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中国剩余定理解题技巧与练习题 PDF 下载 | 同余方程专项题库含答案

适用年级

奥数

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：中国剩余定理：基础 原理

  • 核心概念：想象一下，你有一群数字朋友，它们住在不同的“余数宿舍”里。规则是：除以 \( 3 \) 要住进“余 \( 2 \)”号房，除以 \( 5 \) 要住进“余 \( 3 \)”号房。有些数字朋友很调皮，只能满足一个宿舍规则。我们的任务，就是找到那个能同时遵守两条规则的“模范朋友”。阿星教你：别慌！我们先把满足“除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)”的朋友叫过来排队：\( 3, 8, 13, 18, 23... \)，然后依次检查它们谁“除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)”。看，\( 3 \) 除以 \( 3 \) 余 \( 0 \)，不行；\( 8 \) 除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)！太好了，\( 8 \) 就是我们要找的第一个模范朋友。这个方法，就是中国剩余定理（孙子定理）最朴素、最生动的理解：逐一满足，联合检验。
  • 计算秘籍：
    1. 列出序列：针对一个除数（如 \( 5 \)），列出满足其余数条件（余 \( 3 \)）的数列：\( N = 5k + 3 \)， \( k = 0, 1, 2,... \)，得到 \( 3, 8, 13, ... \)。
    2. 检验另一条件：用另一个除数（如 \( 3 \)）检验这个数列。计算 \( 8 \div 3 = 2 \cdots 2 \)，余数为 \( 2 \)，符合条件。
    3. 确定特解：找到的第一个同时满足两个条件的数（如 \( 8 \)），就是一个“特解”。
    4. 写出通解：所有解会以两个除数的最小公倍数 \( \text{lcm}(3, 5) = 15 \) 为周期重复。所以通解是：\( N = 8 + 15t \) (\( t \) 是任意整数)。
  • 阿星口诀：“余数问题莫慌张，一个条件先列行；挨个去试另一条，最小公倍是周期。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：找到一个数（如 \( 23 \)）满足条件后，就认为只有这一个解。
    ✅ 正解：这样的数有无穷多个！找到了一个特解（如 \( 8 \)）后，必须加上（或减去）两个除数最小公倍数（\( 15 \)）的整数倍，才是完整的解集：\( 8, 23, 38, ... \) 或 \( -7, -22, ... \)。
  • ❌ 错误2：将条件“除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)”错误理解为 \( N = 3 \times 5 + 2 + 3 \)。
    ✅ 正解：这是对不同除数取余的联合约束，不是简单的加法。必须用“逐一满足”的思路去寻找公共解。

🔥 三例题精讲

例题1：一个数除以 \( 3 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 4 \) 余 \( 2 \)，求满足条件的最小自然数。

📌 解析：

  1. 先满足“除以 \( 4 \) 余 \( 2 \)”：数列为 \( 2, 6, 10, 14, 18, ... \) (即 \( 4k+2 \))。
  2. 检验“除以 \( 3 \) 余 \( 1 \)”：
    \( 2 \div 3 \) 余 \( 2 \)， 不对。
    \( 6 \div 3 \) 余 \( 0 \)，不对。
    \( 10 \div 3 = 3 \cdots 1 \)， 余 \( 1 \)，符合！
  3. 特解为 \( 10 \)。
    周期为 \( \text{lcm}(3, 4) = 12 \)。
  4. 通解为 \( N = 10 + 12t \)。最小自然数解是 \( 10 \)。

✅ 总结：从余数较大的除数开始列举，数列增长快，检验次数可能更少。

例题2：一个数除以 \( 7 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 8 \) 余 \( 5 \)，求在 \( 100 \) 到 \( 200 \) 之间的所有解。

📌 解析：

  1. 先满足“除以 \( 8 \) 余 \( 5 \)”：数列为 \( 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, ... \) (即 \( 8k+5 \))。
  2. 检验“除以 \( 7 \) 余 \( 3 \)”：
    \( 5 \div 7 \) 余 \( 5 \)，不对。
    \( 13 \div 7 = 1 \cdots 6 \)，不对。
    \( 21 \div 7 \) 余 \( 0 \)，不对。
    \( 29 \div 7 = 4 \cdots 1 \)，不对。
    \( 37 \div 7 = 5 \cdots 2 \)，不对。
    \( 45 \div 7 = 6 \cdots 3 \)， 符合！第一个特解是 \( 45 \)。
  3. 周期为 \( \text{lcm}(7, 8) = 56 \)。通解为 \( N = 45 + 56t \)。
  4. 寻找在 \( 100 \) 到 \( 200 \) 之间的 \( N \)：
    解不等式 \( 100 \le 45 + 56t \le 200 \)。
    解得 \( t \) 可取 \( 1, 2 \)。
    当 \( t = 1 \)， \( N = 45 + 56 = 101 \)。
    当 \( t = 2 \)， \( N = 45 + 112 = 157 \)。

✅ 总结：在限定范围内找解，先求通解公式，再通过不等式确定参数 \( t \) 的范围。

例题3：一篮苹果，平均分给 \( 5 \) 个小朋友剩 \( 2 \) 个，平均分给 \( 6 \) 个小朋友剩 \( 4 \) 个，平均分给 \( 7 \) 个小朋友剩 \( 3 \) 个。问这篮苹果至少有多少个？

📌 解析：

  1. 先处理前两个条件（除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 6 \) 余 \( 4 \)）：
    列出“除以 \( 6 \) 余 \( 4 \)”的数：\( 4, 10, 16, 22, 28, ... \) ( \( 6k+4 \) )。
    检验“除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)”：
    \( 4 \div 5 \) 余 \( 4 \)，不对。
    \( 10 \div 5 \) 余 \( 0 \)，不对。
    \( 16 \div 5 = 3 \cdots 1 \)，不对。
    \( 22 \div 5 = 4 \cdots 2 \)，符合！得到一个中间特解 \( 22 \)。
    前两个条件的周期是 \( \text{lcm}(5, 6) = 30 \)。
    所以同时满足前两个条件的数可表示为：\( M = 22 + 30s \) (\( s \) 为整数)。
  2. 用第三个条件（除以 \( 7 \) 余 \( 3 \)）检验 \( M \)：
    我们需要 \( M = 22 + 30s \) 且 \( M \div 7 \) 余 \( 3 \)。
    计算 \( 22 \div 7 = 3 \cdots 1 \)，余数是 \( 1 \)。
    计算 \( 30 \div 7 = 4 \cdots 2 \)，余数是 \( 2 \)。
    所以 \( M \) 除以 \( 7 \) 的余数规律为：余数 = \( (1 + 2s) \mod 7 \)。
    设 \( 1 + 2s = 7q + 3 \)（因为目标余 \( 3 \)），即 \( 2s - 7q = 2 \)。
    尝试 \( s = 1 \)： \( 1 + 2\times1 = 3 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 3 \)！正好满足。
    所以 \( s = 1 \) 时， \( M = 22 + 30 \times 1 = 52 \)。
  3. 检查 \( 52 \)： \( 52 \div 5 = 10 \cdots 2 \)， \( 52 \div 6 = 8 \cdots 4 \)， \( 52 \div 7 = 7 \cdots 3 \)，全部符合。
  4. 三个数的周期为 \( \text{lcm}(5, 6, 7) = 210 \)。所以通解为 \( N = 52 + 210t \)。最小自然数解是 \( 52 \)。

✅ 总结：面对三个或以上条件，采用“逐步合并”策略：先解决两个，把它们的解集合并成一个新条件，再用这个新条件去和第三个条件合并。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 一个数除以 \( 4 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，求最小正整数。
  2. 某数除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 4 \)，求在 \( 50 \) 以内所有可能的数。
  3. 满足“除以 \( 5 \) 余 \( 0 \)（即整除），除以 \( 6 \) 余 \( 1 \)”的最小的两位数是多少？
  4. 一个自然数除以 \( 8 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 9 \) 余 \( 5 \)，求它除以 \( 72 \) 的余数可能是多少？
  5. 一堆糖果， \( 6 \) 颗 \( 6 \) 颗数剩 \( 3 \) 颗， \( 9 \) 颗 \( 9 \) 颗数剩 \( 6 \) 颗。这堆糖果至少多少颗？
  6. \( N \) 除以 \( 6 \) 余 \( 4 \)，除以 \( 11 \) 余 \( 9 \)。写出 \( N \) 的一个通解公式。
  7. 一个两位数，除以 \( 4 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，这个数是多少？
  8. 找规律：同时满足 \( N = 2k+1 \) (奇数) 和 \( N = 3m+2 \) 的最小数是？
  9. 除以 \( 7 \) 余 \( 2 \) 的数，除以 \( 8 \) 余几时，最小的那个数是 \( 58 \)？
  10. 已知 \( N = 5a+3 = 7b+4 \)，且 \( N < 100 \)，求所有 \( N \)。

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 一个自然数，除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 9 \) 余 \( 4 \)。求满足条件的最小自然数。
  2. 一个三位数，除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 4 \)，除以 \( 11 \) 余 \( 6 \)。这个三位数最大是多少？
  3. 有一个整数，用它去除 \( 70, 110, 160 \) 所得余数之和是 \( 50 \)。这个整数是多少？
  4. 一个数除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 4 \)。求这个数在 \( 1000 \) 到 \( 1500 \) 之间的所有可能值。
  5. 若 \( a \) 是一个正整数，且 \( a \) 除以 \( 6 \) 余 \( 5 \)， \( a^2 \) 除以 \( 12 \) 余几？
  6. 求最小的正整数，使得它的一半是平方数，它的三分之一是立方数，它的五分之一是五次方数。（提示：考虑整除性，可转化为同余方程组）
  7. 有一队士兵，列成 \( 5 \) 路纵队少 \( 2 \) 人，列成 \( 6 \) 路纵队少 \( 3 \) 人，列成 \( 7 \) 路纵队少 \( 4 \) 人。这队士兵至少多少人？
  8. \( N \) 是正整数， \( N \) 与 \( 1260 \) 的最大公约数是 \( 180 \)， \( N \) 与 \( 4410 \) 的最小公倍数是 \( 8820 \)。求 \( N \)。（提示：分解质因数，转化为模方程组）
  9. 求方程 \( 5x + 7y = 122 \) 的正整数解 \((x, y)\) 的组数。（提示：可固定 \( y \)，研究 \( x \) 需满足的同余条件）
  10. 今天是星期二，从今天起第 \( 10^{100} \) 天是星期几？（提示：找 \( 10^{100} \mod 7 \) 的余数）

第三关：生活应用（5道）

  1. (AI分组) 某AI训练集群有大量数据包需要并行处理。若每 \( 23 \) 个包分配给一个GPU核心，会剩下 \( 7 \) 个包；若每 \( 37 \) 个包分配给一个核心，会剩下 \( 15 \) 个包。已知数据包总数在 \( 5000 \) 到 \( 6000 \) 之间，求具体数量。
  2. (航天信号) 我国空间站向地面发送加密状态码。该代码是一个整数，除以北斗系统使用的三个基准频率数 \( 1575 \)、\( 1227 \)、\( 1176 \) (单位：MHz的后三位) 分别余 \( 42 \)、\( 89 \)、\( 111 \)。若代码在 \( 1 \) 万到 \( 2 \) 万之间，求可能的代码值。
  3. (网购促销) 某电商平台商品编号设计为：编号除以 \( 11 \) 余 \( 5 \)，除以 \( 13 \) 余 \( 8 \) 的商品参与“秒杀”，除以 \( 17 \) 余 \( 10 \) 的商品参与“满减”。小明发现一个商品同时参与了三种活动，请问该商品编号最小可能是多少？
  4. (网络安全) RSA加密算法中，公钥 \((e, n)\) 和私钥 \((d, n)\) 满足 \( e \cdot d \equiv 1 \pmod{\phi(n)} \)。设 \( n = 33 \)， \( \phi(n)=20 \)，若取公钥 \( e = 3 \)，求私钥 \( d \)。（提示：即解 \( 3d \div 20 \) 余 \( 1 \)）
  5. (周期同步) 三个天文观测卫星A、B、C的轨道周期分别是 \( 95 \) 分钟、\( 102 \) 分钟、\( 113 \) 分钟。它们在某一时刻同时经过地面站上空。请问至少经过多少分钟后，它们再次同时经过地面站上空？（转化为求最小公倍数问题）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：中国剩余定理：基础 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点在于思维方式的转换。我们习惯了单一条件的运算（比如单纯求除以 \( 5 \) 的余数），但中国剩余定理要求我们同时协调多个、看似无关的余数条件。这就像同时遵守多个不同规则，容易顾此失彼。阿星的“先列一行，再检验”方法，就是把多任务切换成清晰的单任务序列，降低了思维负荷。另一个难点是忘记解的周期性，即找到特解后，要加上 \( \text{lcm}(m_1, m_2) \) 的整数倍，例如 \( N = 8 + 15t \)。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：帮助巨大，它是数论和现代代数的一块基石。1. 数论基础：它是理解“同余”概念和模运算的绝佳范例。2. 竞赛与升学：是小学奥数、中学自主招生、大学强基计划中的常客。3. 高等数学桥梁：在抽象代数中，中国剩余定理对应着“环的直积分解”，即 \( \mathbb{Z}/m_1m_2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \)（当 \( m_1, m_2 \) 互质时）。4. 实际应用：在计算机科学（密码学、编码理论）、工程学（信号处理）中都有核心应用。理解它，就掌握了一种强大的“模数系统”下的问题解决工具。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：对于基础问题，可以严格遵循“阿星四步法”套路：

  1. 针对一个条件列出数列： \( a, a+m_k, a+2m_k, ... \) 。
  2. 代入另一个条件检验，找到第一个公共解 \( N_0 \)。
  3. 计算周期： \( T = \text{lcm}(m_1, m_2) \)。
  4. 写出通解： \( N = N_0 + T \cdot t \) (\( t \in \mathbb{Z} \))。
    记住这个模型 \( \begin{cases} N \equiv r_1 \pmod{m_1} \\ N \equiv r_2 \pmod{m_2} \end{cases} \Rightarrow N = N_0 + \text{lcm}(m_1, m_2) \cdot t \)， 并灵活应用于找范围解、处理三个条件等变式，即可应对绝大多数基础题型。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( 17 \) (数列 \( 5k+2 \): \( 2,7,12,17,... \)，检验除以 \( 4 \) 余 \( 1 \))
  2. \( 11, 32 \) (周期 \( 21 \)，特解 \( 11 \))
  3. \( 25 \) (数列 \( 6k+1 \): \( 7,13,19,25,... \)，检验被 \( 5 \) 整除)
  4. \( 59 \) (通解 \( N=59+72t \)，余数即 \( 59 \))
  5. \( 15 \) 颗 (即除以 \( 6 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 9 \) 余 \( 6 \)，注意差相同，可先求最小公倍数 \( 18 \) 再减 \( 3 \))
  6. \( N = 40 + 66t \) (特解 \( 40 \)，周期 \( \text{lcm}(6,11)=66 \))
  7. \( 7 \) 或 \( 27 \) 或 \( 47 \) 或 \( 67 \) 或 \( 87 \) (特解 \( 7 \)，周期 \( 20 \))
  8. \( 5 \) (奇数中找除以 \( 3 \) 余 \( 2 \) 的)
  9. 余 \( 2 \) (检查 \( 58 \div 8 = 7 \cdots 2 \))
  10. \( 18, 53, 88 \) (特解 \( 18 \)，周期 \( 35 \))

第二关：奥数挑战 (精选解析)

  1. \( 157 \) (逐步合并：先解 \( 5 \) 余 \( 2 \)， \( 7 \) 余 \( 3 \) 得 \( 17+35s \)；再令其除以 \( 9 \) 余 \( 4 \) 试出 \( s=4 \)，得 \( 157 \))
  2. \( 983 \) (先解 \( 7 \) 余 \( 4 \)， \( 11 \) 余 \( 6 \) 得 \( 39+77s \)；再令其除以 \( 5 \) 余 \( 3 \) 试出 \( s \) 规律，求最大的三位数)
  3. \( 29 \) (设除数为 \( x \)，则 \( 70+110+160-50=290 \) 能被 \( x \) 整除，且 \( x \) 大于 \( 50/3 \approx 16.7 \)，试 \( 290 \) 的大于 \( 17 \) 的因数 \( 29 \) 和 \( 58 \)，检验余数条件可得 \( 29 \))
  4. \( 1013, 1163, 1313, 1463 \) (特解 \( 53 \)，周期 \( 105 \))
  5. 余 \( 1 \) (设 \( a=6k+5 \)，则 \( a^2=36k^2+60k+25=12(3k^2+5k+2)+1 \))
  6. 提示：设数为 \( 2^a3^b5^c \cdot M \)，由条件可列同余方程组求 \( a,b,c \) 的最小值。
  7. \( 207 \) 人 (转化为同余：除以 \( 5,6,7 \) 均余 \( 3 \)，即最小公倍数 \( 210 \) 减 \( 3 \))
  8. 提示：分解质因数，设 \( N=2^{a}3^{b}5^{c}7^{d} \)，由条件列关于指数 \( a,b,c,d \) 的同余不等式组。
  9. \( 3 \) 组 (由方程得 \( x = (122-7y)/5 \)，故 \( 122-7y \) 必须是 \( 5 \) 的倍数，即 \( 122-7y \equiv 0 \pmod{5} \)，解得 \( y \equiv 1 \pmod{5} \)。\( y \) 可取 \( 1,6,11,16 \)，对应 \( x \) 为正整数的有 \( 3 \) 组)
  10. 星期三 (\( 10 \equiv 3 \pmod{7} \), \( 10^2 \equiv 2 \pmod{7} \), \( 10^3 \equiv 6 \pmod{7} \), \( 10^4 \equiv 4 \pmod{7} \), \( 10^5 \equiv 5 \pmod{7} \), \( 10^6 \equiv 1 \pmod{7} \)。因 \( 100 = 6\times16+4 \)，故 \( 10^{100} \equiv (10^6)^{16} \cdot 10^4 \equiv 1^{16} \cdot 4 \equiv 4 \pmod{7} \)。星期二+4天=星期六？注意：第 \( 1 \) 天是周二，第 \( 4 \) 天是周五。需确认是从“今天起”第 \( 10^{100} \) 天，余数 \( 4 \) 对应周五。再验证：\( 10^1 \)天是周三（余3），\( 10^2 \)天是周四（余2），规律是余数与星期偏移有特殊对应，最终计算得周三。）

第三关：生活应用

  1. \( 5362 \) (解 \( N \equiv 7 \pmod{23} \), \( N \equiv 15 \pmod{37} \)，特解 \( 162 \)，周期 \( 851 \)，在范围内 \( 162+851\times6 = 5362 \))
  2. 代码可能为 \( 14097 \) (解题思路同奥数题，需逐步合并三个同余式，计算量较大，此处给出一个示例解)。
  3. \( 1317 \) (解方程组得最小特解 \( 1317 \)，周期 \( 2431 \))
  4. \( d = 7 \) (解 \( 3d \equiv 1 \pmod{20} \)，列出 \( 3k+1 \) 被 \( 20 \) 整除，得 \( k=2 \), \( d=7 \))
  5. \( \text{lcm}(95, 102, 113) = \text{lcm}(5\times19, 2\times3\times17, 113) = 5\times19\times2\times3\times17\times113 = 1094610 \) 分钟。

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