组合选人问题解题技巧与易错点解析-PDF专项练习下载

💡 阿星精讲：组合：选人问题 原理

• 核心概念：组合就像选一个“团队”去完成一项“任务”，这个任务只在乎“谁去了”，不在乎“谁先谁后”。想象一下，班主任要从5个人里选3个人去扫地。阿星说：“扫地嘛，扫完就行，难道小明先拿扫帚和小红先拿扫帚，算两种不同的扫地队伍吗？当然不算！”所以，选出的“小明、小红、小刚”和“小红、小刚、小明”是同一个扫地小组。我们一开始像排队（排列）那样算，就会把同一个小组数了\(3! = 6\)遍。所以，组合的核心就是：从所有可能的排队（排列）中，把因为内部换顺序而产生的重复小组全部除掉。
• 计算秘籍：
  1. 明确任务：从 \(n\) 个不同的人里，选出 \(m\) 个人。（如：\(5\) 人选 \(3\) 人）
  2. 先假装“扫地也分先后”——即计算排列数：从 \(n\) 个里有序地选 \(m\) 个，有 \(A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\) 种。这里 \(A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60\) 种“有顺序的扫地队”。
  3. 然后，“扫地不分先后”——即去掉小组内部的顺序。每个 \(m\) 人的小组，内部有 \(m!\) 种排队方式。所以要把排列数除以 \(m!\)。
  4. 得到组合数公式：\(C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)。所以 \(C_5^3 = \frac{5!}{3! \times (5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\) 种真正的扫地小组。
• 阿星口诀：“选人组队不排队，排列总数除序回。” 意思是：选人组队不考虑内部顺序，计算方法是用排列的总数，除以小队成员内部所有可能的排序。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算从 \(7\) 人中选 \(2\) 人参加比赛，写成 \(A_7^2 = 42\)。 → ✅ 正解：参加比赛是一个团队，不排名次，属于组合问题。应为 \(C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)。关键看问题是否强调“顺序”或“排名”。
• ❌ 错误2：从 \(4\) 男 \(3\) 女中选一男一女，计算为 \(C_4^1 \times C_3^1 = 12\) 后，又除以 \(2!\)。 → ✅ 正解：选出一男一女，这两个人是“不同角色”或“来自不同集合”，他们的身份（男、女）自带区别，不存在因“同质化”而导致的顺序重复。所以直接相乘 \(12\) 种即可，不需要再除序。除序仅在从同一个集合里选出若干个“相同身份”的成员时才需要。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 从 \(6\) 名同学中选出 \(2\) 人负责擦黑板，有多少种选法？
2. 食堂午餐有 \(5\) 种荤菜，小明想选 \(2\) 种，有多少种选择方案？
3. 计算 \(C_9^2\)。
4. 计算 \(C_{10}^8\)。（提示：利用性质简化）
5. 班级有 \(10\) 人，要成立一个 \(4\) 人的“节能监督小组”，有多少种组队方式？
6. 从 \(a, b, c, d, e\) 这 \(5\) 个字母中任取 \(3\) 个组成一个集合（不计顺序），能组成多少个不同的集合？
7. 一副扑克牌（不含大小王）有 \(52\) 张，从中随机发 \(2\) 张牌给你，一共有多少种不同的牌面组合？
8. 已知 \(C_n^2 = 28\)，求 \(n\)。
9. 从 \(1\) 到 \(9\) 这 \(9\) 个数字中，任选两个不同的数字相加，可以得到多少个不同的和？（如 \(1+8\) 和 \(8+1\) 算同一个和）
10. 验证组合恒等式：\(C_6^2 + C_6^3 = C_7^3\)。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 从 \(4\) 名男生和 \(5\) 名女生中，选出 \(3\) 人参加座谈会，要求男生和女生都至少有 \(1\) 人，有多少种选法？
2. 一个正七边形，连接其顶点，可以画出多少条对角线？（提示：对角线是连接不相邻顶点的线段）
3. 有 \(6\) 本不同的书，送给甲、乙两人，每人至少得到 \(1\) 本，有多少种送法？（注意：书是不同的，但同一人得到书的顺序不重要）
4. 平面上有 \(10\) 个点，其中 \(6\) 个点共线，其余任意三点不共线。这些点可以构成多少个三角形？
5. 方程 \(x + y + z = 12\) 的正整数解有多少组？（如 \(x=1, y=2, z=9\) 和 \(x=2, y=1, z=9\) 算不同解吗？本题不算）
6. 从 \(1, 2, 3, ..., 20\) 这 \(20\) 个数中，任取两个不同的数，使它们的和是偶数，共有多少种取法？
7. 一个 \(8 \times 8\) 的棋盘，选取两个不同的小方格，要求它们既不在同一行，也不在同一列，有多少种选法？
8. 某年级有 \(8\) 个班，要举行班级足球单循环赛（每两个班之间赛一场），一共要安排多少场比赛？
9. 从 \(5\) 名语文老师、\(4\) 名数学老师中选派 \(3\) 人组成支教小组，要求涵盖这两个学科，有多少种派法？
10. 集合 \(A = \{1,3,5,7,9\}\), \(B = \{2,4,6,8,10\}\)。从 \(A \cup B\) 中取出 \(3\) 个元素，使它们的和是 \(3\) 的倍数，有多少种取法？（不考虑顺序）

第三关：生活应用（5道）

1. （AI场景）星火AI实验室要从 \(12\) 个待测试的AI模型中，选出 \(5\) 个进行横向对比评测。一共有多少种选择评测模型的方案？
2. （航天场景）某次太空任务有 \(6\) 个候选宇航员，最终需要选定 \(3\) 人进入飞船执行任务（假设岗位无区别）。地面指挥中心需要制定多少种不同的“乘组人选预案”？
3. （网购场景）某电商平台“购物车”里有 \(7\) 件不同的商品。在“满减”活动中，你必须从其中选出至少 \(2\) 件商品合并支付才能享受优惠。你有多少种选择商品组合来享受优惠的方式？
4. （网络安全）一个密码由 \(0-9\) 中 \(4\) 个不同的数字无序组成（例如，集合 \(\{1,3,5,7\}\) 代表一个密码）。如果数字顺序无关，那么这种密码方案最多可以设置多少个不同的密码？
5. （团队协作）阿星要组建一个 \(4\) 人的项目攻坚小组，现有程序员 \(4\) 名、设计师 \(3\) 名、产品经理 \(2\) 名。要求小组必须包含这 \(3\) 类角色，且每类角色至少 \(1\) 人。有多少种不同的组建方案？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. \(C_6^2 = 15\)
2. \(C_5^2 = 10\)
3. \(C_9^2 = 36\)
4. \(C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45\)
5. \(C_{10}^4 = 210\)
6. \(C_5^3 = 10\)
7. \(C_{52}^2 = 1326\)
8. 解方程 \(\frac{n(n-1)}{2} = 28\)，得 \(n=8\)。
9. 和的不同只与所选数字有关，与顺序无关。从 \(9\) 个数中选 \(2\) 个的组合数为 \(C_9^2 = 36\)，即为不同的和的数量。（注意：和可能重复吗？如 \(1+8=9\), \(2+7=9\)，但这是不同的组合，算两种取法，但“和的值”相同。题目问“多少个不同的和”，因此值相同只算一个。但本题中，由于数字连续，任意两个不同的数字和都不同，因此答案仍是 \(36\)。）更严谨：最小的和是 \(1+2=3\)，最大的和是 \(8+9=17\)，从 \(3\) 到 \(17\) 共 \(15\) 个奇数，\(14\) 个偶数？这里需要枚举或利用组合恒等式。实际上，不同的和共有 \(17-3+1=15\) 种？不对，因为不是所有和都能被取到。通过分析，从 \(1\) 到 \(9\) 中任选两个不同数，其和的范围是 \(3\) 到 \(17\)，且每个和值都能被取到（例如，和为 \(3\) 只有 \(1+2\)，和为 \(4\) 只有 \(1+3\)，……，和为 \(17\) 只有 \(8+9\)）。因此，不同的和就是从 \(3\) 到 \(17\) 的所有整数，共 \(15\) 个。所以答案是 \(15\)。（此题陷阱在于区分“取法数”和“和的结果数”）
10. \(C_6^2 + C_6^3 = 15 + 20 = 35\)， \(C_7^3 = 35\)， 相等。

第二关：

1. 方法一（分类）：1男2女 + 2男1女 = \(C_4^1 C_5^2 + C_4^2 C_5^1 = 4 \times 10 + 6 \times 5 = 70\)。方法二（排除）：总选法 \(C_9^3=84\)，减去全男 \(C_4^3=4\) 和全女 \(C_5^3=10\)，得 \(84-4-10=70\)。
2. 对角线数 = 顶点连线的总数 - 边数。连线总数即从 \(7\) 个点中任选 \(2\) 个的组合数：\(C_7^2 = 21\)。减去 \(7\) 条边，得 \(21 - 7 = 14\) 条对角线。
3. “送书”等价于“把 \(6\) 本不同的书分成两组（有区别的甲、乙）”。每本书有 \(2\) 种选择（给甲或给乙），总共有 \(2^6 = 64\) 种分法。这包括了甲或乙得到 \(0\) 本的情况。排除一人得 \(0\) 本的情况（即全给甲或全给乙），共 \(2\) 种。所以答案是 \(64 - 2 = 62\) 种。本题也可按甲得书的本数分类：甲得 \(1\) 到 \(5\) 本，即 \(\sum_{k=1}^{5} C_6^k = 62\)。
4. 方法：总三角形数 - 无法构成三角形的数（即3点都在那一条共线的6个点上）。总 \(C_{10}^3 = 120\)， 无效的 \(C_6^3 = 20\)。所以答案为 \(120 - 20 = 100\)。
5. 这是“正整数解”问题，可用隔板法。令 \(x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1\)，则方程变为 \(x'+y'+z'=9\)，其中 \(x',y',z'\) 是非负整数。等价于将 \(9\) 个“1”分成 \(3\) 堆，允许有堆为空。在 \(9\) 个1形成的 \(8\) 个间隙中插入 \(2\) 块隔板，分割成 \(3\) 部分。答案为 \(C_{8}^{2} = 28\)。
6. 两数和为偶数，要求两数同奇或同偶。奇数 \(10\) 个，偶数 \(10\) 个。取法数：\(C_{10}^2 + C_{10}^2 = 45 + 45 = 90\)。
7. 先选第一个格：有 \(64\) 种选法。第二个格不能与第一个格同行或同列。第一个格所在行有 \(8\) 格，同列有 \(8\) 格，但本身被重复计算一次，所以有 \(8+8-1=15\) 个格不能选。剩下 \(64-15=49\) 个格可选。但这样计算了顺序（先选A后选B，和先选B后选A被视为不同）。题目要求“选取两个不同的小方格”，是组合问题。所以总数为 \(\frac{64 \times 49}{2!} = 1568\)。另解：先选行，再选列，避免顺序。从 \(8\) 行中选 \(2\) 行 (\(C_8^2\))，从 \(8\) 列中选 \(2\) 列 (\(C_8^2\))，然后在选出的 \(2\) 行 \(2\) 列构成的 \(4\) 个交点上，选取 \(2\) 个不在同行同列的点，有 \(2\) 种匹配方式。所以总数为 \(C_8^2 \times C_8^2 \times 2 = 28 \times 28 \times 2 = 1568\)。
8. 单循环赛即每两个班之间比赛一场，相当于从 \(8\) 个元素中无序选取 \(2\) 个进行配对。所以比赛场次为 \(C_8^2 = 28\)。
9. 分两类：2语1数 + 1语2数 = \(C_5^2 C_4^1 + C_5^1 C_4^2 = 10 \times 4 + 5 \times 6 = 40 + 30 = 70\)。
10. 总和为 \(3\) 的倍数，三个数除以 \(3\) 的余数可能为 \((0,0,0), (1,1,1), (2,2,2), (0,1,2)\)。在 \(A \cup B\) 中，除以 \(3\) 余 \(0\) 的数有：\(\{3,6,9\}\) 共 \(3\) 个；余 \(1\) 的数有：\(\{1,4,7,10\}\) 共 \(4\) 个；余 \(2\) 的数有：\(\{2,5,8\}\) 共 \(3\) 个。
    • (0,0,0): \(C_3^3 = 1\)
    • (1,1,1): \(C_4^3 = 4\)
    • (2,2,2): \(C_3^3 = 1\)
    • (0,1,2): 各取一个：\(C_3^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 36\)

    总数为：\(1+4+1+36 = 42\)。

第三关：

1. \(C_{12}^5 = 792\)
2. \(C_6^3 = 20\)
3. 至少选 \(2\) 件：总选择方案数（含选 \(0\) 或 \(1\) 件）是 \(2^7 = 128\)。排除只选 \(0\) 件 (\(1\) 种) 和只选 \(1\) 件 (\(C_7^1 = 7\) 种)。所以答案为 \(128 - 1 - 7 = 120\)。
4. 即从 \(10\) 个不同数字中选出 \(4\) 个数字组成一个集合。答案为 \(C_{10}^4 = 210\)。
5. 分类讨论满足“三类角色各至少1人”的 \(4\) 人组合：
   • 2程序员，1设计师，1产品经理： \(C_4^2 \times C_3^1 \times C_2^1 = 6 \times 3 \times 2 = 36\)
   • 1程序员，2设计师，1产品经理： \(C_4^1 \times C_3^2 \times C_2^1 = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
   • 1程序员，1设计师，2产品经理： \(C_4^1 \times C_3^1 \times C_2^2 = 4 \times 3 \times 1 = 12\)

   总方案数：\(36 + 24 + 12 = 72\)。