知识要点

💡 核心概念

我们都知道乘法有分配律：\( (a + b) \times c = a \times c + b \times c \)。在除法中，也有类似的“分配”性质，但它有一个重要的前提：必须是几个数的和（或差）除以同一个数。它的本质是把一个较复杂的除法算式，拆分成几个简单的除法算式来做，计算起来更方便。可以想象成：有一大包糖果要平均分给一群小朋友，你可以选择把整包糖一起分，也可以先把这包糖分成几小份，再分别去分，最终每个小朋友得到的糖是一样的。

📝 计算法则

对于算式 \( (a + b) \div c \) 或 \( (a - b) \div c \)：

1. 观察：确认是“和÷一个数”或“差÷一个数”的形式。
2. 转化：把除法写成乘以它的倒数。即 \( (a + b) \div c = (a + b) \times \frac{1}{c} \)。
3. 分配：利用乘法分配律，让 a 和 b 分别去乘 \( \frac{1}{c} \)。即 \( a \times \frac{1}{c} + b \times \frac{1}{c} \)。
4. 计算：\( a \times \frac{1}{c} \) 就是 \( a \div c \)，\( b \times \frac{1}{c} \) 就是 \( b \div c \)。所以最终结果是 \( a \div c + b \div c \)。

核心公式：

\( (a + b) \div c = a \div c + b \div c \)

\( (a - b) \div c = a \div c - b \div c \)

其中 c 不能为 0。

🎯 记忆口诀

“和差除以一个数，分别相除再加减。”或者更简洁：“分式同除，分别相除。”

🔗 知识关联

• 乘法分配律：这是本课知识的基础。除法分配律是乘法分配律在除法运算中的一个特殊应用（通过转化为乘法实现）。
• 除法的意义：平均分。理解“把（a+b）平均分成c份”等于“把a平均分成c份”加上“把b平均分成c份”。
• 倒数：理解 \( \div c = \times \frac{1}{c} \) 是完成转化的关键。

易错点警示

1. ❌ 错误1：\( 12 \div (2 + 4) = 12 \div 2 + 12 \div 4 = 6 + 3 = 9 \)

   ✅ 正解：除法没有“左分配律”。括号在除号右边时不能直接分配。应先算括号：\( 12 \div (2 + 4) = 12 \div 6 = 2 \)。

2. ❌ 错误2：\( (12 + 8) \div (2 + 2) = 12 \div 2 + 8 \div 2 = 6 + 4 = 10 \)

   ✅ 正解：必须是除以同一个数。除数（2+2）是两个数的和，不是同一个数。应先算除数：\( (12 + 8) \div (2 + 2) = 20 \div 4 = 5 \)。

3. ❌ 错误3：\( 10.2 \div 5 = (10 + 0.2) \div 5 = 10 \div 5 + 0.2 = 2 + 0.2 = 2.2 \)

   ✅ 正解：拆分后，每一部分都要除以那个数。正确做法：\( 10.2 \div 5 = (10 + 0.2) \div 5 = 10 \div 5 + 0.2 \div 5 = 2 + 0.04 = 2.04 \)。漏除是常见错误。

三例题精讲

🔥 例题1：计算 \( (36 + 45) \div 9 \)。

📌 第一步：观察。这是一个“和除以一个数”的形式，符合分配律条件。

📌 第二步：应用法则。分别用36和45除以9。

\( (36 + 45) \div 9 = 36 \div 9 + 45 \div 9 \)

📌 第三步：计算。

\( 36 \div 9 = 4 \)， \( 45 \div 9 = 5 \)，然后相加：\( 4 + 5 = 9 \)。

✅ 答案： \( 9 \)。

💬 总结：直接计算括号里 \( 36+45=81 \)，再 \( 81 \div 9 =9 \) 也可以。但用分配律拆开后，\( 36 \div 9 \) 和 \( 45 \div 9 \) 都是非常简单的口算，体现了分配律的简便性。

🔥 例题2：简便计算 \( 5.4 \div 6 \)。

📌 第一步：转化。思考如何把 5.4 拆成能和 6 进行简便运算的数。\( 5.4 = 4.8 + 0.6 \)。

📌 第二步：应用分配律。

\( 5.4 \div 6 = (4.8 + 0.6) \div 6 = 4.8 \div 6 + 0.6 \div 6 \)

📌 第三步：计算。

\( 4.8 \div 6 = 0.8 \)， \( 0.6 \div 6 = 0.1 \)，然后相加：\( 0.8 + 0.1 = 0.9 \)。

✅ 答案： \( 0.9 \)。

💬 总结：当被除数不容易直接除以除数时，可以巧妙地将它拆分成除数倍数（4.8是6的0.8倍）和一个小数（0.6）的和，从而使计算全部转化为简单的口算。这展示了分配律的灵活性和技巧性。

🔥 例题3：计算 \( (\frac{7}{8} + \frac{5}{6}) \div \frac{1}{24} \)。

📌 第一步：观察与转化。这是“和除以一个数”，并且除数是分数 \( \frac{1}{24} \)。除以一个分数等于乘以它的倒数。\( \div \frac{1}{24} = \times 24 \)。

📌 第二步：应用乘法分配律。

\( (\frac{7}{8} + \frac{5}{6}) \times 24 = \frac{7}{8} \times 24 + \frac{5}{6} \times 24 \)

📌 第三步：计算。

\( \frac{7}{8} \times 24 = 21 \)， \( \frac{5}{6} \times 24 = 20 \)，然后相加：\( 21 + 20 = 41 \)。

✅ 答案： \( 41 \)。

💬 总结：对于含有分数的除法分配律问题，通常先转化为乘法（乘以除数的倒数），再利用乘法分配律计算，这样能极大地简化运算，避免复杂的通分过程。

练习题（10道）

1. 用简便方法计算：\( (28 + 42) \div 7 \)。
2. 用简便方法计算：\( (65 - 39) \div 13 \)。
3. 用简便方法计算：\( 7.2 \div 4 \)。（提示：拆成 \( 4 + 3.2 \) 或 \( 4.8 + 2.4 \)）
4. 用简便方法计算：\( 9.9 \div 3 \)。
5. 判断对错，并改正：\( 15 \div (3+2) = 15 \div 3 + 15 \div 2 \)。
6. 判断对错，并改正：\( (24 + 16) \div 8 = 3 + 2 = 5 \)。
7. 计算：\( (\frac{3}{5} + \frac{1}{10}) \div \frac{1}{10} \)。
8. 计算：\( (0.36 - 0.12) \div 0.06 \)。
9. 一个长方形菜地，长与宽的和是12.6米，长是宽的2倍。如果每平方米收菜3千克，这块地一共能收菜多少千克？
10. 甲乙两队合修一条长15.3千米的公路，甲队每天修0.45千米，乙队每天修0.36千米。两队合修几天可以完成？

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( (111 + 222 + 333 + 444 + 555) \div 37 \)。
2. 计算：\( (123456 + 234561 + 345612 + 456123 + 561234 + 612345) \div 7 \)。
3. 简便计算：\( 22.2 \div 1.25 + 17.8 \times 0.8 \)。（提示：1.25和0.8的关系）
4. 定义新运算：a☆b = (a + b) ÷ 2。求 (8☆12)☆4。
5. 计算：\( (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \)。（提示：设 \( A = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \)， \( B=\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \)）
6. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余5。这个数最小是多少？
7. 计算：\( 2013 \div 2013\frac{2013}{2014} + \frac{1}{2015} \)。
8. 在算式 \( \square \div 5 = \triangle \cdots \cdots \star \) 中，商 \( \triangle \) 和余数 \( \star \) 相同。这样的被除数 \( \square \) 一共有多少个？分别是多少？
9. 简便计算：\( 998 \div 37 + 3621 \div 37 + 381 \div 37 \)。
10. 已知 \( A = 0.00\cdots 0125 \)（小数点后2015个0），\( B = 0.00\cdots 08 \)（小数点后2016个0）。求 \( A \div B \)。

生活应用（5道）

1. （高铁）“复兴号”高铁从北京到上海大约需要4.5小时，从上海返回北京因风向略快，需4.2小时。这趟列车往返一次的平均速度是每小时660千米。求京沪高铁线路全长大约多少千米？（提示：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间）
2. （航天）中国空间站绕地球一圈大约需要1.5小时。在一次太空授课中，航天员在2小时内看到的日出次数比日落次数多1次。请问在这次授课期间，空间站大约绕地球飞行了多少圈？（提示：日出日落次数与圈数关系）
3. （AI与环保）一个AI森林防火监测系统，上午工作3.2小时处理了2560张图片，下午工作2.8小时处理了1960张图片。这个系统全天平均每小时处理多少张图片？
4. （网购）小明的妈妈在“双十一”使用平台满减券：满300减50。她购买了一套护肤品（原价248元）和一件羽绒服（原价467元）。结账时，她先支付护肤品，再用余下的钱和优惠券支付羽绒服。请问她实际支付的总金额比原价总和节省了多少钱？
5. （共享出行）小华骑共享单车去图书馆，前15分钟收费1.5元，之后每分钟收费0.2元。他从家到图书馆共骑行38分钟，请用简便方法计算他这次骑行的总费用。