抽屉原理怎么学？奥数数学提分指南 | 星火网专项练习题库

例题 1：基础巩固

题目：阿星老师有370名粉丝。请问：这些粉丝中至少有多少人在同一天过生日？（一年按365天计算）

📌 阿星解析：

1. 识别鸽子与笼子：“粉丝”是鸽子（370只），“生日日期”是笼子（365个）。
2. 应用原理：计算平均分配：\( 370 \div 365 = 1 \text{...} 5 \)。商是1，余数是5。
3. 得出结论：即使先让365个人生日各不相同（每天一人），还剩下5个人。这5个人无论生日在哪天，都会使得那些天的人数变成2人。所以，至少有一天有 \( 1 + 1 = 2 \) 人过生日。

✅ 答案：至少 2 人在同一天过生日。

例题 2：综合运用

题目：一副扑克牌共54张（含大王、小王）。至少抽出多少张牌，才能保证其中至少有4张牌的花色相同？

📌 阿星解析：

1. 这次我们问的是“至少抽多少张”，是抽屉原理的逆用。我们要构造“最坏情况”。
2. 最坏情况（鸽子如何抗拒进笼）：“保证至少有4张花色相同”的反面是“每种花色都不超过3张”。同时，别忘了有两张王牌。
   • 最坏情况：每种花色（♠️♥️♣️♦️）都抽了3张，共 \( 3 \times 4 = 12 \) 张。
   • 接着，把两张王牌也抽出来。此时共 \( 12 + 2 = 14 \) 张。仍然没有哪个花色达到4张。
3. 突破临界点：这时，再抽任意1张牌。这张牌只能是四种花色之一（因为王牌已抽光）。无论它是哪种花色，都会让该花色的牌数变成4张。
4. 所以，需要抽 \( 14 + 1 = 15 \) 张。

✅ 答案：至少抽出 15 张牌。

例题 3：思维拔高

题目：在边长为1的正方形内，任意放入9个点。求证：其中至少存在3个点，它们构成的三角形面积不超过 \( \frac{1}{8} \)。

📌 阿星解析：

1. 构造抽屉：如图，将正方形等分成4个面积为 \( \frac{1}{4} \) 的小正方形。这4个小正方形就是我们的“笼子”。
2. 分配鸽子：9个点（鸽子）放入4个小正方形（笼子）。\( 9 \div 4 = 2 \text{...} 1 \)。根据抽屉原理，至少有一个小正方形包含了 \( 2+1=3 \) 个或更多的点。
3. 面积估计：考虑落在同一个面积为 \( \frac{1}{4} \) 的小正方形内的任意3个点A, B, C。以这个小正方形的外接矩形为底，三角形ABC的面积一定不超过这个小正方形的面积（因为三角形包含于小正方形内）。实际上，更精确的结论是：在一个面积为 \( S \) 的区域内，任意三点构成三角形面积不超过 \( \frac{S}{2} \)。对于我们面积为 \( \frac{1}{4} \) 的小正方形，其内三角形面积最大不超过 \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)。
4. 因此，这3个点构成的三角形面积不超过 \( \frac{1}{8} \)。证毕。

✅ 答案：证明过程如上所述。