垂线与点到直线距离：核心原理深度解析与中考必考题型精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：垂线 原理

• 核心概念：想象一下，你的家（点）在公路（直线）旁边。你想到公路上去，有无数条路（斜线）可以走。但是，哪条路最近呢？阿星告诉你：就是那条从你家门口笔直地、正对着公路修过去的路！这条最短的路，就叫“垂线段”。数学上，我们说点到直线的所有连线中，垂线段最短。这个垂线段的长度，就叫“点到直线的距离”。垂线就是那个让你找到“最短回家路”的神奇工具！
• 计算秘籍：
  1. 在坐标平面上：已知直线 \( l: Ax + By + C = 0 \) 和点 \( P(x_0, y_0) \)，点 \( P \) 到直线 \( l \) 的距离 \( d \)（即垂线段长度）为：
     \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
  2. 在几何图形中：关键是找到或作出那条“唯一的”垂直线段，它往往就是三角形的高、矩形的高等，再利用勾股定理、面积法等进行计算。
• 阿星口诀：点到直线，连线无数。要想最短，垂线指路。距离长度，唯此一段。

📐 图形解析

下图直观展示了为什么垂线段最短。点 \( P \) 到直线 \( l \) 可以连出无数条线段（如 \( PA \)、\( PB \)），但只有垂线段 \( PC \) 的长度最短。

点到直线距离公式：\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“点到直线的距离”是任意一条连线的长度。
  ✅ 正解：点到直线的距离特指垂线段的长度，它是所有连线中唯一最短的那一条。
• ❌ 错误2：过一点作已知直线的垂线时，垂足位置找不准，尤其是直线不是水平或竖直时。
  ✅ 正解：牢记垂足是同时在已知直线和所作垂线上的一点。在坐标系中，可联立两直线方程求解；尺规作图时，确保直角工具的一边与已知直线完全重合。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。（ ）
2. 点 \( P \) 到直线 \( l \) 的距离是指（ ）。
   1. 点 \( P \) 到直线 \( l \) 的垂线
   2. 点 \( P \) 到直线 \( l \) 的垂线段
   3. 点 \( P \) 到直线 \( l \) 的垂线段的长度
3. 如图，\( AC \perp BC \)，点 \( C \) 到 \( AB \) 的距离是线段____的长度。
   
4. 已知直线 \( l: y = 2x + 1 \)，则点 \( (0, 0) \) 到直线 \( l \) 的距离是____。
5. 过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（ ）条。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题) 在平面直角坐标系中，点 \( P(2, -3) \) 到 x 轴的距离是____，到 y 轴的距离是____。
2. 已知点 \( A(1, 3) \)， \( B(3, 1) \)，点 \( P \) 在 x 轴上，求 \( \triangle PAB \) 的周长最小时点 \( P \) 的坐标。
3. 如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=8 \)， \( BC=6 \)，点 \( E \) 在边 \( AD \) 上，且 \( BE=10 \)。求点 \( E \) 到对角线 \( BD \) 的距离。
4. 若平行直线 \( l_1: 3x+4y-5=0 \) 与 \( l_2: 3x+4y+m=0 \) 之间的距离为 2，求 \( m \) 的值。
5. 等腰三角形 \( ABC \) 中，\( AB=AC=13 \)， \( BC=10 \)，求腰上的高 \( BD \) 的长度。

第三关：生活应用（5道）

1. 测量问题：如何利用“垂线段最短”的原理，在不渡过一条河的情况下，粗略测量河的宽度？（画出草图并简述方法）
2. 工程选址：一个大型仓库 \( W \) 需要向位于一条主干道同侧的两个工厂 \( F_1 \) 和 \( F_2 \) 送货。为了节省总运输成本，仓库 \( W \) 应该建在主干道的什么位置？
3. 光学原理：光的反射定律中，入射角等于反射角。证明：光线从点 \( A \) 射到平面镜（直线 \( l \) ）上某点 \( P \) 再反射到点 \( B \)，当光程 \( AP+PB \) 最短时，入射角等于反射角。（提示：作对称点）
4. 农业规划：一块矩形田地 \( ABCD \) 中，\( AB=100m \)， \( BC=80m \)。计划从 \( A \) 点修一条笔直的水渠到边 \( CD \)，使得水渠最短。求这条水渠的长度。
5. 体育视角：在足球场上，边锋带球沿边线推进。此时，守门员站在球门线中点。解释在哪个时刻（位置），边锋射门的角度（球与两个门柱连线所成的角）可能最大？这与“垂线”概念有何潜在联系？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. ✅ 正确。
2. ✅ C。
3. 线段 \( CD \) 的长度。
4. 直线化为 \( 2x - y + 1 = 0 \)，代入公式：\( d = \frac{|2\*0 - 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)。
5. 1条。

第二关：

1. 到 x 轴距离为 \( | -3 | = 3 \)；到 y 轴距离为 \( | 2 | = 2 \)。
2. 作 \( A \) 关于 x 轴的对称点 \( A'(1, -3) \)，连接 \( A'B \) 交 x 轴于 \( P \)。\( A'B \) 方程：\( y+3 = \frac{1+3}{3-1}(x-1) \Rightarrow y=2x-5 \)。令 \( y=0 \)，得 \( x=2.5 \)。\( P(2.5, 0) \)。
3. 解析：连接 \( BD \)，在 \( \triangle ABD \) 中用等面积法。\( S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \)。又 \( S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times BD \times h_E \)（\( h_E \) 为点 \( E \) 到 \( BD \) 的距离）。由勾股定理，\( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2+6^2}=10 \)。所以 \( \frac{1}{2} \times 10 \times h_E = 24 \)，解得 \( h_E = 4.8 \)。
4. 在 \( l_1 \) 上任取一点，如令 \( x=3 \)，代入得 \( 9+4y-5=0 \)，\( y=-1 \)，点 \( (3, -1) \)。该点到 \( l_2 \) 的距离为 2。代入公式：\( \frac{|3\*3+4\*(-1)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|5+m|}{5} = 2 \)。所以 \( |5+m| = 10 \)，\( 5+m = 10 \) 或 \( 5+m = -10 \)，解得 \( m=5 \) 或 \( m=-15 \)。
5. 作底边高 \( AD \)，则 \( BD = DC = 5 \)。在 \( Rt\triangle ABD \) 中，\( AD = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \)。利用面积法：\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \)。也等于 \( \frac{1}{2} \times AC \times BD \)，即 \( \frac{1}{2} \times 13 \times BD = 60 \)，解得腰上高 \( BD = \frac{120}{13} \)。

第三关：（提供关键思路）

1. 在河对岸找一明显标志 \( A \)，在己岸找一点 \( B \) 使 \( AB \perp \) 河岸。再沿河岸走一段距离到点 \( C \)，使 \( BC \) 可测量。测量 \( \angle ACB \)（如利用直角三角板或量角器）。在 \( Rt\triangle ABC \) 中，已知 \( BC \) 和对角 \( \angle ACB \)，可求 \( AB \)。
2. 此题为“将军饮马”模型变形。作任一工厂关于主干道的对称点，连接另一工厂与对称点，连线与主干道的交点即为最优仓库位置。
3. 作点 \( B \) 关于镜面 \( l \) 的对称点 \( B' \)。则 \( AP+PB = AP+PB' \)。根据“两点之间线段最短”，当 \( A, P, B' \) 共线时，路径最短。由对称性易证此时入射角等于反射角。
4. 从 \( A \) 到 \( CD \) 的最短水渠，即 \( A \) 到直线 \( CD \) 的垂线段。因为 \( AD \perp CD \)，所以水渠就是 \( AD \) 的长度，为 \( 80m \)。
5. 这本质上是一个“定弦张角”问题。将两个球门柱看作点 \( A, B \)，边锋位置为点 \( P \)。当 \( P \) 在使得 \( \triangle ABP \) 的外接圆与边线相切的位置附近时，角 \( APB \) 可能较大。这与“从直线外一点引圆的两条切线”有关，而切点与圆心的连线垂直于切线，其中也蕴含着垂线的思想。