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储蓄问题：利息计算与应用题深度解析专项练习题库

适用年级

初一

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：储蓄问题 原理

  • 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你把一笔钱（本金）交给银行，银行就是你的“财富管家”。为了感谢你的信任，管家会按一个约定的比例（利率）付给你“报酬”。这笔报酬就叫利息。利息的多少，取决于你给了管家多少钱、报酬率有多高，以及你让管家帮你打理了多久（时间）。最后，你拿回本金时，管家会把本金和它帮你赚的利息一起还给你，这总和就是本息和。所以，利息=本金×利率×时间，本息和=本金+利息。
  • 计算秘籍：
    1. 设未知数：通常将所求的未知量设为 \( x \)，例如本金 \( x \) 元。
    2. 列关系式：根据“利息=本金×利率×时间”或“本息和=本金×(1+利率×时间)”列出等式。
    3. 解方程：求解 \( x \)。
    4. 验证作答：检查单位是否统一（年利率对应年数，月利率对应月数），并写出最终答案。
  • 阿星口诀：本金生利息，利随本钱长；利率乘时间，千万别遗忘；本息加起来，财富就变样！

📐 图形解析

储蓄就像爬一个阶梯。每一级台阶的高度（利息）取决于你的起点高度（本金）、台阶的陡峭程度（利率）和你爬了多少级（时间）。本息和就是你最终达到的高度。

核心公式：\( 本息和 = 本金 + 本金 \times 利率 \times 时间 = 本金 \times (1 + 利率 \times 时间) \)

时间 0 时间 1 时间 2 时间 3 本金 利息1 利息2 利息3 本息和增长

上图展示了一笔钱存入后，其本息和随时间（假设利率不变）的增长过程。每一段的上升高度代表该段时间产生的利息。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：年利率 \( 3\% \)，存款 \( 6 \) 个月，计算时时间直接代入 \( 6 \)。

    ✅ 正解：利率与时间的单位必须一致。若利率是年利率，时间应以“年”为单位。\( 6 \) 个月 = \( \frac{6}{12} \) 年 = \( 0.5 \) 年。
  • ❌ 错误2：求两年后的本息和，用公式：\( 本息和 = 本金 \times 利率 \times 时间 \)。

    ✅ 正解：混淆了利息与本息和公式。正确应为 \( 本息和 = 本金 \times (1 + 利率 \times 时间) \)。

🔥 三例题精讲

例题1：小星将 \( 1000 \) 元压岁钱存入银行，年利率为 \( 2.5\% \)，存期 \( 2 \) 年。到期后他可以取出多少元（本息和）？

📌 解析：

  1. 已知本金 \( P = 1000 \) 元，年利率 \( r = 2.5\% = 0.025 \)，时间 \( t = 2 \) 年。
  2. 利息 \( I = P \times r \times t = 1000 \times 0.025 \times 2 = 50 \) 元。
  3. 本息和 \( A = P + I = 1000 + 50 = 1050 \) 元。

    或直接用公式 \( A = P \times (1 + r \times t) = 1000 \times (1 + 0.025 \times 2) = 1000 \times 1.05 = 1050 \) 元。

✅ 总结：直接应用基本公式，注意将百分数化为小数参与计算。

例题2：妈妈把一笔钱存入银行，定期一年，年利率是 \( 1.75\% \)。到期后连本带利共取出 \( 20350 \) 元。妈妈当初存入了多少本金？

📌 解析：

  1. 设本金为 \( x \) 元。已知本息和 \( A = 20350 \)，利率 \( r = 1.75\% = 0.0175 \)，时间 \( t = 1 \) 年。
  2. 根据本息和公式：\( A = x \times (1 + r \times t) \)。
  3. 代入数据：\( 20350 = x \times (1 + 0.0175 \times 1) \)。
  4. 计算：\( 20350 = x \times 1.0175 \)。
  5. 解得：\( x = \frac{20350}{1.0175} = 20000 \) 元。

✅ 总结：已知本息和反求本金时，用除法。关键是正确列出本息和公式。

例题3：爸爸将 \( 8000 \) 元存入银行，存了 \( 3 \) 年，到期共获得利息 \( 660 \) 元。这笔存款的年利率是多少？

📌 解析：

  1. 已知本金 \( P = 8000 \) 元，利息 \( I = 660 \) 元，时间 \( t = 3 \) 年。
  2. 根据利息公式：\( I = P \times r \times t \)。
  3. 代入数据：\( 660 = 8000 \times r \times 3 \)。
  4. 计算：\( 660 = 24000 \times r \)。
  5. 解得：\( r = \frac{660}{24000} = 0.0275 \)。
  6. 将小数化为百分数：\( r = 0.0275 = 2.75\% \)。

✅ 总结：求利率时，从利息公式出发进行逆运算，最后结果常以百分数形式呈现。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 小明存入 \( 500 \) 元，年利率 \( 3\% \)，存 \( 1 \) 年，到期利息是多少元？
  2. 小红将 \( 2000 \) 元存 \( 2 \) 年，年利率 \( 2.1\% \)，到期本息和是多少元？
  3. 计算：\( 1500 \) 元，月利率 \( 0.25\% \)，存 \( 6 \) 个月，利息是多少？
  4. 李阿姨存入一笔钱，年利率 \( 1.5\% \)，一年后得利息 \( 45 \) 元，她存了多少本金？
  5. 本金 \( 1200 \) 元，存期 \( 3 \) 年，本息和共 \( 1332 \) 元，求年利率。
  6. 将 \( 800 \) 元存银行 \( 9 \) 个月，年利率 \( 2.4\% \)，到期可取回多少钱？
  7. 年利率 \( 4\% \)，要使利息达到 \( 80 \) 元，需要存入 \( 1000 \) 元本金多久？
  8. 小刚把零花钱 \( 600 \) 元存了半年，得到本息和 \( 607.5 \) 元，求半年期的利率。
  9. 比较：\( A \) 方案年利率 \( 2\% \) 存 \( 2 \) 年，\( B \) 方案年利率 \( 2.5\% \) 存 \( 1 \) 年，本金都是 \( 1000 \) 元，哪个方案利息多？
  10. 填空：本息和 = 本金 × (______ + ______ × ______)。

第二关：中考挑战（10道）

  1. （中考真题变式）某企业向银行贷款 \( 100 \) 万元，一年后归还本息共计 \( 106 \) 万元，求这笔贷款的年利率。
  2. 小华将一笔钱按两年期存入银行，年利率为 \( 2.25\% \)，两年后扣除 \( 5\% \) 的利息税后，得到本息和 \( 10427.5 \) 元。他当初存入多少元？
  3. 爸爸有两种储蓄方式：甲种年利率 \( 1.5\% \)，先存一年，到期后连本带利再存一年；乙种直接存两年期，年利率 \( 2.1\% \)。若有 \( 10000 \) 元，哪种方式收益更高？
  4. 一种三年期国债年利率为 \( 3.8\% \)，妈妈买了 \( 5 \) 万元这种国债，到期可取出多少元？
  5. （分段计息）银行规定：存款超过 \( 500 \) 元的部分，年利率为 \( 2\% \)，不超过的部分为 \( 1\% \)。小明存入 \( 800 \) 元一年，能得到多少利息？
  6. 某人将一笔钱存入银行，计划存 \( 5 \) 年。一年后他因急需用钱取出，银行按活期年利率 \( 0.35\% \) 支付利息，他损失了多少利息？（假设原定期年利率为 \( 2.75\% \)）
  7. 两笔钱，一笔存一年期，年利率 \( 2\% \)，另一笔存两年期，年利率 \( 2.5\% \)。两年后，两笔钱的本息和恰好相等。求这两笔本金之比。
  8. 一个水池装有进水管和出水管。单开进水管，\( 20 \) 分钟可将空池注满；单开出水管，\( 30 \) 分钟可将满池水放完。现同时打开两管，多少分钟后水池有 \( \frac{1}{4} \) 池水？（提示：将水池总容量比作本金，每分钟的进/出水量比作正/负利率）
  9. 某商品标价 \( 120 \) 元，若打九折出售，仍可获利 \( 20\% \)。求该商品的进价。（提示：可将利润看作“利息”，进价看作“本金”）
  10. 结合简单方程：甲、乙两人共有存款 \( 2000 \) 元，后来甲又存入 \( 100 \) 元，乙取出自己存款的 \( \frac{1}{3} \)，这时甲的存款是乙的 \( 2 \) 倍。求两人原有存款各多少元？

第三关：生活应用（5道）

  1. （购房首付）王叔叔想买一套总价 \( 120 \) 万的房子，首付需 \( 40\% \)。他将现有积蓄 \( 30 \) 万元存入银行，准备攒够首付。银行年利率为 \( 2\% \)，他需要存多少年？（忽略其他收入）
  2. （教育储蓄）为了给女儿准备 \( 6 \) 年后上大学的费用 \( 10 \) 万元，爸爸现在准备存入一笔教育储蓄（免征利息税）。如果六年期教育储蓄年利率为 \( 3.5\% \)，他现在需要一次性存入多少钱？
  3. （投资收益对比）小星有 \( 5000 \) 元，有两种理财选择：A是银行一年定期，年利率 \( 1.8\% \)，到期自动转存；B是某货币基金，预期年化收益率 \( 2.2\% \)（按复利每日计息，本题简化为一年后本息和按单次计算）。两年后，哪种方式收益更高？
  4. （分期付款 vs 全款）买一台电脑，全款需 \( 6000 \) 元。若选择分期付款，首付 \( 2000 \) 元，之后每月付 \( 350 \) 元，付 \( 12 \) 个月。假设你将全款的 \( 6000 \) 元存入银行，月利率 \( 0.25\% \)，一年后本息和是否足够支付分期总价？哪种方式更划算？
  5. （贷款决策）某创业项目需要启动资金 \( 5 \) 万元。可以向亲友无息借款，一年后归还本金；也可以向银行贷款，年利率 \( 4.5\% \)，一年后还本付息。如果该项目预期一年后可获利 \( 6000 \) 元，从纯经济收益角度看，应选择哪种借款方式？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：储蓄问题 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点主要有两个：一是概念混淆，分不清利息和本息和，容易用错公式；二是单位不统一，看到“月”、“年”、“%”就慌张。本质上是对 \( I = P \times r \times t \) 这个乘法关系的三个因子理解不深。只要牢记“总利息等于本金、利率、时间三者的乘积”，并在计算前确保利率与时间的单位相匹配（如年利率对应年份，月利率对应月份），难题就解决了一大半。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：储蓄问题是正比例函数 \( y = kx \) 的绝佳现实模型（这里利息 \( I \) 正比于本金 \( P \)，当 \( r, t \) 固定时）。它为后续学习更复杂的一次函数 \( y = kx + b \)（本息和公式 \( A = P \cdot r \cdot t + P \)）打下基础。更重要的是，它引入了百分比、增长率的核心思想，这是未来学习指数增长、数列、乃至金融数学（如复利 \( A = P(1 + r)^n \) ）的启蒙。它训练的是从现实问题中抽象出数学关系式的能力。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有！分四步走：一标、二选、三代、四算。

  1. 标：从题目中标记出 \( P \) (本金)、\( I \) (利息)、\( A \) (本息和)、\( r \) (利率)、\( t \) (时间) 五个量中的已知和未知。
  2. 选：根据问题选择核心公式：求利息用 \( I = P \cdot r \cdot t \)，求本息和用 \( A = P \cdot (1 + r \cdot t) \) 或 \( A = P + I \)。
  3. 代：代入已知数，特别注意将 \( r \) 从百分数化为小数，并检查 \( r \) 与 \( t \) 单位是否一致。
  4. 算：解方程或直接计算。这就是最普适、最有效的解题框架。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( I = 500 \times 3\% \times 1 = 15 \) 元。
  2. \( A = 2000 \times (1 + 2.1\% \times 2) = 2000 \times 1.042 = 2084 \) 元。
  3. \( I = 1500 \times 0.25\% \times 6 = 22.5 \) 元。
  4. \( P = I / (r \times t) = 45 / (1.5\% \times 1) = 3000 \) 元。
  5. 由 \( 1332 = 1200 \times (1 + r \times 3) \) 得 \( 1 + 3r = 1.11 \)， \( r = 0.11 / 3 \approx 0.0367 = 3.67\% \)。
  6. \( t = 9/12 = 0.75 \) 年， \( A = 800 \times (1 + 2.4\% \times 0.75) = 800 \times 1.018 = 814.4 \) 元。
  7. 由 \( 80 = 1000 \times 4\% \times t \) 得 \( t = 80 / 40 = 2 \) 年。
  8. 半年期利率设为 \( r \)， \( 607.5 = 600 \times (1 + r) \)， \( 1 + r = 1.0125 \)， \( r = 0.0125 = 1.25\% \)。
  9. A： \( I = 1000 \times 2\% \times 2 = 40 \) 元；B： \( I = 1000 \times 2.5\% \times 1 = 25 \) 元。A方案利息多。
  10. 本息和 = 本金 × (1 + 利率 × 时间)。

第二关：中考挑战

  1. 设年利率为 \( r \)， \( 100(1 + r) = 106 \)， \( r = 0.06 = 6\% \)。
  2. 设本金为 \( x \) 元。税前本息和为 \( x \times (1 + 2.25\% \times 2) = 1.045x \)。税前利息为 \( 0.045x \)，税后利息为 \( 0.045x \times (1 - 5\%) = 0.04275x \)。税后本息和： \( x + 0.04275x = 1.04275x = 10427.5 \)， \( x = 10000 \) 元。
  3. 甲种：一年后本息和 \( 10000 \times 1.015 = 10150 \) 元，再存一年： \( 10150 \times 1.015 \approx 10302.25 \) 元。乙种： \( 10000 \times (1 + 2.1\% \times 2) = 10420 \) 元。乙种收益更高。
  4. \( A = 50000 \times (1 + 3.8\% \times 3) = 50000 \times 1.114 = 55700 \) 元。
  5. 利息分两部分： \( 500 \times 1\% \times 1 + (800-500) \times 2\% \times 1 = 5 + 6 = 11 \) 元。
  6. 原定期利息： \( P \times 2.75\% \times 5 \)。实际活期利息： \( P \times 0.35\% \times 1 \)。损失利息 = \( P \times (2.75\% \times 5 - 0.35\% \times 1) \)，因本金 \( P \) 相同，损失的比例为 \( 13.75\% - 0.35\% = 13.4\% \)。
  7. 设两笔本金分别为 \( P_1, P_2 \)。\( P_1 \times (1 + 2\% \times 1) = P_2 \times (1 + 2.5\% \times 2) \)，即 \( 1.02 P_1 = 1.05 P_2 \)，所以 \( P_1 : P_2 = 1.05 : 1.02 = 105 : 102 = 35 : 34 \)。
  8. 将水池总容量看作 \( 1 \)。进水管效率（正利率）为 \( \frac{1}{20} \)/分钟，出水管效率（负利率）为 \( -\frac{1}{30} \)/分钟。设 \( t \) 分钟后有 \( \frac{1}{4} \) 池水，即“本息和”为 \( \frac{1}{4} \)，本金为 \( 0 \)。列式：\( 0 + (\frac{1}{20} - \frac{1}{30}) \times t = \frac{1}{4} \)， \( \frac{1}{60} t = \frac{1}{4} \)， \( t = 15 \) 分钟。
  9. 设进价为 \( x \) 元。售价为 \( 120 \times 0.9 = 108 \) 元。获利 \( 20\% \) 即利润为 \( 20\%x \)。列方程： \( x + 20\%x = 108 \)， \( 1.2x = 108 \)， \( x = 90 \) 元。
  10. 设甲原有 \( x \) 元，乙原有 \( 2000 - x \) 元。后来甲： \( x + 100 \)，乙： \( (2000 - x) \times (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}(2000 - x) \)。列方程： \( x + 100 = 2 \times \frac{2}{3}(2000 - x) \)，解得 \( x = 1100 \)。甲原有 \( 1100 \) 元，乙原有 \( 900 \) 元。

第三关：生活应用

  1. 首付需要 \( 120 \times 40\% = 48 \) 万元。设需存 \( t \) 年。 \( 30 \times (1 + 2\% \times t) = 48 \)， \( 1 + 0.02t = 1.6 \)， \( t = 30 \) 年。可见仅靠存款利息很难快速攒够大额首付。
  2. 设需存入 \( x \) 元。 \( x \times (1 + 3.5\% \times 6) = 100000 \)， \( x = 100000 / 1.21 \approx 82644.63 \) 元。
  3. A：一年后 \( 5000 \times 1.018 = 5090 \) 元，再存一年 \( 5090 \times 1.018 \approx 5181.62 \) 元。B：两年后按单利简算 \( 5000 \times (1 + 2.2\% \times 2) = 5220 \) 元。B收益更高。注：B若按复利计算收益会略高一点。
  4. 分期总价： \( 2000 + 350 \times 12 = 6200 \) 元。存款一年后本息和： \( 6000 \times (1 + 0.25\% \times 12) = 6000 \times 1.03 = 6180 \) 元。\( 6180 < 6200 \)，存款不够支付分期总价。全款更划算（或说分期付款相当于承担了隐含的利息成本）。
  5. 向亲友借款：收益 = \( 6000 \) 元（纯利）。向银行贷款：需支付利息 \( 50000 \times 4.5\% = 2250 \) 元，收益 = \( 6000 - 2250 = 3750 \) 元。从纯经济收益看，向亲友借款更划算，因为节省了利息成本。

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