垂径定理的条件是什么？垂直平分弦怎么计算？深度解析与例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：垂径定理(条件) 原理

• 核心概念：我是圆心“O”，一个严厉的队长。弦“AB”是我的一队队员。当我派出一名特别督察——直径（或半径）“CD”去检查这队队员时，如果督察是垂直于队伍站立的，那么他不仅能精准地站在队伍的正中间（平分弦），还能精确测量出自己到队伍两端的距离（平分弦所对的两条弧）。记住，“垂直”是督察开展工作（得出结论）的许可证！没有这个前提，一切都免谈。
• 计算秘籍：当半径 \( OM \) 垂直弦 \( AB \) 于 \( M \) 时，立即触发两个核心关系：
  1. 弦被平分：\( AM = MB = \frac{1}{2} AB \)。
  2. 构造直角三角形：连接 \( OA \) (半径 \( r \))，则 \( \triangle OAM \) 是直角三角形，满足 \( OM^2 + AM^2 = OA^2 \)，即 \( OM^2 + (\frac{1}{2}AB)^2 = r^2 \)。这是解题的万能钥匙。
• 阿星口诀：垂直一出现，弦必被分半；径到弦中点，距离平方算。

📐 图形解析

定理的核心结构如下图所示（记作图1）：

如图1所示，当直径 \( CD \) 垂直于弦 \( AB \) 于点 \( M \) 时，我们立即可以得出：
\( AM = MB \)，\( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} \)，并且 \( \triangle OAM \) 是直角三角形。

⚠️ 条件陷阱演示（图2）： 下面的图形中，虽然 \( CD \) 是直径，也与弦 \( AB \) 相交，但不垂直，因此结论不成立。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到一条线过圆心且与弦相交，就直接用垂径定理。
  ✅ 正解：必须严格验证“垂直”这个条件。过圆心的直线只有垂直于弦时，才能平分弦。图2就是典型反例。
• ❌ 错误2：认为“垂直于弦的线”就是直径。
  ✅ 正解：垂直于弦的线不一定是直径，但垂径定理要求这条线必须是“直径”或“半径”（即必须过圆心）。解题时，常需自己添加“半径”或连接圆心与弦端点的辅助线来构造直角三角形。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \( \odot O \) 中，弦 \( AB \) 的长为 \( 6 \) cm，圆心 \( O \) 到 \( AB \) 的距离为 \( 4 \) cm。求 \( \odot O \) 的半径。
2. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 13 \) cm，弦 \( AB \parallel CD \)，且 \( AB = 24 \) cm，\( CD = 10 \) cm。求这两条平行弦之间的距离。（提示：有两种情况）
3. 如图，\( CD \) 是 \( \odot O \) 的直径，\( AB \) 是弦，且 \( CD \perp AB \) 于 \( E \)。若 \( AB=8 \)，\( DE=2 \)，求 \( \odot O \) 的半径。
   
4. 直接写出结论：若 \( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，且 \( CD \) 是弦，\( AB \perp CD \) 于 \( P \)，\( CP=3 \)，则 \( CD= \) ______。
5. 判断：垂直于弦的直线必平分这条弦。（ ）请说明理由。
6. 在半径为 \( 5 \) 的圆中，长为 \( 8 \) 的弦的弦心距为 ______。
7. 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 10 \)，弦 \( AB=12 \)，则圆心 \( O \) 到弦 \( AB \) 的距离为 ______。
8. 如图，\( \odot O \) 中，\( OC \perp AB \)，\( \angle A=22.5^\circ \)，\( OC=2 \)，求 \( AB \) 的长。
9. “平分弦的直径垂直于弦”这句话是否正确？如果不正确，请举出反例。
10. 一跨度为 \( 12 \) 米，拱高为 \( 2 \) 米的圆弧形门框，求该圆弧所在圆的半径。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，弦 \( CD \perp AB \) 于点 \( E \)，连接 \( AC \)，若 \( CD=8 \)，\( AE=2 \)，求 \( \tan \angle ACD \) 的值。
2. （最值问题）已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 4 \)，\( AB \) 是圆内长度为 \( 4\sqrt{3} \) 的弦，则 \( \triangle AOB \) 面积的最大值为 ______。
3. （分类讨论）已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 5 \)，弦 \( AB \parallel CD \)，且 \( AB=6 \)，\( CD=8 \)，求 \( AB \) 与 \( CD \) 之间的距离。
4. （证明题）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，\( C \) 是弧 \( AB \) 的中点，\( D \) 是弧 \( BC \) 上一点，\( CE \perp AD \) 于 \( E \)。求证：\( AE = ED + DB \)。
5. （翻折问题）将一张圆形纸片沿弦 \( AB \) 翻折后，圆弧恰好经过圆心 \( O \)。若 \( \odot O \) 的半径为 \( 6 \) cm，求折痕 \( AB \) 的长。
6. （坐标系）如图，在平面直角坐标系中，点 \( A(0, 6) \)，\( B(8, 0) \)，以原点 \( O \) 为圆心的圆过 \( A, B \) 两点。求此圆的半径及弦 \( AB \) 的弦心距。
7. （动点问题）在 \( \odot O \) 中，弦 \( AB=6 \)，点 \( P \) 为弦 \( AB \) 上一动点，连接 \( OP \)，则 \( OP \) 的取值范围是 ______。
8. （结合切线）如图，\( PA \) 切 \( \odot O \) 于点 \( A \)，\( PO \) 交 \( \odot O \) 于点 \( B \)，\( C \)，且 \( BC=6 \)，\( \angle APO=30^\circ \)。求 \( \odot O \) 的半径及弦 \( AB \) 的长。
9. （网格作图）在 \( 6 \times 6 \) 的正方形网格中，每个小正方形边长为 \( 1 \)，已知 \( A, B, C \) 是格点。请找到一点 \( D \)，使得以 \( A, B, C, D \) 为顶点的四边形有外接圆，且 \( AB \) 是该圆的一条弦，\( CD \) 是垂直于 \( AB \) 的直径。画出所有可能的点 \( D \)。
10. （阅读理解）阅读材料：垂径定理的逆定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”。应用：如图，\( \odot O \) 中，\( M, N \) 分别是弦 \( AB \)，\( CD \) 的中点，且 \( AB=CD \)。求证：\( \angle AMN = \angle CNM \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 测量古树直径：小明想测量一棵古树主干的直径。由于树干底部不规则，他用一根软尺紧贴树干水平绕了一圈，测得周长约为 \( 3.77 \) 米。他思考：如果不测周长，能否用其他方法测直径？请你设计一个利用“垂径定理”原理在树下测量直径的方案（画出草图，写出步骤和计算公式）。
2. 管道检测：一个圆柱形地下管道的横截面如图，检测员只能从地面开口处放入工具。他测得水面宽度 \( AB = 1.2 \) 米，又用测深锤测得水深（即拱顶到水面的距离）为 \( 0.3 \) 米。请你帮检测员计算出这个管道的半径。
3. 卫星信号覆盖：一颗卫星在距地面 \( h \) 千米的圆形轨道上运行，其信号覆盖范围是一个以卫星为球心的球体。若将地球表面近似看作球面，其半径为 \( R \) 千米。证明：卫星信号能覆盖到的地球表面区域（球冠）的圆的半径 \( r \) 满足 \( r^2 = h(2R + h) \)。（提示：将问题简化为平面圆，利用垂径定理和切割线定理思想）
4. 乐器调音：小提琴的琴弦（可抽象为线段）在琴码（可抽象为点）处被抬高，其两端固定在琴身的面板上。假设琴弦振动时，其有效振动部分的中点振幅最大。解释为什么琴码的位置（决定有效弦长）需要非常精确，这如何与“平分弦”的几何原理产生关联？
5. 隧道施工：一个隧道的横截面是上半圆形。施工时需要在隧道中间安装一个支撑梁（水平放置），梁的两端固定在隧道壁上。如果设计要求支撑梁到隧道顶的距离为 \( 2 \) 米，且隧道半径为 \( 5 \) 米，求这根支撑梁的长度。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：弦心距 \( d=4 \)，半弦长 \( \frac{6}{2}=3 \)。半径 \( r = \sqrt{d^2 + (\frac{弦长}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \) cm。
2. 解析：设圆心到 \( AB \)、\( CD \) 的距离分别为 \( d_1 \)、\( d_2 \)。
   \( d_1 = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144}=5 \)。
   \( d_2 = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25}=12 \)。
   情况一：弦在圆心同侧，距离为 \( |d_1 - d_2| = 7 \) cm。
   情况二：弦在圆心两侧，距离为 \( d_1 + d_2 = 17 \) cm。
3. 解析：连接 \( OB \)。设半径为 \( r \)，则 \( OE = r - 2 \)。由垂径定理，\( BE = 4 \)。在 \( Rt \triangle OEB \) 中，\( (r-2)^2 + 4^2 = r^2 \)，解得 \( r=5 \)。
4. 答案： \( 6 \)。解析：由垂径定理，\( CP=PD=3 \)，故 \( CD=6 \)。
5. 答案： 错误。解析：必须强调这条直线要“过圆心”。不过圆心的垂线不平分弦。
6. 答案： \( 3 \)。解析：\( d = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \)。
7. 答案： \( 8 \)。解析：\( d = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 \)。
8. 解析：连接 \( OB \)。\( OC \perp AB \)，由垂径定理得 \( AC=BC \)。\( \angle A=22.5^\circ \)，则 \( \angle BOC=45^\circ \)。在等腰 \( Rt \triangle OCB \) 中，\( OC=BC=2 \)。所以 \( AB=2BC=4 \)。
9. 解析：不正确。反例：一条弦是直径，任意一条直径都能平分它，但这些直径不一定垂直于它。
10. 解析：抽象为圆，弦长 \( 12 \)，拱高 \( 2 \)。设半径 \( r \)，弦心距 \( d = r-2 \)。半弦长为 \( 6 \)。由 \( r^2 = (r-2)^2 + 6^2 \) 解得 \( r=10 \) 米。

（第二关、第三关答案及详细解析因篇幅所限略，可另行提供。）