除法法则及分数除法深度解析：从倒数概念到“颠倒相乘”的解题全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：除法法则 原理

• 核心概念：想象除法是一道需要“翻个跟头”才能过去的栏杆。阿星说：“除法面前别犯难，倒数一翻变乘算！” 关键就是倒数：两个数相乘得 \( 1 \)，它们就互为倒数。比如 \( 5 \) 的倒数是 \( \frac{1}{5} \)，因为 \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \)；\( \frac{2}{3} \) 的倒数是 \( \frac{3}{2} \)。所以，“除以一个不为 \( 0 \) 的数”这道栏杆，只要你让除数翻个跟头（取倒数），整个算式就轻松变成了乘法，可以直接跑过去！
• 计算秘籍：
  1. 盯紧除数（“÷”后面的数）。
  2. 给除数找一个“好搭档”——它的倒数。
  3. 把 “÷” 擦掉，改成 “×”，然后把除数的搭档（倒数）请过来。
  4. 按乘法规则计算。公式化表达：\( a \div b = a \times \frac{1}{b} \) （\( b \neq 0 \)）。
• 阿星口诀：除法遇麻烦，倒数来翻转。相乘变简单，计算快如闪电！

📐 图形解析

为什么“除以 \( 4 \)”等于“乘以 \( \frac{1}{4} \)”？我们用一个披萨（圆形）来可视化理解。假设我们有一个披萨，要计算 \( \frac{1}{2} \div 4 \) 是多少。

一种理解是：把半个披萨（\( \frac{1}{2} \)）平均分给4个人，每人能分到多少？这等价于把半个披萨分成4等份，取其中一份。从图形上看，这相当于先分半个，再把那半个细分为4份。

另一种更聪明的算法是阿星说的：\( \frac{1}{2} \div 4 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \)。“乘以 \( \frac{1}{4} \)”可以理解为：直接找出整个披萨的 \( \frac{1}{4} \)，再取其中的一半。从图形上看，就是先把整个圆分成4份，然后将其中的一份再分成2半，取一半。两种方式得到的最终大小是完全一样的。这证明了“除以4”和“乘以1/4”的等价性。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 只对被除数取倒数。
  ✅ 正解： 法则的对象是除数（“÷”后面的数）。一定要找准目标，只对除数进行“颠倒”操作。例如 \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} \)，而不是 \( \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} \)。
• ❌ 错误2： 忘记除数不能为 \( 0 \)。
  ✅ 正解： “除以一个不为 \( 0 \) 的数”是法则成立的前提！因为 \( 0 \) 没有倒数（找不到一个数乘以 \( 0 \) 等于 \( 1 \)）。所以遇到分母或除数为 \( 0 \) 的情况，算式本身无意义。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( 10 \div \frac{5}{2} = ? \)
2. \( \frac{3}{7} \div 9 = ? \)
3. \( \frac{1}{4} \div \frac{2}{3} = ? \)
4. \( \frac{9}{10} \div \frac{3}{5} = ? \)
5. \( 1 \div \frac{8}{11} = ? \)
6. \( \frac{5}{6} \div \frac{10}{3} = ? \)
7. \( \frac{2}{3} \div 8 = ? \)
8. \( 12 \div \frac{4}{9} = ? \)
9. \( \frac{7}{8} \div \frac{14}{16} = ? \)
10. \( 0 \div \frac{5}{6} = ? \) (思考：为什么？)

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( (-\frac{2}{3}) \div \frac{4}{9} \times (-\frac{1}{2})^2 \)
2. 已知 \( a = \frac{3}{4} \), \( b = -\frac{2}{3} \)，求 \( a \div b \) 的值。
3. 一个数的 \( \frac{5}{12} \) 是 \( \frac{10}{3} \)，这个数是多少？
4. 化简：\( \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} \div \frac{x+2}{3x} \) （\( x \neq 0, 2, -2 \)）
5. 在比例尺为 1:50000 的地图上，量得 A、B 两地距离为 6cm。求 A、B 两地的实际距离（千米）。
6. \( \frac{3}{4} \) 吨小麦可以磨出面粉 \( \frac{9}{20} \) 吨，求磨1吨面粉需要多少吨小麦？
7. 计算：\( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} \)。（提示：\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)）
8. 若 \( \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \)，且 \( xyz \neq 0 \)，求 \( \frac{x+y}{z} \) 的值。
9. 一辆汽车 \( \frac{3}{4} \) 小时行驶了 45 千米，照这样计算，这辆汽车 1 小时行驶多少千米？
10. 解方程：\( \frac{2}{3}x \div \frac{4}{5} = 10 \)

第三关：生活应用（5道）

1. 【分糖果】阿星有一包重 \( \frac{4}{5} \) 千克的糖果，要平均分装进若干个袋子里，每个袋子装 \( \frac{1}{10} \) 千克。请问可以装满几个袋子？
2. 【调配消毒液】一种消毒液原液，需要按原液与水 \( 1:50 \) 的体积比进行稀释。现在有 \( \frac{3}{4} \) 升原液，需要加入多少升水才能配成标准的消毒液？
3. 【裁剪布料】一块花布长 \( 8 \) 米，做一条裙子需要 \( 1\frac{1}{5} \) 米（即 \( \frac{6}{5} \) 米）布。这块布最多可以做几条这样的裙子？
4. 【速度问题】小明骑自行车上学，\( \frac{2}{3} \) 小时骑行了 \( 8 \) 千米。他骑车的平均速度是每小时多少千米？（速度=路程÷时间）
5. 【工程问题】一个施工队，\( \frac{1}{2} \) 天能完成一项工程的 \( \frac{1}{8} \)。照这样的效率，完成整个工程需要多少天？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 10 \div \frac{5}{2} = 10 \times \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \)
2. \( \frac{3}{7} \div 9 = \frac{3}{7} \times \frac{1}{9} = \frac{3}{63} = \frac{1}{21} \)
3. \( \frac{1}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8} \)
4. \( \frac{9}{10} \div \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \times \frac{5}{3} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2} \) 或 \( 1\frac{1}{2} \)
5. \( 1 \div \frac{8}{11} = 1 \times \frac{11}{8} = \frac{11}{8} \)
6. \( \frac{5}{6} \div \frac{10}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \)
7. \( \frac{2}{3} \div 8 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \)
8. \( 12 \div \frac{4}{9} = 12 \times \frac{9}{4} = \frac{108}{4} = 27 \)
9. \( \frac{7}{8} \div \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \times \frac{16}{14} = \frac{112}{112} = 1 \)
10. \( 0 \div \frac{5}{6} = 0 \times \frac{6}{5} = 0 \)。0除以任何非零数都得0。

第二关：中考挑战

1. \( (-\frac{2}{3}) \div \frac{4}{9} \times (-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{2}{3}) \times \frac{9}{4} \times \frac{1}{4} = -\frac{18}{48} = -\frac{3}{8} \)
2. \( a \div b = \frac{3}{4} \div (-\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{8} \)
3. 设这个数为 \( x \)，则 \( \frac{5}{12}x = \frac{10}{3} \)，所以 \( x = \frac{10}{3} \div \frac{5}{12} = \frac{10}{3} \times \frac{12}{5} = 8 \)。
4. 原式 \( = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} \times \frac{3x}{x+2} = \frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}{\cancel{x}\cancel{(x-2)}} \times \frac{3\cancel{x}}{\cancel{x+2}} = 3 \) （限制条件下）
5. 实际距离 \( = 6 \, \text{cm} \times 50000 = 300000 \, \text{cm} = 3000 \, \text{m} = 3 \, \text{km} \)。（注意单位换算）
6. 需求小麦吨数 \( = \frac{3}{4} \div \frac{9}{20} = \frac{3}{4} \times \frac{20}{9} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} \) (吨)。
7. 原式 \( = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)。
8. 设 \( \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k \)，则 \( x=3k, y=4k, z=5k \)。\( \frac{x+y}{z} = \frac{3k+4k}{5k} = \frac{7k}{5k} = \frac{7}{5} \)。
9. 速度 \( = 45 \div \frac{3}{4} = 45 \times \frac{4}{3} = 60 \) (千米/小时)。
10. \( \frac{2}{3}x = 10 \times \frac{4}{5} = 8 \)，所以 \( x = 8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \)。

第三关：生活应用

1. 可装袋数 \( = \frac{4}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{4}{5} \times 10 = 8 \) (个)。
2. 需要水量 \( = \frac{3}{4} \times 50 = \frac{150}{4} = 37.5 \) (升)。（比例关系：水是原液的50倍）
3. 最多可做条数 \( = 8 \div \frac{6}{5} = 8 \times \frac{5}{6} = \frac{40}{6} = 6\frac{2}{3} \approx 6 \) (条)。（结果取整，因为裙子是整数条）
4. 平均速度 \( = 8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \) (千米/小时)。
5. 工作效率 \( = \frac{1}{8} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4} \) (工程/天)。所需天数 \( = 1 \div \frac{1}{4} = 4 \) (天)。