考前冲刺：九年级数学几何：圆周角定理公式大全及压轴题训练 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：几何：圆周角定理 核心考点速记
【开篇语：圆周角定理是九年级上学期《圆》这一章的“心脏”，期末考试必考！它会以选择题、填空题形式直接考查概念，更是所有圆综合证明与计算题的“底层逻辑”，重要性不言而喻。】
- 必背概念：（1）圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。（2）核心关系：同一条弧（或等弧）所对的圆周角相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半。（3）重要推论：直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。
- 阿星顺口溜：同弧对等角，半圆出直角，弧角两相望，证明不用慌。
- 万能公式：
- 核心定理：若 \(\widehat{AB}\) 所对的圆心角为 \(\angle AOB\)，圆周角为 \(\angle ACB\)，则 \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB\)。
- 等角推论：在 \(⊙O\) 中，若 \(\widehat{AB} = \widehat{CD}\)，则 \(\angle APB = \angle CQD\)（其中 \(P, Q\) 为弧上任意点）。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解：“因为 \(\angle ACB\) 是圆周角，所以它等于90°。” （未说明其是否为直径所对）
- ✅ 满分规范：必须明确指出“直径所对的圆周角是直角”这一条件。正确写法：“∵ \(AB\) 是直径，∴ \(\angle ACB = 90°\)”或“∵ \(\angle ACB\) 是直径 \(AB\) 所对的圆周角，∴ \(\angle ACB = 90°\)”。
- ❌ 常见错解： 在复杂图形中，看到两个角相等，直接写“同弧所对的圆周角相等”，但实际这两个角并不是由同一段“弧”所对。
- ✅ 满分规范： 在使用定理前，务必先用字母标出或说明所指的是哪一段弧。例如：“∵ \(\angle ADB\) 与 \(\angle ACB\) 都是 \(\widehat{AB}\) 所对的圆周角，∴ \(\angle ADB = \angle ACB\)”。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：如图，点 \(A, B, C\) 在 \(⊙O\) 上，\(\angle AOB = 100°\)，则 \(\angle ACB\) 的度数为（ ）。`
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📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——“同弧所对圆周角与圆心角关系”。图中 \(\angle AOB\) 是圆心角，\(\angle ACB\) 是圆周角，它们共同对着 \(\widehat{AB}\)。
- 第二步：快速套用公式：圆周角 = \(\frac{1}{2}\) × 圆心角。直接计算：\(\angle ACB = \frac{1}{2} \times 100° = 50°\)。
✅ 答案：50°
模型 2：直径与直角模型（综合计算）
题目：如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，弦 \(CD\) 与 \(AB\) 相交于点 \(E\)，\(\angle ACD = 35°\)。连接 \(BC\)，求 \(\angle ABC\) 的度数。`
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📌 秒杀技巧：
- 第一步：“看到直径想直角”。由 \(AB\) 是直径，立刻想到连接 \(BC\)，则 \(\angle ACB = 90°\)。
- 第二步：在 \(Rt\triangle ABC\) 中，已知 \(\angle ACD\) (即 \(\angle A\)) 为 \(35°\)，利用直角三角形两锐角互余，\(\angle ABC = 90° - 35° = 55°\)。
✅ 答案：55°
模型 3：等角转化与证明（解答/压轴）
题目：如图，四边形 \(ABCD\) 内接于 \(⊙O\)，\(\widehat{AB} = \widehat{AD}\)，延长 \(BC, AD\) 交于点 \(E\)。求证：\(AC\) 平分 \(\angle ECD\)。`
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📌 秒杀技巧：
- 第一步：“看到同弧（等弧）找等角”。由条件 \(\widehat{AB} = \widehat{AD}\)，可得它们所对的圆周角相等，即 \(\angle ACB = \angle ACD\)（设为 \(\angle 1\)）。
- 第二步：要证 \(AC\) 平分 \(\angle ECD\)，即证 \(\angle ACE = \angle ACD = \angle 1\)。观察 \(\angle ACE\) 是 \(\triangle CDE\) 的外角，也是圆内接四边形 \(ABCD\) 的外角，它等于内对角 \(\angle ADC\)。
- 第三步：\(\angle ADC\) 是 \(\widehat{ABC}\) 所对的圆周角，而 \(\angle ABC\)（即 \(\angle 1\)）是 \(\widehat{ADC}\) 所对的圆周角。因为 \(\widehat{AB} = \widehat{AD}\)，所以 \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC}\)（同加等弧），故 \(\angle ADC = \angle ABC = \angle 1\)。得证。
✅ 答案：证明过程见上。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 已知 \(⊙O\) 中，圆心角 \(\angle BOC = 80°\)，则圆周角 \(\angle BAC =\) ______°。
- 如图，\(A, B, C\) 三点在 \(⊙O\) 上，\(\angle OAB = 40°\)，则 \(\angle C =\) ______°。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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- 判断题：相等的圆周角所对的弧也相等。 （ ）
- 在 \(⊙O\) 中，弦 \(AB\) 所对的圆心角为 \(120°\)，则弦 \(AB\) 所对的圆周角的度数是 ______°。
- （选择）如图，\(BD\) 是 \(⊙O\) 的直径，点 \(A, C\) 在 \(⊙O\) 上，\(\widehat{AB} = \widehat{BC}\)，\(\angle AOB = 50°\)，则 \(\angle BDC\) 的度数是（ ）。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的弦，点 \(C\) 是优弧 \(AB\) 上的动点（不与 \(A, B\) 重合），\(\angle ACB\) 的平分线交 \(⊙O\) 于点 \(D\)。若 \(AB=8, \odot O\) 半径为5，则 \(AD\) 的长可能为 ______（写出一个符合条件的值）。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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- 如图，四边形 \(ABCD\) 内接于 \(⊙O\)，\(AE\) 平分 \(\angle BAD\) 交 \(⊙O\) 于点 \(E\)，连接 \(BE, CE\)。若 \(\angle BEC = 100°\)，则 \(\angle ADC\) 的度数为 ______°。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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- 如图，\(\triangle ABC\) 内接于 \(⊙O\)，\(AB=AC\)，\(\angle BAC=42°\)，点 \(D\) 是 \(⊙O\) 上一点。则 \(\angle BDC\) 的度数为 ______°。
- 如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，\(C, D\) 是圆上的两点，若 \(\angle CDB=35°\)，则 \(\angle ABC\) 的度数为 ______°。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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- 如图，点 \(A, B, C, D\) 在 \(⊙O\) 上，\(OA \perp BC\)，垂足为 \(E\)，\(\angle ADC=30°\)。则 \(\angle AOB\) 的度数为 ______°。`
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
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第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，在 \(⊙O\) 中，\(AB\) 是直径，\(C\) 是 \(⊙O\) 上一点，\(D\) 是 \(\widehat{BC}\) 的中点，\(DE \perp AB\) 于点 \(E\)，交 \(BC\) 于点 \(F\)。
- 求证：\(F\) 是 \(BC\) 的中点；
- 若 \(AC=6, \odot O\) 半径为5，求 \(DF\) 的长。
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📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)`
- 如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，\(C\) 为 \(⊙O\) 上一点，\(AD\) 和过点 \(C\) 的切线互相垂直，垂足为 \(D\)。
- 求证：\(AC\) 平分 \(\angle DAB\)；
- 若 \(AD=8, AC=10\)，求 \(AB\) 的长。
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📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)`
- （动态探究）如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，点 \(P\) 在 \(BA\) 的延长线上，弦 \(CD \perp AB\) 于点 \(E\)，\(\widehat{BC} = \widehat{BD}\)。
- 求证：\(PC\) 是 \(⊙O\) 的切线；
- 若 \(OE:EA=1:2, PA=6\)，求 \(⊙O\) 的半径。
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📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)`
- （最值问题）如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，\(AB=4\)，点 \(C\) 是半圆上的一个动点（不与 \(A, B\) 重合），\(CD \perp AB\) 于点 \(D\)，点 \(P\) 是 \(CD\) 的中点。则点 \(P\) 的运动路径长为 ______。
- （综合应用）如图，在平面直角坐标系中，\(M\) 经过原点 \(O\)，且与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于点 \(A(8,0)\)、点 \(B(0,6)\)。
- 求 \(⊙M\) 的半径；
- 点 \(C\) 在弧 \(OAB\) 上，连接 \(BC\) 并延长至点 \(D\)，使得 \(DC=BC\)。求证：\(AD\) 是 \(⊙M\) 的切线。
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📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)`
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 逆推验证：算出角度后，用“圆周角是圆心角一半”反推圆心角，看是否符合图形逻辑。2. 特殊值检验：如果题目没给具体图，可以在符合题意的情况下自己画一个标准图（如等腰直角三角形），用量角器估算答案范围。3. 逻辑链闭环：检查证明题的每一步，是否都明确写出了定理的条件和结论（如“∵…是直径，∴…”）。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：记住阿星的“破题眼”口诀：“同弧所对…圆心角一半…直径出直角”。在草稿纸上画一个标准的圆，标出一条直径和一个圆周角，用量角器或通过三角形内角和（圆心角与圆周角构成的等腰三角形）来重新推导这个关系。这个直观的过程能帮你迅速唤醒记忆。
Q：压轴题辅助线怎么做？
A：牢记两个核心连接：1. 见直径，连直角：题目出现直径或疑似直径，立刻连接直径端点与圆上第三点，构造直角三角形。2. 寻等角，构同弧：要证明角相等或找角的关系，尝试找到或构造它们所对的同一条弧。连接相关的弦，是创造新圆周角的最常用方法。
参考答案
第一关： 1. 40° 2. 50° 3. 错（必须在同圆或等圆中） 4. 60°或120° 5. 25°
第二关： 1. 答案在 \(2\sqrt{5}\) 到 10 之间即可，如 6 2. 140° 3. 69° 4. 55° 5. 60°
第三关： 1. a) 略 (利用垂径定理和圆周角定理) b) \(DF = \frac{7}{2}\) 2. a) 略 (连接OC，利用切线性质和等角代换) b) \(AB = \frac{25}{2}\) 3. a) 略 (连接OC，证明 \(OC \perp PC\)) b) 半径 \(r=3\) 4. \(\pi\) 5. a) 半径 \(r=5\) b) 略 (证明 \(\angle OAD = 90°\)，需用到圆周角定理和中位线)
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