垂径定理条件与结论深度解析：为什么过圆心才能垂直平分弦？专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：条件 原理
- 核心概念：嘿，我是阿星！今天咱们来聊聊数学里的“条件”。它就像是舞台上的主角光环，有了它，好戏才能上演。用一个超酷的比喻：在一个圆里，你想让一条直径（或任何过圆心的线）垂直平分一条弦吗？那么，你必须给这个“垂直平分”的结论一个最强的“条件”——“过圆心”。记住这个金句：“结论想成立，条件来撑腰。就像那圆心线，一穿就垂直平分掉！” 条件就是“因”，结论就是“果”。没有“过圆心”这个因，就没有“垂直平分”这个果。
- 计算秘籍：
- 识别：在题目中锁定“如果...那么...”、“若...则...”、“当...时...”等关键词。“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。
- 验证：判断条件是否足以推出结论。例如，已知 \(CD\) 是 \(⊙O\) 的直径，且 \(CD \perp AB\) 于点 \(E\)，求证 \(AE = BE\)。
- 条件：\(OA=OB\)（同圆半径相等）， \(OE=OE\)（公共边）。
- 推演：在 \(\triangle OAE\) 和 \(\triangle OBE\) 中，运用勾股定理或全等判定，可证 \(AE = BE\)。
- 应用：利用已知条件，像搭积木一样，一步步构建通往结论的路径。
- 阿星口诀：条件圆心穿，结论垂直分。因果要对号，逻辑才通神！
📐 图形解析
下面这个图完美诠释了我们的核心比喻：当一条直线经过圆心 \(O\)（条件）并与弦 \(AB\) 相交时，它就会垂直于弦 \(AB\) 并平分弦 \(AB\)（结论）。
核心定理（公式在图形外）：如果一条直线满足条件1：经过圆心 \(O\)，且满足条件2：与弦 \(AB\) 相交，那么它将同时满足两个结论：① \(OE \perp AB\)；② \(AE = EB\)。用数学语言说：\(CD\) 过圆心 \(O\) 且 \(CD \cap AB = E\) \(\Rightarrow\) \(CD \perp AB\) 且 \(AE = EB\)。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：看见一条线垂直平分弦，就认为它一定是直径。
→ ✅ 正解：“垂直平分弦”是结论，它的条件必须是“经过圆心”。虽然直径肯定满足，但“经过圆心”的线不一定是完整的直径（比如半径所在的直线）。关键要看是否满足“过圆心”这个条件。 - ❌ 错误2：把条件和结论搞反。题目说“如果 \(AE=BE\) 且 \(OE \perp AB\)，那么 \(CD\) 过圆心”，却错误地用来证明其他问题。
→ ✅ 正解：必须严格区分命题的“条件”和“结论”。原定理是“过圆心 \(\Rightarrow\) 垂直平分”。其逆命题“垂直平分 \(\Rightarrow\) 过圆心”虽然也成立，但它们是两个不同的命题，条件和结论已经互换，不能混淆使用。
🔥 三例题精讲
例题1：如图，在 \(⊙O\) 中，弦 \(AB=8\text{cm}\)。若圆心 \(O\) 到 \(AB\) 的距离（弦心距）为 \(3\text{cm}\)，求 \(⊙O\) 的半径。
📌 解析：
- 识别条件：题目隐含了“过圆心O的线垂直于弦AB”（因为弦心距是垂直距离）。所以，\(OE \perp AB\) 于点 \(E\)，且 \(E\) 是 \(AB\) 中点。
- 应用结论：由垂径定理，\(AE = EB = \frac{1}{2} AB = 4\text{cm}\)。
- 构建方程：在 \(\triangle OAE\) 中，\(\angle OEA = 90^\circ\)。根据勾股定理：\(OA^2 = OE^2 + AE^2\)。
- 代入计算：\(r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)，所以半径 \(r = \sqrt{25} = 5\text{cm}\)。
✅ 总结：见到弦长和弦心距，立刻想到“过圆心的垂线”这个条件，并引出直角三角形勾股定理。
例题2：已知 \(⊙O\) 中，弦 \(AB\) 的长为 \(6\)，\(C\) 为 \(AB\) 中点，且 \(OC=4\)。求过点 \(A, B, C\) 的圆的半径。
📌 解析：
- 分析条件：“\(C\) 为 \(AB\) 中点”且 \(OC=4\)。在 \(⊙O\) 中，如果 \(OC \perp AB\)，则 \(OC\) 过圆心。但这里没说垂直，所以 \(O\) 不一定在 \(AB\) 的垂直平分线上。我们要求的是过 \(A, B, C\) 三点的圆（设圆心为 \(O'\)）的半径。
- 关键转换：在 \(⊙O'\) 中，弦 \(AB\) 已知，且圆心 \(O'\) 一定在 \(AB\) 的垂直平分线上。\(C\) 是 \(AB\) 中点，所以 \(O‘C\) 就是 \(⊙O’\) 中垂直于 \(AB\) 的半径的一部分。
- 建立模型：设所求半径为 \(R\)。在 \(⊙O‘\) 中，对弦 \(AB\) 应用垂径定理：\(O’C \perp AB\)，且 \(AC = 3\)。在 \(Rt \triangle O‘CA\) 中，有 \(R^2 = O’C^2 + AC^2 = O‘C^2 + 9\)。
- 寻找关系：注意 \(O‘C\) 的长度不确定。但题目给了 \(OC=4\)，而 \(O\) 和 \(O’\) 是两个不同的点，无法直接建立联系。本题更可能是考察“不在同一直线上的三点确定一个圆”，以及勾股定理。实际上，\(O‘\) 是线段 \(AB\) 的垂直平分线上的点。设 \(O’C = x\)，则 \(R^2 = x^2 + 9\)。但仅此无法求解。需要审视原题是否遗漏“OC⊥AB”的条件。若加上此条件，则 \(O’\) 与 \(C、O\) 共线，且 \(OO‘=4+x\) 或 \(|4-x|\)，仍缺大圆半径。因此，本题可能意在让学生理解“条件不足”或“两点定圆”的差异。假定原意是 \(OC\) 即为 \(⊙O\) 中弦 \(AB\) 的弦心距，则 \(O’\) 在 \(OC\) 所在直线上。则 \(OA^2=OC^2+AC^2=16+9=25\)，\(OA=5\)。过 \(A、B、C\) 的圆，其圆心 \(O‘\) 满足 \(O’A=O‘C\)？不，是 \(O’A=O’B。设O‘C=h\)，则 \(O’A^2 = h^2+9\)，且 \(O‘A=O’B\)。同时，在 \(⊙O\) 中，\(O‘\) 位置不定。若理解为求 \(\triangle ABC\) 外接圆半径，而 \(C\) 是 \(AB\) 中点，则 \(AB\) 所对角为 \(90^\circ\)? 不，这需要更多条件。本题作为例题，旨在强调：明确的条件是解题的起点，缺失或模糊的条件将导致无法求解。 若补充条件“\(OC \perp AB\)”，则解题如下：
（假设补充条件后） 在 \(⊙O\) 中，由 \(OC \perp AB\) 且 \(C\) 为中点，知 \(O、C、O‘\) 共线于 \(AB\) 的垂直平分线。设 \(O’C = h\)。在 \(Rt \triangle O‘CA\) 中，\(R^2 = h^2 + 3^2\)。在 \(Rt \triangle OCA\) 中，\(OA^2 = 4^2 + 3^2 = 25\)。若再知 \(OO’\) 关系可解。若无，则 \(R\) 仍不确定。此例提醒我们审题要抓准核心条件。
✅ 总结：复杂的几何题往往由多个基本定理（如垂径定理）组合而成。解题的关键是厘清每个定理所需的条件是否在当前图形中满足。
例题3：如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的直径，弦 \(CD\) 与 \(AB\) 相交于点 \(E\)，且 \(CE=DE\)。求证：\(AB \perp CD\)。
📌 解析：
- 已知条件：① \(AB\) 是直径（必过圆心 \(O\)）。② \(CE = DE\)（点 \(E\) 平分弦 \(CD\)）。
- 连接辅助线：连接 \(OC, OD\)。则 \(\triangle OCD\) 是等腰三角形（因为 \(OC=OD=r\)）。
- 条件推理：在 \(\triangle OCD\) 中，\(OC=OD\)，且 \(CE=DE\)（已知）。根据等腰三角形“三线合一”的性质，如果 \(OE\) 是底边 \(CD\) 上的中线，那么它必然也是底边上的高。
- 得出结论：因此 \(OE \perp CD\)。又因为 \(O\) 在 \(AB\) 上，所以 \(AB \perp CD\)。
✅ 总结：这道题是垂径定理的逆应用。它告诉我们，当已知一条直线（这里是直径 \(AB\)）平分一条弦（非直径）时，再加上“此直线过圆心”的条件，就可以推出这条直线垂直于弦。这里“直径”提供了“过圆心”的强条件。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 在 \(⊙O\) 中，弦 \(AB\) 的长为 \(24\text{cm}\)，圆心 \(O\) 到 \(AB\) 的距离为 \(5\text{cm}\)，求 \(⊙O\) 的半径。
- 判断对错：垂直于弦的直线一定平分这条弦。（配一个圆和一条不过圆心的垂线简图）
- 填空：根据垂径定理，如果 \(CD\) 是直径，且 \(CD \perp AB\) 于 \(E\)，那么 \(AE = \) ______，\( \overset{\frown}{AD} = \) ______。
- 如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 的弦，\(OC \perp AB\) 于 \(C\)。若 \(AB=8, OC=3\)，求 \(OB\) 的长。
- “平分弦的直径垂直于这条弦”这句话对吗？如果不对，请说明理由。
- 已知 \(⊙O\) 的半径为 \(5\)，弦 \(AB \parallel CD\)，且 \(AB=6, CD=8\)。求 \(AB\) 与 \(CD\) 之间的距离。（提示：考虑圆心在平行弦之间或同侧两种情况）
- 直接写出结论：在 \(⊙O\) 中，\(OE \perp AB\)，\(OF \perp CD\)，且 \(AB=CD\)。那么 \(OE\) 与 \(OF\) 的大小关系是______。
- 简单证明：如图，\(AD\) 是 \(⊙O\) 的直径，\(BC\) 是弦，且 \(AD \perp BC\) 于点 \(E\)。求证：\(\triangle ABC\) 是等腰三角形。
- 生活应用：一个圆柱形管道的横截面是半径为 \(10\text{cm}\) 的圆。水面宽度（弦长）为 \(16\text{cm}\)，求水的深度。
- 概念辨析：“过圆心的直线”和“直径”在垂径定理的应用中有什么区别和联系？
第二关：中考挑战（10道）
- （中考真题改编）如图，\(⊙O\) 的半径是 \(5\)，点 \(P\) 是弦 \(AB\) 延长线上一点，连接 \(OP\) 交 \(⊙O\) 于点 \(C\)，且 \(CP=2\)。若 \(OP \perp AB\)，求弦 \(AB\) 的长。
- （多结论选择）已知 \(AB, CD\) 是 \(⊙O\) 的两条弦，且 \(AB \perp CD\) 于点 \(E\)。下列结论：① \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} \)；② \(OE=BE\)；③ \(CA=BD\)；④ \( \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC} \)。其中一定成立的是______。
- （证明题）如图，\(AB\) 是 \(⊙O\) 直径，弦 \(CD\) 交 \(AB\) 于 \(E\)，且 \(CE=DE\)。过点 \(C\) 作 \(CF \perp AB\) 于 \(F\)，过点 \(D\) 作 \(DG \perp AB\) 于 \(G\)。求证：\(AF=BG\)。
- （最值问题）在半径为 \(1\) 的 \(⊙O\) 中，弦 \(AB\) 的长度为 \(\sqrt{2}\)，点 \(P\) 为优弧 \(AB\) 上一动点，求 \(\triangle PAB\) 面积的最大值。
- （综合题）\(⊙O\) 中，\(AB\) 是直径，\(C\) 是 \( \overset{\frown}{AB} \) 中点，弦 \(CD\) 与 \(AB\) 相交于点 \(E\)。若 \(BC=6, AC=8\)，求 \(DE\) 的长。
（为控制篇幅，此处列5道，实际训练应为10道）
第三关：生活应用（5道）
- 赵州桥问题：赵州桥的桥拱是圆弧形，桥下水面宽 \(37.4\) 米时，拱顶离水面 \(7.2\) 米。求桥拱所在圆的半径。（提示：建立垂径定理模型）
- 管道测量：工人想知道一个圆形管道（平放）内径的大小。他用一把直尺在管道口水平测量得“内宽”（弦长）为 \(30\text{cm}\)，又用一把直角尺测得从直尺中点到管道内壁顶部的垂直距离为 \(10\text{cm}\)。求管道的内径。
- 定位问题：考古队发现一个古代圆形祭坛的残骸（一段圆弧）。如何仅用卷尺和直角器，确定这个圆的圆心位置？写出你的操作步骤和原理。
- 声音反射：在一个圆形剧场中，舞台位于圆心。声音从舞台中央发出，经圆形墙壁反射。利用几何原理（如入射角等于反射角），解释为什么在某些座位（如弦的垂直平分线上）听到的声音效果特别集中？
- 材料裁剪：从一块半径为 \(R\) 的圆形钢板中，切割出面积最大的矩形零件。请问这个矩形的长和宽应满足什么条件？（提示：矩形中心与圆心重合时面积最大，其对角线为圆的直径）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：条件 的深度思考
问：为什么很多学生觉得“条件”和垂径定理这一块很难？
答：难点通常不在计算，而在逻辑层次的混淆。学生容易记住结论“垂直平分”，但常常忽略它成立的前提（条件）。比如，看到一条线平分弦，就想当然认为它垂直。这本质上是把原命题和逆命题搞混了。原命题“过圆心 \(\Rightarrow\) 垂直平分”成立，但“垂直平分 \(\Rightarrow\) 过圆心”需要单独证明（虽然也成立）。数学要求每一步推理都有根有据，这个“据”就是清晰、充分的条件。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大！这不仅是圆的知识，更是逻辑推理和严谨思维的绝佳训练。① 为证明奠基：它教会你如何使用“因为...（条件），所以...（结论）”的句式。② 理解充要条件：在垂径定理中，“过圆心”是“垂直平分”的充分条件，而“垂直平分”是“过圆心”的必要条件。这是高中逻辑章节的核心。③ 构建方程思想：将弦长 \(l\)、弦心距 \(d\)、半径 \(r\) 放入直角三角形，得到方程 \(r^2 = d^2 + (\frac{l}{2})^2\)，这是数形结合的典范。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！当你遇到圆中涉及弦长、距离、半径的问题时，请立刻执行以下操作：
- 找圆心：确定或连接圆心 \(O\)。
- 作垂直：过圆心 \(O\) 向相关的弦作垂线段，设垂足为 \(H\)。这一步是创造直角三角形的关键。
- 列方程：在 \(Rt \triangle OHB\)（\(B\) 是弦的一个端点）中，标出三边：斜边为半径 \(r\)，一条直角边为弦心距 \(OH = d\)，另一条直角边为半弦长 \(HB = \frac{l}{2}\)。
- 解方程：代入已知数，根据勾股定理 \(r^2 = d^2 + (\frac{l}{2})^2\) 求解未知量。
这个套路的核心，就是主动创造和使用“过圆心且垂直于弦”这个最强的条件！
答案与解析
第一关 基础热身 答案要点：
- 解：如图，由垂径定理，半弦长 \(=12\text{cm}\)，弦心距 \(=5\text{cm}\)，则半径 \(r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13\text{cm}\)。
- ❌ 错误。必须添加“且这条直线过圆心”的条件才成立。不过圆心的垂线不平分弦。
- \(AE = BE\)，\( \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} \)。
- 解：\(BC=4\)，在 \(Rt\triangle OCB\) 中，\(OB = \sqrt{OC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2+4^2}=5\)。
- 不完全对。应改为：“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦”。如果被平分的弦本身就是直径，那么平分它的直径可能与之重合，不一定垂直。
- 解：分两种情况。弦心距分别为 \(d_1=\sqrt{5^2-3^2}=4\)，\(d_2=\sqrt{5^2-4^2}=3\)。
- 当圆心在平行弦之间时，距离 \(= d_1 + d_2 = 4+3=7\)。
- 当圆心在平行弦同侧时，距离 \(= |d_1 - d_2| = |4-3|=1\)。
- \(OE = OF\)。理由：在同圆中，等弦对等弦心距。
- 证明：∵ \(AD\) 是直径，且 \(AD \perp BC\)，∴ \(AD\) 垂直平分 \(BC\)（垂径定理）。∴ \(AB=AC\)（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。∴ \(\triangle ABC\) 是等腰三角形。
- 解：弦长 \(16\text{cm}\)，半径 \(10\text{cm}\)，则半弦长 \(8\text{cm}\)。弦心距 \(d = \sqrt{10^2-8^2}=6\text{cm}\)。水的深度 = 半径 - 弦心距 = \(10-6=4\text{cm}\)（当水面低于圆心时）。或深度 = 半径 + 弦心距 = \(16\text{cm}\)（当水面高于圆心时，即管道很满）。通常情况指前者。
- 联系：直径一定是过圆心的线段，所以直径具备“过圆心”这个条件。区别：在叙述垂径定理时，用“过圆心的直线”更严谨，因为它包括了直径所在的直线以及半径所在的直线等所有情况。直径特指线段。
（第二、三关答案及详细解析因篇幅所限，在此省略，可另行提供。）
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