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鸡兔同笼解题技巧：假设法详解与练习题PDF下载（含答案解析）

适用年级

三年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：鸡兔同笼：假设法 原理

  • 核心概念：欢迎来到“全鸡审讯室”！阿星警官有个绝招：先把笼子里的所有动物都“假设”成鸡。这时候，笼子里全是“咯咯哒”，但数一数总腿数 \( \text{总腿}_{\text{假设鸡}} \)，发现比题目给的 \( \text{总腿}_{\text{真实}} \) 少了好多条。阿星一拍桌子：“腿少了！说明有‘狡猾的兔子’混在鸡群里，把它的长腿藏起来伪装成鸡！”。接下来，我们开始“补腿行动”：每把一只“假鸡”还原成真兔子，就会多补上 \( 4-2=2 \) 条腿。用总共缺少的腿数，除以每只兔子需要补的腿数，就能揪出所有“潜伏者”兔子的数量啦！
  • 计算秘籍：
    1. 假设全鸡： 若总共有 \( N \) 个头，假设全是鸡，则腿数为 \( \text{假设腿} = 2 \times N \)。
    2. 发现缺口： 计算腿的缺口（差）：\( \text{腿差} = \text{真实总腿数} - \text{假设腿} \)。
    3. 补腿抓兔： 每将一只鸡换成兔子，能补上 \( 2 \) 条腿。所以，兔子的数量就是：\( \text{兔} = \frac{\text{腿差}}{2} \)。
    4. 求鸡： \( \text{鸡} = N - \text{兔} \)。
  • 阿星口诀：“全鸡腿少莫要慌，补腿除差兔登场。头数减去兔子数，小鸡数量就亮堂！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：算腿差时，用“假设腿”减去“真实腿”，得到负数，然后懵了。
    ✅ 正解：腿差永远是“真实腿”减去“假设腿”。假设全是鸡，腿肯定比真实的少，所以差是正数。如果假设全是兔子，腿会比真实的多，差就是负数，但道理一样。
  • ❌ 错误2：算出兔子数量后，忘记用总头数去减，直接认为剩下的腿就是鸡的。
    ✅ 正解：记住，我们控制的是“头”（动物个数）。每只动物都有一个头。算出兔子数量，剩下的“头”自然就是鸡的，和腿没关系了。

🔥 三例题精讲

例题1：经典再现：笼子里有鸡和兔共 \( 10 \) 只，腿一共 \( 28 \) 条。问鸡兔各几只？

📌 解析：

  1. 阿星审讯：假设 \( 10 \) 只全是鸡。那么总腿数应为 \( 2 \times 10 = 20 \) 条。
  2. 发现缺口：真实有 \( 28 \) 条腿，缺少了 \( 28 - 20 = 8 \) 条腿。
  3. 补腿抓兔：每把一只鸡换成兔子能多 \( 2 \) 条腿。需要换 \( 8 \div 2 = 4 \) 只。所以兔子有 \( 4 \) 只。
  4. 求鸡：鸡有 \( 10 - 4 = 6 \) 只。

✅ 总结：经典三步走：假设 → 求差 → 除差求变。

例题2：升级版“车同库”：停车场有三轮车和小轿车共 \( 15 \) 辆，轮子总共 \( 48 \) 个。问两种车各多少辆？（三轮车\(3\)轮，轿车\(4\)轮）

📌 解析：

  1. 假设全是轮子少的车——三轮车。那么总轮子数应为 \( 3 \times 15 = 45 \) 个。
  2. 发现缺口：真实有 \( 48 \) 个轮子，缺少了 \( 48 - 45 = 3 \) 个轮子。
  3. 补轮抓轿车：每把一辆三轮车换成轿车能多 \( 1 \) 个轮子。需要换 \( 3 \div 1 = 3 \) 辆。所以轿车有 \( 3 \) 辆。
  4. 求三轮车：三轮车有 \( 15 - 3 = 12 \) 辆。

✅ 总结：“鸡兔同笼”是模型，关键是找出“基本款”（轮子/腿少的）和“升级款”，以及它们单个的“属性差”（这里是 \( 1 \) 个轮子）。

例题3：生活应用题：小明用 \( 50 \) 元买了 \( 10 \) 张 \( 5 \) 元和 \( 10 \) 元的购物优惠券共 \( 10 \) 张，恰好用完。两种优惠券各买了几张？

📌 解析：

  1. 假设全是便宜的“鸡”—— \( 5 \) 元券。那么总花费为 \( 5 \times 10 = 50 \) 元。
  2. 发现“缺口”：真实花费就是 \( 50 \) 元，缺口为 \( 50 - 50 = 0 \) 元？不对！等一下，这里真实花费和假设花费一样，说明根本没有更贵的“兔子”（\(10\)元券）吗？别急，我们验证：如果全是 \( 5 \) 元券，花 \( 50 \) 元买 \( 10 \) 张，正好。所以答案就是 \( 10 \) 张 \( 5 \) 元券， \( 0 \) 张 \( 10 \) 元券。这是一个边界情况。
  3. （假设全是贵的“兔子”—— \( 10 \) 元券呢？总花费 \( 10 \times 10 = 100 \) 元，比实际多 \( 100 - 50 = 50 \) 元。每把一张 \( 10 \) 元券换成 \( 5 \) 元券，能减少 \( 5 \) 元花费。需要换 \( 50 \div 5 = 10 \) 张。所以 \( 5 \) 元券有 \( 10 \) 张， \( 10 \) 元券有 \( 0 \) 张。结果一致。）

✅ 总结：假设法也可以从“全是贵的”开始，原理是“腿多了要砍腿”。计算结果出现 \( 0 \) 是合理的，代表一种极端情况。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 鸡兔同笼，共 \( 8 \) 个头， \( 22 \) 条腿，鸡兔各几何？
  2. 鸡兔同笼，共 \( 12 \) 个头， \( 32 \) 条腿，鸡兔各几何？
  3. 自行车（\(2\)轮）和三轮车共 \( 9 \) 辆，有 \( 23 \) 个轮子。各几辆？
  4. \( 2 \) 分和 \( 5 \) 分硬币共 \( 20 \) 枚，价值 \( 76 \) 分。两种硬币各几枚？
  5. 鹤龟同池，共 \( 7 \) 只，腿 \( 20 \) 条。（鹤1头2腿，龟1头4腿）鹤龟各几？
  6. 鸡兔同笼，共 \( 15 \) 只，鸡腿比兔腿多 \( 6 \) 条。鸡兔各几？(提示：假设全是鸡，比较腿差)
  7. 老师带 \( 40 \) 名同学划船，大船坐 \( 6 \) 人，小船坐 \( 4 \) 人，共租 \( 9 \) 条船正好坐满。大小船各几条？
  8. 答对一道题得 \( 10 \) 分，答错倒扣 \( 5 \) 分。小明 \( 10 \) 题全答，得了 \( 55 \) 分。他对了几题？
  9. 一张餐桌坐 \( 4 \) 人，一张坐 \( 6 \) 人。现有 \( 30 \) 人，用了 \( 7 \) 张桌子刚好坐满。两种桌子各几张？
  10. 买苹果和梨共 \( 10 \) 斤，苹果 \( 8 \) 元/斤，梨 \( 5 \) 元/斤，共付 \( 68 \) 元。苹果和梨各几斤？

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 鸡兔同笼，兔的数量是鸡的 \( 2 \) 倍，共有腿 \( 140 \) 条。鸡兔各多少？
  2. 蜘蛛（\(8\)条腿）、蜻蜓（\(6\)条腿\(2\)对翅）、蝉（\(6\)条腿\(1\)对翅）共 \( 18 \) 只，腿共 \( 118 \) 条，翅膀 \( 26 \) 对。三种昆虫各几只？（分步假设）
  3. 百僧分馍：\( 100 \) 个和尚分 \( 100 \) 个馒头。大和尚一人分 \( 3 \) 个，小和尚 \( 3 \) 人分 \( 1 \) 个。大小和尚各几人？
  4. 鸡兔同笼，鸡比兔多 \( 10 \) 只，但腿数比兔少 \( 20 \) 条。鸡兔各多少？
  5. 有 \( 5 \) 元和 \( 10 \) 元人民币共 \( 20 \) 张，总面值 \( 125 \) 元。其中 \( 5 \) 元币比 \( 10 \) 元币多几张？
  6. 一辆卡车运矿石，晴天每天运 \( 20 \) 次，雨天每天运 \( 12 \) 次。它一连运了 \( 14 \) 天，共运了 \( 224 \) 次。这几天中有几天雨天？
  7. 智力竞赛共 \( 15 \) 题，做对一题得 \( 8 \) 分，做错一题倒扣 \( 4 \) 分。小星得了 \( 72 \) 分，他做对了几题？
  8. 鸡兔共有脚 \( 100 \) 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 \( 86 \) 只。原来鸡兔各几只？
  9. 一批货物，用大卡车运要 \( 10 \) 辆，用小卡车运要 \( 15 \) 辆。实际用了大、小卡车共 \( 12 \) 辆一次运完。大卡车用了几辆？
  10. 某次数学测验共 \( 20 \) 题，做对得 \( 5 \) 分，做错或不做扣 \( 1 \) 分。小华得了 \( 70 \) 分。他做对了几题？

第三关：生活应用（5道）

  1. 【AI训练】 星火实验室用CPU和GPU服务器训练模型。CPU服务器每小时耗电\(5\)度，GPU服务器每小时耗电\(15\)度。某天同时运行了\(20\)台服务器\(1\)小时，总耗电\(180\)度。两种服务器各运行了多少台？
  2. 【航天零件】 生产一批航天器精密零件，A型零件每个重 \( 50 \) 克，B型零件每个重 \( 80 \) 克。一箱零件总数为 \( 30 \) 个，总重量为 \( 2 \) 千克（\(2000\)克）。这箱零件中A型、B型各有多少个？
  3. 【网购满减】 某网店“满\(200\)减\(30\)”和“满\(100\)减\(10\)”两种优惠券，小明共领了\(8\)张券，结算时这些券总共为他减免了\(110\)元。已知“满\(200\)减\(30\)”的券比“满\(100\)减\(10\)”的券多。两种优惠券他各领了几张？
  4. 【双十一快递】 快递站今天要派送大小两种包裹共 \( 50 \) 件。小包裹派送费每件 \( 2 \) 元，大包裹每件 \( 5 \) 元。快递员今天派费总收入 \( 160 \) 元。今天派送的大包裹有多少件？
  5. 【新能源充电】 一个充电站有慢充桩（每小时充\(10\)度电）和快充桩（每小时充\(60\)度电）。某时段所有桩都在工作，共\(15\)个桩，\(1\)小时内总计充电\(450\)度。该时段工作的快充桩有几个？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：鸡兔同笼：假设法 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难在思维的“拐弯”。学生习惯直接对应（1个头对应固定的腿），但假设法引入了“虚拟状态”和“差值调整”两个抽象层。首先要接受一个全错的假设（全是鸡），然后分析这个错误假设与现实的总量差 \( \text{腿差} \)，最后理解这个总量差是由单个属性差 \( (4-2) \) 累积而成的。这个过程 \( \text{兔} = \frac{\text{腿差}}{4-2} \) 本质是“总量差 ÷ 单位差 = 差量个数”，是未来学习方程、线性关系的基石。理解这个“差量思维”是关键。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：帮助巨大。它是“代数思维”的启蒙。假设法的核心是“设未知量”和“找等量关系”的前身。例如，设鸡有 \( x \) 只，兔有 \( y \) 只，方程是 \( x + y = N \) 和 \( 2x + 4y = L \)。假设法本质上是在解这个方程组：由 \( x = N - y \) 代入腿的方程得 \( 2(N-y) + 4y = L \)，化简即 \( 2N + 2y = L \)，移项得 \( 2y = L - 2N \)，正是 \( \text{兔} = \frac{\text{腿差}}{2} \)。它也为学习“盈亏问题”、“浓度问题”中的“比较与调整”思想打下基础。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！可以总结为“假设、比较、调整”六字诀，并记住核心公式：

  • 假设全是“小值”（腿少/单价低…），则：
    “大值”数量 = (实际总量 - 假设总量) ÷ (大值属性 - 小值属性)
    用符号表示：若总头数 \( N \)，总腿数 \( L \)，单个属性分别为 \( a \) (小) 和 \( b \) (大)，则：
    \( \text{大值数量} = \frac{L - a \times N}{b - a} \)， \( \text{小值数量} = N - \text{大值数量} \)。

牢记这个模型，大部分同类问题都可套用分析。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 兔：\( (22-2\times8)\div2=3 \)，鸡：\( 5 \)
  2. 兔：\( (32-2\times12)\div2=4 \)，鸡：\( 8 \)
  3. 三轮车：\( (23-2\times9)\div1=5 \)，自行车：\( 4 \)
  4. \( 5 \)分币：\( (76-2\times20)\div3=12 \)，\( 2 \)分币：\( 8 \)
  5. 龟：\( (20-2\times7)\div2=3 \)，鹤：\( 4 \)
  6. 假设全是鸡，腿共 \( 30 \) 条。此时鸡腿比兔腿多 \( 30 \) 条（因为没兔）。实际只多 \( 6 \) 条，多出的腿减少了 \( 24 \) 条。每多一只兔，鸡腿兔腿差减少 \( 6 \) 条（鸡腿-2，兔腿+4，差变化-6）。兔：\( 24\div6=4 \)，鸡：\( 11 \)。
  7. 假设全小船，坐 \( 4\times9=36 \) 人，缺 \( 41-36=5 \) 人。大船：\( 5\div(6-4)=2.5 \)？等等，总人数是 \( 1+40=41 \) 人。大船：\( (41-4\times9)\div2=2.5 \)？出现半条船，题目数据可能为“40人”（不含老师）。若为 \( 40 \) 人，则大船：\( (40-4\times9)\div2=2 \)，小船：\( 7 \)。
  8. 假设全对，得 \( 10\times10=100 \) 分，比实际多 \( 100-55=45 \) 分。错一题比对少 \( 10+5=15 \) 分。错题：\( 45\div15=3 \)，对题：\( 7 \)。
  9. 假设全 \( 4 \) 人桌，坐 \( 28 \) 人，缺 \( 2 \) 人。\( 6 \) 人桌：\( 2\div(6-4)=1 \)，\( 4 \) 人桌：\( 6 \)。
  10. 假设全买梨，花 \( 5\times10=50 \) 元，少 \( 18 \) 元。苹果：\( 18\div(8-5)=6 \)斤，梨：\( 4 \)斤。

第二关：奥数挑战（解析略，提供关键答案）

  1. 鸡 \( 10 \)，兔 \( 20 \)（可设鸡 \( x \)，兔 \( 2x \) 代入公式）
  2. 先假设全是蜻蜓和蝉（6腿），得蜘蛛数；再假设蜻蜓和蝉全是一对翅… 答案：蜘蛛 \( 5 \)，蜻蜓 \( 6 \)，蝉 \( 7 \)。
  3. 大和尚 \( 25 \)，小和尚 \( 75 \)。（将 \( 3 \) 个小和尚看成一组，与一个大和尚对比）
  4. 兔 \( 20 \)，鸡 \( 30 \)。（鸡多10只，多20条腿；抵消后，剩下“鸡兔数量相等”的部分，兔腿比鸡腿多20+20=40条，每组（1鸡1兔）兔腿多2条，故有20组，即兔20）
  5. \( 5 \) 元币 \( 15 \) 张，\( 10 \) 元币 \( 5 \) 张，多 \( 10 \) 张。
  6. 雨天 \( 8 \) 天。（假设全晴天）
  7. 对 \( 11 \) 题。（假设全对）
  8. 鸡 \( 12 \)，兔 \( 19 \)。（交换前后总头数不变，总腿数减少 \( 14 \) 条，说明交换时，每把一只兔换成鸡就减少 \( 2 \) 条腿，共操作了 \( 7 \) 次，即原来兔比鸡多 \( 7 \) 只。再结合原总腿数列式）
  9. 大卡车 \( 6 \) 辆。（将货物总量视为“腿”，大卡车每辆运 \( \frac{1}{10} \)，小卡车每辆运 \( \frac{1}{15} \)）
  10. 做对 \( 15 \) 题。（假设全对）

第三关：生活应用

  1. GPU服务器（“兔”）：\( (180-5\times20)\div(15-5)=8 \) 台。CPU服务器：\( 12 \) 台。
  2. B型零件（“兔”）：\( (2000-50\times30)\div(80-50)=\frac{500}{30} \) 不为整数？检查：\( 2000-1500=500 \)， \( 500\div30=16.\overline{6} \)。数据设计可能为 \( 30 \) 个总重 \( 1950 \) 克，则B型 \( (1950-1500)\div30=15 \) 个，A型 \( 15 \) 个。原题数据需调整。
  3. 设“满200减30”为“大值”。假设全领“满100减10”券，总减免 \( 80 \) 元，差 \( 30 \) 元。每换一张“大值”券多减 \( 20 \) 元。需换 \( 1.5 \) 张，非整数。假设全领“满200减30”券，总减免 \( 240 \) 元，多 \( 130 \) 元。每换一张“小值”券少减 \( 20 \) 元。需换 \( 6.5 \) 张。数据可能为总共减免 \( 100 \) 元，则“大值”券 \( 2 \) 张（减60），“小值”券 \( 4 \) 张（减40），共 \( 6 \) 张。原题“共8张”可有多解。
  4. 大包裹（“兔”）：\( (160-2\times50)\div(5-2)=20 \) 件。
  5. 快充桩（“兔”）：\( (450-10\times15)\div(60-10)=6 \) 个。

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