线段垂直平分线性质：距离相等证明题与辅助线添加全解析专项练习题库

💡 阿星精讲：线段垂直平分线性质 原理

• 核心概念：想象线段 \(AB\) 是一场拔河比赛，它的两个端点 \(A\) 和 \(B\) 是势均力敌的选手。那么，垂直平分线就是这场比赛的“公正的裁判员”！首先，它站在正中间（“平分”），保证比赛起点公平；其次，它站得笔直（“垂直”），不偏袒任何一方。最关键的是，这位裁判员有个神奇的特性：他身上的每一个点，到选手A和选手B的距离都是一模一样的！这就是“距离相等”。所以，当你做题时，看到“需要证明两条线段相等”，或者“需要一个点到线段两端距离相等”的条件时，请立刻召唤这位“神辅助线”——垂直平分线，它能让复杂的证明瞬间变得清晰简单。
• 计算秘籍：
  1. 找中点：若 \(A(x_1, y_1)\)， \(B(x_2, y_2)\)，则中点 \(M\) 坐标为 \( M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)。
  2. 求垂直：线段 \(AB\) 的斜率为 \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。垂直平分线的斜率 \( k_{\perp} \) 满足 \( k_{AB} \times k_{\perp} = -1 \)，即 \( k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} \) (当 \( k_{AB} \neq 0 \) 时)。
  3. 写方程：已知中点 \(M\) 和斜率 \( k_{\perp} \)，垂直平分线方程可用点斜式：\( y - y_M = k_{\perp}(x - x_M) \)。
• 阿星口诀：垂直平分线，裁判真公正。两端距离等，辅助线之神。

📐 图形解析

定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。

即：如图，直线 \(l\) 是线段 \(AB\) 的垂直平分线，\(P\) 是 \(l\) 上任意一点，则 \(PA = PB\)。

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

图中，\(l \perp AB\) 且 \(AM = MB\)，\(P\) 为 \(l\) 上任意点，虚线 \(PA\) 和 \(PB\) 长度相等。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“角平分线上的点到角两边距离相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”是一回事。→ ✅ 正解：这是两个不同的定理！角平分线针对的是“角”和“边的距离”（垂直距离），而垂直平分线针对的是“线段”和“端点的距离”（连线长度）。对象和距离的定义都不同。
• ❌ 错误2：在使用逆定理时，直接说“因为 \(PA=PB\)，所以 \(P\) 在 \(AB\) 的垂直平分线上”，却未说明 \(A, B, P\) 不共线或未证明全等。→ ✅ 正解：严谨的证明需要连接 \(PM\)（\(M\) 为 \(AB\) 中点），通过证明 \( \triangle PAM \cong \triangle PBM \)（SSS）得到 \( \angle PMA = \angle PMB = 90^{\circ} \)，从而说明 \(PM\) 是垂直平分线。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\(CD\) 是线段 \(AB\) 的垂直平分线，\(AC=5\)，则 \(BC=\) ______。
2. 若点 \(P\) 在线段 \(AB\) 的垂直平分线上，\(AB=6\)，\(PA=5\)，则 \(PB=\) ______，点 \(P\) 到 \(AB\) 的距离是 ______。（利用勾股定理）
3. 判断题：到一条线段两个端点距离相等的点有且只有一点。（ ）
4. 在 \( \triangle ABC\) 中，\(AB\) 的垂直平分线交 \(AC\) 于 \(D\)，若 \(AD=3\)，\(DC=2\)，则 \(BD=\) ______。
5. 已知点 \(A(0,2)\)， \(B(4,0)\)，则线段 \(AB\) 垂直平分线的方程是 ______。
6. 在 \( \triangle ABC\) 中，\( \angle C=90^{\circ}\)，\( \angle B=30^{\circ}\)，\(AB\) 的垂直平分线交 \(BC\) 于 \(D\)，\(BD=4\)，求 \(AC\) 的长。
7. 已知直线 \(l\) 和线外两点 \(A, B\)，如何在 \(l\) 上找到一点 \(P\)，使 \(PA=PB\)？简述作图方法。
8. 若一个三角形的两条边的垂直平分线交于一点，这个点有什么性质？
9. 等腰三角形 \(ABC\) 中，\(AB=AC=10\)，\(BC=12\)，\(AB\) 的垂直平分线交 \(AC\) 于点 \(E\)，求 \( \triangle BCE\) 的周长。
10. 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。

第二关：中考挑战（10道）

1. （真题改编）如图，在 \( \triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\( \angle BAC=40^{\circ}\)，分别以点 \(A, C\) 为圆心，大于 \( \frac{1}{2}AC\) 长为半径画弧，两弧交于点 \(M, N\)，作直线 \(MN\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)，连接 \(AD\)，则 \( \angle BAD\) 的度数为 ______。
2. （真题改编）在 \( \triangle ABC\) 中，\( \angle ACB=90^{\circ}\)，分别以点 \(A, B\) 为圆心，大于 \( \frac{1}{2}AB\) 长为半径画弧，两弧分别交于 \(M, N\)，作直线 \(MN\) 交 \(AB\) 于点 \(D\)，交 \(BC\) 于点 \(E\)。若 \(AC=3\)，\(BC=4\)，则 \(CE\) 的长为 ______。
3. 已知 \( \triangle ABC\) 的边 \(BC\) 的垂直平分线 \(DE\) 与 \( \angle BAC\) 的平分线交于点 \(E\)，\(EF \perp AB\) 于 \(F\)，\(EG \perp AC\) 交 \(AC\) 延长线于 \(G\)。求证：\(BF=CG\)。
4. 在平面直角坐标系中，\(A(-2,0)\)， \(B(4,2)\)，点 \(P\) 在 \(y\) 轴上，且 \( \triangle PAB\) 是以 \(AB\) 为底边的等腰三角形，求点 \(P\) 的坐标。
5. 在 \( \triangle ABC\) 中，\(D\) 是 \(BC\) 的中点，\(DE \perp AB\)， \(DF \perp AC\)，垂足分别为 \(E, F\)，且 \(DE=DF\)。求证：\( \triangle ABC\) 是等腰三角形。
6. 已知 \( \triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\( \angle A=100^{\circ}\)，\(AB\) 的垂直平分线交 \(BC\) 于 \(D\)，连接 \(AD\)，求 \( \angle DAC\) 的度数。
7. （尺规作图题）如图，已知 \( \triangle ABC\)，求作一点 \(P\)，使 \(PA=PB\)，且点 \(P\) 到 \( \angle ACB\) 两边的距离相等。（不写作法，保留作图痕迹）
8. 已知 \( \triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(BC=6\)，\( \triangle ABC\) 的面积为 \(12\)，\(AB\) 的垂直平分线交 \(AB\) 于点 \(D\)，交 \(AC\) 于点 \(E\)，求 \( \triangle BCE\) 的面积。
9. 如图，在 \( \triangle ABC\) 中，\( \angle ABC=45^{\circ}\)，\(AD \perp BC\) 于 \(D\)，\(BE \perp AC\) 于 \(E\)，\(AD\) 与 \(BE\) 交于点 \(F\)，连接 \(CF\)。若 \(BD=2\)，\(CD=3\)，求线段 \(CF\) 的长度。（提示：证明 \(F\) 在 \(BC\) 的垂直平分线上）
10. （探究题）在 \( \triangle ABC\) 中，\(AB\) 的垂直平分线 \(l_1\) 与 \(BC\) 的垂直平分线 \(l_2\) 交于点 \(O\)。求证：点 \(O\) 在 \(AC\) 的垂直平分线上。

第三关：生活应用（5道）

1. 选址问题：某社区要在一条街道旁（抽象为直线 \(l\)）修建一个便民服务站 \(P\)，要求服务站到两个小区 \(A\) 和 \(B\)（位于街道同侧）的距离相等。如何确定服务站的位置？请说明原理并作图。
2. 测量问题：由于条件限制，无法直接测量一个圆形湖面（圆心 \(O\)）的直径。工程师在湖岸上选取两点 \(A, B\)，并测量得 \(AB\) 的长度。他如何仅用一把足够长的直角尺和皮尺，找到圆心 \(O\) 的位置并估算直径？请阐述步骤。
3. 设计问题：设计师要在一面矩形墙壁上安装一幅画，画框背面有两个挂钩 \(E, F\)（间距固定）。为了保持画框水平，需要让两个挂钩到天花板（视为一条直线）的距离相等。请用数学原理说明，如何确定在墙上钉钉子的位置？

光学问题：光在反射时遵循“入射角等于反射角”的定律。试证明：从定点 \(A\) 发出的光线，经过直线 \(l\) 反射后到达定点 \(B\)，其光程（路径总长）最短的反射点 \(P\)，满足“入射角等于反射角”。（提示：作 \(A\) 关于 \(l\) 的对称点 \(A'\)，则 \(A'P=AP\)，光程 \(AP+PB = A'P+PB\)，最短时即 \(A', P, B\) 共线。）

4. 航海问题：一艘船在海上遇险，发出求救信号。已知信号被位于 \(A, B\) 两处的海岸救援站同时接收到。根据物理学原理，信号到达时间差可以转换为距离差。如果救援船要部署在到 \(A, B\) 两站距离相等的位置，它应该在怎样的轨迹上航行？这条轨迹与 \(AB\) 有什么关系？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身

1. \(5\)（垂直平分线性质）
2. \(5\)， \(4\)（由 \( \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \) 求得）
3. 错。有无数个点（整条垂直平分线）。
4. \(3\)
5. \(y = 2x - 3\)（中点 \(M(2,1)\)，\(AB\)斜率 \(k=-0.5\)，垂直平分线斜率 \(k'=2\)）
6. \(2\sqrt{3}\)（连接 \(AD\)，则 \(AD=BD=4\)，\( \angle ADC=60^{\circ}\)， \(AC=AD \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}\)）
7. 作线段 \(AB\) 的垂直平分线，与直线 \(l\) 的交点即为点 \(P\)。
8. 这个点是三角形外接圆的圆心（外心）。
9. \(22\)（\(BE=AE\)，周长 \(=BE+EC+BC = AC+BC = 10+12=22\)）
10. 证明：设 \( \triangle ABC\) 中 \( \angle C=90^{\circ}\)，\(D\) 为 \(AB\) 中点。连接 \(CD\)。则 \(CD\) 是斜边中线。易证 \( \triangle ADC\) 和 \( \triangle BDC\) 是等腰三角形，故 \(DA=DC=DB\)。

（因篇幅所限，第二、三关及详细解析从略。核心思路已在例题和FAQ中阐明。）