比利率 \( 3\% \) 的多 \( 2 \) 万元。问两笔存款本金各是多少？
  4. （网购折扣） “星火商城”有两家店卖同款商品。A店全场满 \( 200 \) 减 \( 40 \)（相当于折率 \( ?\% \)），B店全场 \( 9 \) 折。小明想在这两家店合并购物车下单（商品可任意分配店铺以凑各自满减），使得最终总支付金额相当于打了 \( 88 \) 折。问他在A店和B店的消费金额比例应该是多少？（为简化，设商品原价总和超过 \( 200 \) 元，且只考虑一次满减）
  5. （环保减排） 两个工厂排放同种污染物。旧厂处理技术落后，排放浓度超标 \( 50\% \)；新厂技术先进，排放浓度仅为标准值的 \( 30\% \)。环保局要求两厂混合排放口的平均浓度必须达标（\( 100\% \)）。如果旧厂的废水流量为每小时 \( 80 \) 吨，那么新厂的废水流量至少需要达到每小时多少吨，才能使混合排放达标？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：浓度问题：十字交叉 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在于十字交叉的操作本身，而在于识别场景和理解比值的意义。学生容易：1) 找不到“三种浓度”；2) 混淆“溶质、溶液、溶剂”；3) 不敢把“纯溶质”(\( 100\% \))或“纯溶剂”(\( 0\% \))看作一种溶液参与十字交叉；4) 对十字交叉得到的比例 \( (c-b):(a-c) \) 到底对应谁和谁的比，记忆模糊。其本质是加权平均 \( a \times m_a + b \times m_b = c \times (m_a+m_b) \) 的变形，但直观的十字图掩盖了其代数推导，导致理解不深时套用易出错。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：十字交叉法是比例思想和加权平均思想的绝佳练兵场。它在化学、经济学、统计学中都有广泛应用。在数学上，它是后续学习加权平均数、混合问题（如行程、平均数）、杠杆原理（物理）以及线性组合概念的形象化启蒙。理解其背后的等式 \( a \times x + b \times y = c \times (x+y) \) 以及如何推导出 \( x:y = (c-b):(a-c) \)，能锻炼代数变形和等量代换的能力。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有，遵循以下标准化流程：

  1. 判定题型：凡是涉及两种不同“价值”的东西混合成一个“平均价值”，都可尝试十字交叉（浓度、利率、平均分、密度等）。
  2. 明确三个数：找准两个原始值 \( a, b \) (通常 \( a>b \)) 和一个平均值 \( c \) (介于 \( a, b \) 之间)。
  3. 画标准十字：左上 \( a \)，左下 \( b \)，中间 \( c \)。右边竖着写 \( (c-b) \) 和 \( (a-c) \)。
  4. 解释比例：牢记“十字右边比值，等于左边对应量的比”。即：\( \frac{\text{左上对应的量}}{\text{左下对应的量}} = \frac{c-b}{a-c} \)。
  5. 结合已知量列方程。

记住核心公式：\( \frac{m_a}{m_b} = \frac{|c - b|}{|a - c|} \)。

答案与解析

第一关答案：

  1. \( 50\% \) 酒精：\( (35-20):(50-35)=15:15=1:1 \)，总\(800\)克，各 \(400\)克。
  2. 加糖视为 \(100\%\) 与 \(10\%\) 混合。十字：\( (100-20):(20-10)=80:10=8:1 \)。原\(10\%\)糖水\(300\)克为\(1\)份？不对，注意比例对应的是质量。设糖\(x\)克。\( m_{\text{糖}} : m_{\text{原液}} = (20-10) : (100-20) = 10:80=1:8 \)。所以 \( x : 300 = 1:8 \)， \( x=37.5 \)克。
  3. 加水视为 \(0\%\)。\( m_{\text{原液}} : m_{\text{水}} = (10-0) : (15-10)=10:5=2:1 \)。原液\(200\)克对应\(2\)份，需水\(100\)克。
  4. \( m_{20\%} : m_{5\%} = (10-5):(20-10)=5:10=1:2 \)。总\(600\)克，\(20\%\)的 \(200\)克，\(5\%\)的 \(400\)克。
  5. \( m_{\text{原液}} : m_{\text{水}} = (12-0):(30-12)=12:18=2:3 \)。原液\(100\)克对应\(2\)份，需水\(150\)克。
  6. \( m_{40\%} : m_{15\%} = (25-15):(40-25)=10:15=2:3 \)。总\(500\)克，\(40\%\)的 \(200\)克，\(15\%\)的 \(300\)克。
  7. 蒸发水相当于减少\(0\%\)的溶液。十字：\( m_{\text{原液}} : m_{\text{蒸发水}} = (12-0):(8-12)=12:(-4) \)。绝对值比 \(12:4=3:1\)。原液\(180\)克不变对应\(3\)份，蒸发水\(60\)克。
  8. \( m_{90\%} : m_{\text{水}} = (75-0):(90-75)=75:15=5:1 \)。\(90\%\)酒精\(50\)克对应\(5\)份，需水\(10\)克。
  9. 总溶质：\(60 \times 6\% + 40 \times 9\% = 3.6 + 3.6 = 7.2\)克。总溶液：\(100\)克。浓度：\(7.2 \div 100 = 7.2\%\)。
  10. 设需\(5\%\)盐水\(x\)克。十字：\( m_{5\%} : m_{15\%} = (15-10):(10-5)=5:5=1:1 \)。已知\(15\%\)的\(300\)克，所以需\(5\%\)的也\(300\)克。

（限于篇幅，第二关、第三关及详细解析将在后续资料中提供。关键是要掌握第一关的十字交叉基本应用，并理解第二关的复杂场景如何拆解为基本模型。）

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