垂径定理深度解析：弦长、半径、弦心距计算全攻略与中考易错题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：结论 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们要聊一个关于“圆”的“霸道总裁”定律。想象一下，圆的正中心（圆心）派出一条最耿直的线（直径），这条线垂直地穿过一条弦（连接圆上两点的线段）。那么，这位“霸道总裁”直径会同时做三件“平分”的大事：① 把这条弦从中间劈开，平分它；② 把弦对着的那条大弧（优弧）也平均分；③ 把弦对着的那条小弧（劣弧）也平均分。简单说就是：垂直就平分，一箭三雕！ 反过来，如果一条直径（或过圆心的直线）平分了一条不是直径的弦，那么它也一定会垂直地穿过这条弦。这就叫“知恩图报”，你平分我，我就垂直你。
• 计算秘籍：这个结论的核心是构建直角三角形，利用勾股定理进行计算。设圆半径为 \( R \)，弦长为 \( AB = 2a \)，圆心到弦的距离（弦心距）为 \( d \)。当直径垂直于弦 \( AB \) 并平分于点 \( M \) 时，有 \( AM = BM = a \)。在直角三角形 \( \triangle AMO \) 中（\( O \) 为圆心），满足勾股定理：\( R^2 = d^2 + a^2 \)。已知其中任意两个量，即可求出第三个量。
  1. 已知 \( R \) 和 \( d \)，求弦长：\( AB = 2a = 2\sqrt{R^2 - d^2} \)。
  2. 已知 \( R \) 和 \( a \)（半弦长），求弦心距：\( d = \sqrt{R^2 - a^2} \)。
  3. 已知弦长 \( 2a \) 和弓形高 \( h \)（弦到弧的最大距离），求半径：通常 \( d = R - h \)，代入公式得 \( R^2 = (R - h)^2 + a^2 \)，解方程即可。
• 阿星口诀：“遇垂直，得平分；知平分，得垂直。圆心弦中一线牵，勾股定理藏心间。”

📐 图形解析

让我们通过图形直观感受“一箭三雕”的平分关系。下图展示了垂直于弦 \( AB \) 的直径 \( CD \) 如何同时平分弦、优弧 \( \overset{\frown}{ACB} \) 和劣弧 \( \overset{\frown}{ADB} \)。

关键几何关系：在 \( \triangle AMO \) 中，\( AO^2 = AM^2 + OM^2 \)，即 \( R^2 = a^2 + d^2 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到“平分弦”就直接用“垂直”性质。 → ✅ 正解：必须确认被平分的弦“不是直径”。因为直径虽然能被无数条直径平分，但它们不一定互相垂直。定理的前提是“平分弦（非直径）的直径垂直于弦”。
• ❌ 错误2：在利用 \( R^2 = d^2 + a^2 \) 计算时，忘记“弦长”是 \( 2a \)，直接代入整个弦长进行计算。 → ✅ 正解：严格区分“半弦长” \( a \) 和“弦长” \( l \) 的关系：\( l = 2a \)。代入公式时务必使用半弦长 \( a \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \( \odot O \) 中，弦 \( AB = 8 \) cm，圆心 \( O \) 到 \( AB \) 的距离 \( OC = 3 \) cm。求 \( \odot O \) 的半径。
2. \( \odot O \) 的半径为 \( 5 \) cm，弦 \( AB \parallel CD \)，\( AB = 6 \) cm，\( CD = 8 \) cm。求 \( AB \) 与 \( CD \) 之间的距离。
3. 如图，\( CD \) 是 \( \odot O \) 的直径，弦 \( AB \perp CD \) 于点 \( E \)，\( CE = 1 \) cm，\( AB = 10 \) cm。求 \( \odot O \) 的半径。
   
4. 判断对错：平分弦的直径垂直于这条弦。（ ）
5. 填空：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的______和______。
6. 已知弦长 \( 24 \) cm，弦心距 \( 5 \) cm，求该弦所对的弓形高（拱高）。
7. 若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角的度数为______。
8. \( \odot O \) 中，\( OC \perp AB \) 于 \( C \)，若 \( OC = 6 \) cm，\( AB = 16 \) cm，则 \( \odot O \) 的半径为______ cm。
9. 用图形表示：已知弦 \( AB \)，请你用尺规作图的方法找到 \( AB \) 所在圆的圆心。
10. 生活题：一个标准篮球场的中心圆半径为 \( 1.8 \) 米，如果你站在圆心，将球沿直线传到 \( 3 \) 米外的队友手中（假设队友在圆内），球传出的高度（即离地距离）至少为多少米，才能保证球在中心圆内时不会被地面阻挡？（提示：将地面看作弦）

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，弦 \( CD \perp AB \) 于点 \( E \)，连接 \( AC \)，若 \( AB = 10 \)，\( CD = 8 \)，则 \( \tan \angle ACD = \) ______。
   
2. 已知 \( \odot O \) 的直径 \( AB = 20 \)，弦 \( CD \perp AB \) 于点 \( M \)，若 \( OM:OA = 3:5 \)，则弦 \( CD \) 的长为______。
3. 在平面直角坐标系中，以原点 \( O \) 为圆心，\( 5 \) 为半径画圆，若直线 \( y = x + b \) 与圆相交所得的弦长为 \( 8 \)，求 \( b \) 的值。
4. 如图，\( \odot O \) 中，\( AB \)、\( AC \) 为弦，\( M \)、\( N \) 分别是 \( AB \)、\( AC \) 的中点，且 \( \angle BAC = 60^\circ \)。若 \( AB = AC \)，求证：\( OM = ON \)。
5. \( \odot O \) 中，弦 \( AB \perp CD \) 于点 \( E \)，且 \( AE = 2 \)，\( BE = 6 \)，\( CE:ED = 1:3 \)。求 \( \odot O \) 的半径。
6. 已知点 \( P \) 是 \( \odot O \) 内一点，过点 \( P \) 的最长弦长为 \( 10 \) cm，最短弦长为 \( 6 \) cm，求 \( OP \) 的长。
7. （综合题）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，\( C \)、\( D \) 是圆上的点，且 \( OC \parallel BD \)，弦 \( AD \) 与 \( OC \) 相交于点 \( E \)。若 \( \odot O \) 的半径为 \( 5 \)，\( \angle ADB = 30^\circ \)，求线段 \( CE \) 的长。
8. 已知关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - (2m-1)x + m^2 - 1 = 0 \) 的两根是某直角三角形的两条直角边，且该直角三角形的外接圆半径为 \( \frac{5}{2} \)。求 \( m \) 的值。
9. （动点问题）如图，在半径为 \( 2 \) 的 \( \odot O \) 中，弦 \( AB = 2\sqrt{3} \)，点 \( C \) 是优弧 \( \overset{\frown}{AB} \) 上的一个动点（不与 \( A \)、\( B \) 重合），连接 \( BC \)，点 \( D \) 是 \( BC \) 的中点。当点 \( C \) 运动时，求线段 \( OD \) 长度的取值范围。
10. （探究题）我们知道，垂直于弦的直径平分弦。小星进一步思考：是否有一条直线，只要它平分了弦，就一定是直径？请说明理由，并举出反例（如果有的话）。

第三关：生活应用（5道）

1. 隧道设计：某隧道横截面呈半圆形，跨度（直径）为 \( 10 \) 米。为了保证安全，交通部门规定，车货总高度不得超过隧道中心处高度的 \( \frac{4}{5} \)。问：能通过隧道的车货最大高度是多少米？
2. 古桥测量：一座古老的石拱桥，主桥拱是圆弧形。测量员只用一把卷尺，测得桥拱下水面宽度（弦长）为 \( 30 \) 米，又测得拱顶离水面（拱高）为 \( 5 \) 米。请帮他计算该桥拱所在圆的半径。
3. 卫星信号：一颗地球同步卫星在离地面高度为 \( h \) 的轨道上运行，其信号能覆盖的地表区域是一个圆形区域（从卫星点向地球作切线，切点间的弧长对应地面距离）。已知地球半径为 \( R \)。推导卫星信号覆盖的地面弦长（即圆形区域的直径）表达式。当 \( h \) 远小于 \( R \) 时，这个弦长大约是多少？
4. 工业零件：一个圆形金属零件的边缘上有一个凹槽，凹槽的宽度（弦长）为 \( 12 \) mm，深度（弓形高）为 \( 2 \) mm。现需要用一根圆柱形铣刀来加工这个凹槽，问铣刀半径至少需要多大？
5. 艺术设计：一位设计师想在圆形奖牌的顶部均匀悬挂 \( 5 \) 颗小珍珠（如图，珍珠在同一个圆上）。已知奖牌半径为 \( 4 \) cm，她希望最顶端的珍珠到奖牌中心的连线与垂直方向成 \( 18^\circ \) 角。请帮她计算相邻两颗珍珠之间的弦长是多少厘米？
   

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 半径 \( R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \) cm。（半弦长 \( a = 4 \) cm）
2. 分同侧和异侧。弦心距 \( d_{AB} = \sqrt{5^2 - 3^2}=4 \) cm，\( d_{CD} = \sqrt{5^2 - 4^2}=3 \) cm。距离为 \( |4-3|=1 \) cm 或 \( 4+3=7 \) cm。
3. 连接 \( OA \)。设半径 \( R \)，则 \( OE = R - 1 \)，\( AE = 5 \)。在 \( Rt\triangle AEO \) 中，\( R^2 = (R-1)^2 + 5^2 \)，解得 \( R = 13 \) cm。
4. 错误。缺少“弦不是直径”的前提。
5. 优弧；劣弧。
6. 先求半径 \( R = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \) cm，拱高 \( h = R - d = 13 - 5 = 8 \) cm。
7. \( 60^\circ \)。（弦与半径构成等边三角形）
8. 半径 \( R = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \) cm。
9. 作法：在弦 \( AB \) 上任意作两条弦（非直径），分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。
10. 问题转化为：半径为 \( 1.8 \) 米的圆中，一条长为 \( 3 \) 米的弦，其弦心距是多少？半弦长 \( a = 1.5 \) 米，\( d = \sqrt{1.8^2 - 1.5^2} = \sqrt{3.24-2.25}=\sqrt{0.99} \approx 0.995 \) 米。则球在圆心处离地最高，为半径 \( 1.8 \) 米，在弦端点处离地最近，为弦心距 \( d \approx 1 \) 米。所以传出高度至少需 \( 1 \) 米，才能保证球在圆内任何位置都不触地。实际上，因为 \( 3 > 2*1.8 \)，弦长已超出直径，所以这条弦不是圆内的弦，说明 \( 3 \) 米距离的队友已在圆外。题目应修正为小于直径的距离。

第二关 & 第三关 解析略，供教师或学生深入思考。核心方法均已在例题和FAQ中阐明。