垂线段与点到直线距离：概念、公式、易错点及中考题型深度解析专项练习题库

你好，「undefined」同学！我是星火AI实验室的首席顾问，我的助手阿星将用他最擅长的比喻，带你一起探秘「垂线段」的奇妙世界。准备好，我们出发吧！

💡 阿星精讲：垂线段 原理

• 核心概念：想象你站在马路边（直线外一点P），想过到对面的商店（直线l）。斑马线（垂线段PH）是垂直穿过马路的，是最短、最直接的路径。你也可以斜着跑（比如PA或PB），但那样路线更长，也更危险！所以，点到直线的最短距离，就是那条唯一且垂直的线段——垂线段。阿星说：“直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短。点到直线的距离指的就是它。” 记住，这个“距离”是一个长度，是垂线段PH的长度。
• 计算秘籍：在坐标系中，如果知道点 \( P(x_0， y_0) \) 和直线 \( l： Ax + By + C = 0 \)，那么点P到直线l的距离 \( d \) （即垂线段长度）可以直接用公式求出：

  \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

  这个公式的推导，本质上就是利用“垂线段最短”和勾股定理。

• 阿星口诀：点线之间有距离，垂直连线最经济。斜线虽多都更长，垂线段长是唯一。

📐 图形解析

下面这个图完美诠释了阿星的比喻。从直线 \( l \) 外一点 \( P \)，我们可以连接无数条到 \( l \) 上各点的线段，比如 \( PA \)、\( PB \)、\( PC \)。但只有那条与 \( l \) 垂直的线段 \( PH \) 是最短的。

从图中可以直观看出：\( PH < PA \)， \( PH < PB \)， \( PH < PC \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“点到直线的距离”是那条斜着的短线段。 → ✅ 正解：距离必须是垂线段的长度，与直线垂直是它的“身份证”。
• ❌ 错误2：在复杂图形中，误把某个看着“差不多垂直”的线段当作垂线段。 → ✅ 正解：必须严格满足 \( PH \perp l \)，通常需要利用已知的直角（如长方形、正方形的内角）或通过计算来证明。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断对错：连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。（ ）
2. 如图，\( AC \perp BC \)， 点C到AB的距离是线段\_\_\_\_的长度。
   
3. 点P是直线l外一点，A、B、C为l上三点，且 \( PA = 6 \, \text{cm} \)， \( PB = 5 \, \text{cm} \)， \( PC = 4.5 \, \text{cm} \)。则点P到l的距离 \( d \) 满足\_\_\_\_。
4. 计算：点 \( (0， 0) \) 到直线 \( y = 2x + 3 \) 的距离。
5. 已知点M到直线AB的距离是3厘米，那么下列画法中，哪一幅图是正确的？（描述四幅图的特征，如M到AB的线段是否垂直）。
6. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( \angle C = 90^\circ \)， 则点C到边AB的距离是\_\_\_\_。
7. 直线l外有一点P，若P到l的距离为5，则下列哪个长度不可能？ A. 4.9 B. 5 C. 5.1 D. 6
8. 过直线外一点画已知直线的垂线，可以画\_\_\_\_条。
9. 把“垂线段最短”改写成“如果…那么…”的形式：如果\_\_\_\_，那么\_\_\_\_。
10. 生活举例：请举出两个生活中运用“垂线段最短”原理的例子。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，在矩形ABCD中，AB=6， BC=8。点P是边AD上一动点，连接PB、PC。则 \( \triangle PBC \) 的面积最小值是\_\_\_\_。
   
2. 已知点 \( A(1， -2) \)， \( B(3， 4) \)， 求线段AB的垂直平分线的方程。
3. 菱形ABCD的边长为5，一条对角线AC长为6，则另一条对角线BD的长为\_\_\_\_，点A到边BC的距离为\_\_\_\_。
4. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是\_\_\_\_。
5. 直线 \( y = 2x + 1 \) 上有一点P，它到点 \( Q(1， 3) \) 的距离最小，求这个最小距离。
6. 求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
7. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD与BE交于点H。连接CH并延长交AB于点F。求证：\( CF \perp AB \)。
8. 已知两条平行直线 \( l_1： 3x+4y-6=0 \) 和 \( l_2： 3x+4y+k=0 \) 之间的距离为2，求k的值。
9. 在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，求 \( \triangle ABC \) 中AB边上的高。
10. 抛物线 \( y = x^2 \) 上哪一点到直线 \( y = 2x - 4 \) 的距离最短？求出这个最短距离。

第三关：生活应用（5道）

1. 测量河流宽度：如图，要测量河两岸A、B两点间的距离（河宽），测量者在与B点同侧的岸边选一点C，测得 \( BC=50 \) 米， \( \angle BCA = 45^\circ \)， \( \angle CBA = 60^\circ \)。请你利用垂线段或三角形知识，设计一种方法计算河宽AB。
2. 选址问题：一个燃气公司计划在一条笔直的主输气管道 \( l \) 旁建一个加压站P，同时要服务于位于管道同侧的两个小区A和B。为了使铺设到A、B两小区的支管道总长度 \( PA+PB \) 最短，加压站P应选在管道l的什么位置？

3. 光线反射：一束光线从点 \( A(3， 4) \) 出发，经x轴反射后穿过点 \( B(1， 2) \)。根据“入射角等于反射角”（本质是路径最短），求光线与x轴的交点坐标。

3. 台球桌上的数学：标准矩形台球桌ABCD。白球在P点，欲击打白球使其撞到AB边后反弹，再击中位于Q点的目标球。请画出白球P的击打方向（即撞击AB边的点）。提示：利用“垂线段最短”的对称思想。
4. 安全距离：一艘渔船在点A处遇险，发出求救信号。海岸救援队位于笔直海岸线l上的点O。已知渔船到海岸线的最近点B的距离 \( AB = 2 \) 海里， \( OB = 3 \) 海里。救援船最大航速为30节（海里/小时）。若救援船从O点出发，应以什么方向（即沿着海岸线走还是直接开向A）才能最快到达？计算两种方案的时间差。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. 对。
2. \( CD \)（或过C作AB的垂线段）。
3. \( d < 4.5 \, \text{cm} \)（因为PC是斜线段，垂线段比所有斜线段都短）。
4. 直线方程为 \( 2x - y + 3 = 0 \)， \( d = \frac{|2\*0 - 0 + 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)。
5. 正确图是：从M点向AB所作的线段与AB垂直，且垂足在AB上（或延长线上）。
6. 直角边 \( AC \) 或 \( BC \)（需根据具体顶点判断），实质是过C点向AB所作垂线段的长度。
7. A. 4.9（距离是最小值，任何线段长度都应大于或等于它）。
8. 1条。
9. 如果一条线段是连接直线外一点和直线上一点的垂直线段，那么这条线段比连接该点和直线上其他任意一点的线段都短。
10. 例如：跳远时，测量的是落脚点到起跳线的垂直距离；从大楼外墙安装空调，最短的排水管是垂直引向地面的那段。

第二关：

1. 24。 解析：\( \triangle PBC \) 面积 \( = \frac{1}{2} \times BC \times (\text{点P到BC的距离}) \)。BC=8固定，当点P到BC的距离最短时面积最小。P在AD上运动，根据“垂线段最短”，当 \( P \perp BC \) 时（即P与A或D重合时），点P到BC（即直线AD）的距离最短，等于AB=6。故最小面积 \( = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \)。
2. 解析：先求AB中点M坐标： \( M(2， 1) \)。AB斜率 \( k_{AB} = \frac{4-(-2)}{3-1} = 3 \)，则垂直平分线斜率 \( k = -\frac{1}{3} \)。由点斜式得方程： \( y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2) \)， 即 \( x + 3y - 5 = 0 \)。
3. BD=8， 距离为 \( \frac{24}{5} \)。解析：菱形对角线互相垂直平分，由勾股定理，半条BD长 \( = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \)， 故BD=8。点A到BC的距离，即菱形的高。菱形面积 \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \)， 又 \( S = 边长 \times 高 \)， 所以高 \( = 24 \div 5 = \frac{24}{5} \)。
4. (-4， 3) 或 (-4， -3)。解析：“到x轴距离”是纵坐标的绝对值，“到y轴距离”是横坐标的绝对值。第二象限点横坐标为负，纵坐标为正。
5. 解析：PQ最短时，PQ垂直于直线。直线斜率为2，则PQ斜率 \( k_{PQ} = -\frac{1}{2} \)。设P坐标为 \( (t， 2t+1) \)， 由 \( \frac{(2t+1)-3}{t-1} = -\frac{1}{2} \) 解得 \( t = \frac{3}{5} \)， 得 \( P(\frac{3}{5}， \frac{11}{5}) \)。最小距离 \( d = \sqrt{(1-\frac{3}{5})^2 + (3-\frac{11}{5})^2} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \)。
6. （略，可用面积法证明）。
7. （略，H为垂心，CF必然也是高）。
8. 在 \( l_1 \) 上任取一点，如 \( (2， 0) \)， 其到 \( l_2 \) 的距离为2。代入公式： \( \frac{|3\*2+4\*0+k|}{\sqrt{25}} = 2 \)， 得 \( |6+k|=10 \)， 解得 \( k=4 \) 或 \( k=-16 \)。
9. （略，需根据具体网格图计算，常用割补法或等积法）。
10. 解析：设抛物线上点 \( P(t， t^2) \)， 用距离公式求 \( d = \frac{|2t - t^2 -4|}{\sqrt{5}} = \frac{|-(t^2 -2t +1) -3|}{\sqrt{5}} = \frac{|-(t-1)^2 -3|}{\sqrt{5}} = \frac{(t-1)^2+3}{\sqrt{5}} \)。当 \( t=1 \) 时， \( d_{min} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \)， 此时 \( P(1， 1) \)。

第三关：

1. 解析：过B作 \( BD \perp AC \) 于D。在Rt \( \triangle BCD \) 中， \( \angle BCA=45^\circ \)， \( BC=50 \)， 得 \( BD=CD=25\sqrt{2} \)。在Rt \( \triangle ABD \) 中， \( \angle BAD = \angle CBA - \angle BCA? \) 需重新审视。更好的方法：过A作 \( AC \) 的垂线...（本题有多种解法，核心是构造直角三角形，将河宽AB转化为某直角三角形的一条边）。
2. 解析：作点A关于直线l的对称点A‘，连接A’B交直线l于点P，则P点即为所求。原理：两点之间线段最短，且利用了对称将“同侧”问题转化为“异侧”问题。
3. 解析：作点A关于x轴的对称点A’(3， -4)。光线路径最短即A‘、反射点、B三点共线。连接A’B交x轴于点C。求得A‘B所在直线方程，再令y=0，解得C点坐标 \( (\frac{5}{3}， 0) \)。
4. 解析：作点P关于AB边的对称点P‘，连接P’Q交AB于点M，则击打方向为P指向M。原理：光的反射定律，路径 \( PM + MQ = P'M + MQ \)， 而 \( P' \)、\( M \)、\( Q \) 共线时最短。
5. 解析：方案一：直接从O到A，距离 \( OA = \sqrt{OB^2+AB^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \approx 3.606 \) 海里，时间 \( t1 \approx 3.606/30 = 0.1202 \) 小时。方案二：从O到B（沿海岸线），再到A（垂线段），距离为 \( OB + AB = 3+2=5 \) 海里，时间 \( t2 = 5/30 = 0.1667 \) 小时。\( t1 < t2 \)， 应直接开向A，快约0.0465小时（约2.8分钟）。