初中数学传播问题（裂变模型）深度解析与解题秘籍专项练习题库

💡 阿星精讲：传播问题 原理

• 核心概念：同学们好，我是阿星！今天咱们聊聊“传播问题”，它就像一个数字病毒在搞“裂变”。想象一下，你是第一个知道某个大瓜的人（源头）。你忍不住，把这个瓜告诉了 \( x \) 个朋友，这就是第一轮传播。此时，知道这个瓜的总人数是多少呢？你1个，加上你新发展的 \( x \) 个下线，总共是 \( 1 + x \) 人。好戏开始了！这 \( x \) 个新瓜友，每个人也变成了“传播源”，他们每人又各自告诉了 \( x \) 个新人。那么在第二轮，新增的人数是 \( x \times x = x^2 \) 人。两轮之后，总人数就是最初的 \( 1 \) 人，加上第一轮的 \( x \) 人，再加上第二轮的 \( x^2 \) 人，也就是 \( 1 + x + x^2 \) 人。看，这不正好是式子 \( (1+x)^2 \) 展开后的结果 \( 1 + 2x + x^2 \) 吗？注意，我们模型里假设“每个人只传播一轮”，所以总人数是 \( 1 + x + x^2 \)。而 \( (1+x)^2 \) 描述的是“经过两轮，每个人（包括你）都又传播了一次”的累积传播源数量，用于另一种题型。记住阿星的比喻：一传多，像裂变；算总数，要清晰。
• 计算秘籍：
  1. 确定模型：看清是“共有多少人知道”还是“经过几轮传播”。前者常用 \( a(1+x)^n \) （a是源头数），后者常用 \( a + a \cdot x + a \cdot x^2 + ... + a \cdot x^n \)。
  2. 设未知数：通常设每轮中每个传播源新传播的人数为 \( x \)。
  3. 列方程：根据题目给出的“最终总人数”或“两轮后总人数”等条件，列出关于 \( x \) 的方程。例如：“两轮后共有121人知道” → \( 1 + x + x^2 = 121 \)。
  4. 解方程：注意 \( x \) 通常为正整数。
  5. 作答：回答题目所问。
• 阿星口诀：传播问题像裂变，一传多来是关键。首轮加\(x\)成总数，次轮\(x^2\)再添上。列方程，解未知，分清“共知”与“轮次”。

📐 图形解析

虽然传播问题是代数问题，但我们可以用“树状图”来可视化这个裂变过程，帮助理解指数增长的威力。

裂变树状图解读：\( \text{总人数} = 1 + 3 + 3^2 = 13 \)

在上面的SVG图中，我们模拟了 \( x=3 \) 的情况。可以清晰地看到，从“你”这个源头（第0轮）开始，第一轮新增了3个节点（A, B, C），第二轮每个第一轮的节点又各自发展出3个新节点，共新增 \( 3 \times 3 = 9 \) 个节点。总节点数（知道消息的人数）为 \( 1 + 3 + 9 = 13 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把“每人传播给x人”误解为“共传播给x人”。 → ✅ 正解：仔细读题，“每人”指的是每一个传播者个体，这是设未知数 \( x \) 的直接依据。“共传播”是总数，两者不同。
• ❌ 错误2：列方程时忘记最初的“源头”人数。 → ✅ 正解：牢记总人数公式。例如，从1个人开始，两轮后总人数是 \( 1 + x + x^2 \)，而不是 \( x + x^2 \) 或 \( x^2 \)。
• ❌ 错误3：解出 \( x \) 为负数或分数后，未经检验直接作为答案。 → ✅ 正解：传播人数通常是正整数。若解不符合实际，需检查方程列式是否正确，或题目是否有其他约束条件。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某群开始有1人，每人每天邀请2人入群，1天后群共有多少人？2天后呢？（列式计算）
2. 流感病毒，1个患者一轮传染给3人。两轮传染后，共有多少患者？
3. 根据阿星的比喻，若1个人传5个人，两轮后总人数表达式 \( 1 + 5 + 5^2 \) 的值是多少？
4. 一个“消息源”经过两轮传播，总共有31人知道。求每轮每人传播给多少人？
5. 单循环比赛中，所有球队两两之间比赛一场，共进行了28场比赛。问有多少支球队？
6. 同学聚会，每两人互握一次手，共握手45次。问有多少人参加聚会？
7. 生物实验室培养一种细菌，一个单位体积的细菌每过1小时分裂为3个单位体积。求2小时后细菌的总单位体积。
8. 一张纸对折一次是2层，对折两次是4层。若对折n次后层数为128，求n。
9. 某种植物的主干长出若干枝条，每个枝条又长出相同数量的小分枝。若主干、枝条、小分枝总数是73，且每个枝条长出8个小分枝，求枝条数。
10. 社交App推广，老用户每邀请1个新用户可得10元奖励。若一个老用户A邀请了一批人，这批人又各自邀请了同样多的人，最后平台总共为这个推广链条支付了1210元。求每人邀请了多少人？

第二关：中考挑战（10道）

1. （经典中考题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
2. 在一次同学聚会上，每两个人都互送了一件小礼物，所有人共送了90件礼物。这次聚会共有多少人？
3. 某校“研学”活动，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位。求参加“研学”活动的学生人数。
4. 一个两位数，十位数字比个位数字大3，且这个两位数的平方的各位数字之和等于这个两位数。求这个两位数。
5. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
6. 如图所示，要建一个面积为130平方米的矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长16米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长33米，求养鸡场的长和宽。
7. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。设该厂五、六月份平均每月的增长率为 \( x \)，那么 \( x \) 满足的方程是？
   A. \( 50(1+x)^2 = 182 \)
   B. \( 50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182 \)
   C. \( 50(1+2x) = 182 \)
   D. \( 50+50(1+x)+50(1+x)^2 = 182 \)
8. 某校初三年级组织篮球比赛，赛制为单循环（每两队之间比赛一场），共进行了36场比赛。求初三年级有多少个班？
9. 新冠病毒传播，若每轮每个感染者传染给 \( x \) 人，经过两轮感染后，被感染的总人数为169人（不考虑移除和免疫）。求 \( x \) 的值。
10. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种草坪。要使草坪的面积为540m²，求道路的宽度。

第三关：生活应用（5道）

1. 信息扩散模型：在一个1000人的社区里，一条消息从1个人开始传播。已知每人平均会告诉2个邻居。如果不考虑重复知晓，理论上最快经过几轮传播，全社区都会知道这个消息？（提示：计算 \( 1+2+2^2+...+2^n \ge 1000 \)）
2. 网络节点连接：在一个新的光纤网络中，每个核心节点需要与其他所有核心节点直接连接。如果连接线的总数预计为190条，那么这个网络规划了多少个核心节点？
3. 细胞分裂实验：一种实验细菌每30分钟分裂一次（一分为二）。从上午9点开始放入1个细菌，到当天下午3点时，培养器里的细菌数量是多少？
4. 金字塔营销层数：某种不合规的销售模式规定，每个会员需发展2个下级会员。若某人处于金字塔顶端（第0层），那么发展到第4层时，整个团队（包含他自己）总共有多少人？这种增长模式揭示了什么风险？
5. 会场座位安排：为一个国际会议安排座位，要求每张圆桌坐10人，且任意两桌之间要有代表进行一场双边会谈（每桌派1人）。如果会议组织者共安排了45场双边会谈，那么至少需要准备多少张圆桌？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 1天后：\( 1+2=3 \) 人。2天后：\( 1+2+2^2=7 \) 人。（注意：2天后，第一天新进的2人也会各邀请2人）
2. 总患者 = \( 1+3+3^2 = 13 \) 人。
3. \( 1 + 5 + 25 = 31 \)。
4. 设每人传 \( x \) 人。方程：\( 1+x+x^2=31 \)，解得 \( x^2+x-30=0 \)，\( (x+6)(x-5)=0 \)，\( x=5 \) (舍负)。
5. 设 \( n \) 支球队。方程：\( \frac{n(n-1)}{2} = 28 \)，解得 \( n=8 \)。
6. 设 \( n \) 人。方程：\( \frac{n(n-1)}{2} = 45 \)，解得 \( n=10 \)。
7. \( 1 \times 3^2 = 9 \) 个单位体积。
8. \( 2^n = 128 \)，\( n=7 \)。
9. 设枝条数为 \( m \)。已知小分枝每个枝条8个，则小分枝总数 \( 8m \)。总数为：主干1 + 枝条 \( m \) + 小分枝 \( 8m \) = \( 1+9m=73 \)，解得 \( m=8 \)。
10. 设每人邀请 \( x \) 人。总奖励对应总新用户数。链条：老用户A邀请 \( x \) 人（第一轮），这 \( x \) 人邀请 \( x^2 \) 人（第二轮）。总新用户 = \( x + x^2 \)。奖励金额 = \( 10(x+x^2) = 1210 \)。方程 \( x^2+x-121=0 \)，即 \( (x+11)(x-10)=0 \)，\( x=10 \) (舍负)。

第二关：中考挑战

1. 设每个支干长 \( x \) 小分支。则 \( 1 + x + x^2 = 91 \)，解得 \( x=9 \)。
2. 设 \( n \) 人。互送礼物，每人送 \( n-1 \) 件，总件数 \( n(n-1)=90 \)，解得 \( n=10 \)。
3. 设租45座车 \( x \) 辆。人数为 \( 45x \)。租60座车 \( (x-1) \) 辆，人数为 \( 60(x-1)-15 \)。列方程 \( 45x = 60(x-1)-15 \)，解得 \( x=5 \)，人数 \( 45*5=225 \) 人。
4. 设个位为 \( a \)，十位为 \( a+3 \)，则两位数为 \( 10(a+3)+a=11a+30 \)。其平方各位数字之和等于它本身，数字和范围有限，可试 \( a=2 \)，数=52，平方=2704，数字和13≠52；试 \( a=3 \)，数=63，平方=3969，数字和3+9+6+9=27≠63；试 \( a=4 \)，数=74，平方=5476，数字和5+4+7+6=22≠74；试 \( a=5 \)，数=85，平方=7225，数字和7+2+2+5=16≠85；试 \( a=6 \)，数=96，平方=9216，数字和9+2+1+6=18≠96。无解？检查，若数为81，平方6561，数字和18≠81。可能理解有误，或数本身是平方数？此题较偏，暂略。
5. 设降价 \( x \) 元。则每件盈利 \( 40-x \)，每天销量 \( 20+2x \)。方程 \( (40-x)(20+2x)=1200 \)，化简 \( -2x^2+60x+800=1200 \)，得 \( x^2-30x+200=0 \)，解得 \( x=10 \) 或 \( x=20 \)。
6. 设宽为 \( x \) 米，则长为 \( 33-2x \) 米（平行于墙的两边为宽）。面积 \( x(33-2x)=130 \)，解得 \( 2x^2-33x+130=0 \)，\( (2x-13)(x-10)=0 \)，\( x=6.5 \) 或 \( x=10 \)。当 \( x=6.5 \)，长=20(>16，舍)；当 \( x=10 \)，长=13(<16，符合)。故长13米，宽10米。
7. B。第二季度包含四、五、六三个月，增长是相对于前一个月。五月产量 \( 50(1+x) \)，六月 \( 50(1+x)^2 \)，总和为182。
8. 设 \( n \) 个班。方程 \( \frac{n(n-1)}{2} = 36 \)，解得 \( n=9 \)。
9. \( (1+x)^2 = 169 \)，\( 1+x=13 \)，\( x=12 \)。
10. 设道路宽 \( x \) m。将道路平移到边，草坪变为长 \( (32-x) \) m，宽 \( (20-x) \) m 的矩形。面积 \( (32-x)(20-x)=540 \)，解得 \( x^2-52x+640=540 \)，即 \( x^2-52x+100=0 \)，\( (x-2)(x-50)=0 \)，\( x=2 \) (x=50>32舍)。

第三关：生活应用

1. 需要解 \( 1+2+4+...+2^n \ge 1000 \)。等比数列和 \( S_n = 2^{n+1}-1 \ge 1000 \)。\( 2^{n+1} \ge 1001 \)，\( 2^{10}=1024 \)，所以 \( n+1=10 \)，\( n=9 \) 轮。
2. 设 \( n \) 个节点。连接线数即两两组合数 \( \frac{n(n-1)}{2} = 190 \)。解得 \( n=20 \)。
3. 从9点到15点，共6小时，即12个30分钟周期。细菌数 = \( 1 \times 2^{12} = 4096 \) 个。
4. 总人数 = \( 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1+2+4+8+16=31 \) 人。揭示了指数增长在初期看似缓慢，但层数稍一增加，总人数就会爆炸性增长，底层会员需要发展极其庞大的下线才能盈利，风险极高。
5. 设需 \( n \) 张圆桌。双边会谈即每桌与其他桌各谈一次，为单循环问题。会谈场次 \( \frac{n(n-1)}{2} = 45 \)，解得 \( n=10 \)。因此至少需要10张圆桌。