乘法符号法则深度解析：同号得正异号得负怎么理解？附例题与易错点专项练习题库

💡 阿星精讲：乘法符号法则 原理

• 核心概念：想象一下，数字们也有自己的“身份”。正数 \( (+5) \) 就像我们的“朋友”，负数 \( (-3) \) 则像“对手”。当两个数相乘时，它们的符号会先“开会”，决定结果的“态度”（正或负）。阿星的秘诀是：先定号，再算数。把符号看作指挥官，数字看作士兵。指挥官先决定结果的“阵营”（正或负），士兵们（数字）再执行具体的计算任务。这就是“同号得正，异号得负。计算前先写符号，再算数字，永远不会错。”的生动诠释。
• 计算秘籍：
  1. 第一步：看符号，定结果符号。 记住阿星口诀：朋友×朋友=朋友 (+)，对手×对手=朋友 (+)，朋友×对手=对手 (-)。
  2. 第二步：不看符号，计算数字部分。 将两个数的绝对值相乘：\( |a| \times |b| \)。
  3. 第三步：合成最终结果。 将第一步确定的符号，写在第二步算出的数字前面。

  例如，计算 \( (-4) \times (+6) \)：

  1. 定号：异号（对手×朋友）→ 结果为负 \( (-) \)。
  2. 算数：\( 4 \times 6 = 24 \)。
  3. 合成：\( (-) \) 和 \( 24 \) → \( -24 \)。

  所以，\( (-4) \times (+6) = -24 \)。

• 阿星口诀：符号如同指挥官，先行一步定正负。同号相乘得正果，异号相遇结果为负。数字计算随后到，合成答案错不了！

📐 图形解析

虽然符号法则本身是代数概念，但我们可以用“方向”和“面积”来可视化理解。想象一个温度计，正数代表温度上升，负数代表温度下降。

核心思想：同号相乘，方向一致，得到正向积累；异号相乘，方向相反，产生抵消或逆向结果。

面积公式：\( S = 长 \times 宽 \)。如果我们把“长”和“宽”的方向（正/负）赋予意义，结果的“面积”符号就遵循我们的法则。

左图：长 \( +a \)（向右），宽 \( +b \)（向上），围成的矩形面积 \( S = (+a) \times (+b) = +ab \)，为“正面积”。
右图：长 \( +a \)（向右），宽 \( -b \)（向下），形成的“有向面积” \( S = (+a) \times (-b) = -ab \)，为“负面积”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：将加减法法则与乘法法则混淆。例如，认为 \( (-5) + (-3) = +8 \) 或 \( (-5) - (-3) = -2 \)。
  ✅ 正解：加减法看的是“合并”与“抵消”，乘法看的是“符号开会”。加法：同号相加取同号，异号相抵消。乘法：只遵循“同号得正，异号得负”。
• ❌ 错误2：计算多个数相乘时，符号判断混乱。例如，计算 \( (-2) \times (-3) \times (-1) \) 时，先算得 \( +6 \)，再算 \( +6 \times (-1) \) 却得出 \( +6 \)。
  ✅ 正解：坚持阿星的“先定号”策略！对于多个数相乘：先数负号的个数。若负号个数为偶数，结果符号为正；若为奇数，结果符号为负。确定符号后，再把所有数的绝对值相乘。上例：3个负数（奇数个负号）→ 结果符号为负；\( 2\times3\times1=6 \)；合成：\( -6 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( (+6) \times (+4) = ? \)
2. \( (-9) \times (+3) = ? \)
3. \( (-5) \times (-7) = ? \)
4. \( (+10) \times (-2) = ? \)
5. \( (-1) \times (+100) = ? \)
6. \( (-8) \times 0 = ? \) (思考：0有符号吗？)
7. \( (+2.5) \times (-4) = ? \)
8. \( (- \frac{1}{2}) \times (-6) = ? \)
9. 判断：两个负数相乘，结果一定比这两个数都大。（ ）
10. 判断：一个正数乘以一个负数，结果一定小于这个正数。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算：\( (-2)^3 \) （提示：\( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) \)）
2. 计算：\( (-1)^{2025} \)
3. 计算：\( (-3) \times (-\frac{4}{9}) \times (-\frac{3}{2}) \)
4. 若 \( ab < 0 \)，且 \( a+b > 0 \)，则 \( a, b \) 的正负情况是？
5. 在数轴上，点A表示的数是 \( -4 \)，点B是点A向右移动7个单位长度到达的点，则点B表示的数是 \( (-4) + (+7) \)。若点C是点A以原点为中心，拉长到3倍距离的点，则点C表示的数是 \( (-4) \times (+3) \)。请问点C表示的数是多少？
6. 计算：\( | -5 | \times (-2) \)
7. 已知 \( x = -2, y = 3 \)，求 \( xy - 2x \) 的值。
8. 冷库温度每小时下降 \( -3^{\circ}C \)（即下降3°C），求4小时后的温度变化量。
9. 三个有理数 \( a, b, c \) 的积为负数，和为正数。当 \( x = \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} \) 时，求 \( x \) 的值。（提示：\( \frac{|m|}{m} \) 表示 \( m \) 的符号）
10. 计算：\( (-125) \times (+32) \times (-0.008) \) （提示：寻找简便算法）

第三关：生活应用（5道）

1. 电梯调度：某电梯从1楼（记为0层）开始运行。向上3层记为 \( +3 \)，向下2层记为 \( -2 \)。如果电梯以“每分钟移动 \( -2 \) 层”的速度（即向下）运行了5分钟，它现在在几层？请用乘法列式并计算。
2. 股票盈亏：小星持有某股票100股。若股价每日涨跌幅记为：上涨 \( +2 \) 元/股，下跌 \( -1.5 \) 元/股。假设连续三天的变化是 \( +2, -1.5, -1.5 \)，那么他的总资产变化额是多少元？（提示：总变化 = 股数 × 每日变化之和，也可逐日计算）
3. 海拔温度：已知某山地海拔每升高100米，气温下降 \( -0.6^{\circ}C \)。若山脚温度是 \( +20^{\circ}C \)，攀登者向上爬了500米，求此时温度。用有理数乘法表示温度变化部分。
4. 利润计算：一种商品，若盈利记为正，亏损记为负。上月每件产品利润为 \( -5 \) 元（即亏损5元）。由于改进工艺，本月每件产品利润变为上月的 \( -2 \) 倍。请问本月每件产品是盈利还是亏损？金额是多少？
5. 方向与位移：一辆玩具车在东西方向的直道上行驶。规定向东为正。它以每秒 \( -0.5 \) 米（即向西0.5米）的速度行驶了8秒。求它的位移（用正负数表示方向）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (+6) \times (+4) = +24 = 24 \)
2. \( (-9) \times (+3) = -27 \)
3. \( (-5) \times (-7) = +35 = 35 \)
4. \( (+10) \times (-2) = -20 \)
5. \( (-1) \times (+100) = -100 \)
6. \( (-8) \times 0 = 0 \) (任何数与0相乘都得0，符号法则在因数为0时不适用或说结果为中性)
7. \( (+2.5) \times (-4) = -10 \)
8. \( (-\frac{1}{2}) \times (-6) = +3 = 3 \)
9. 判断：错。例如 \( (-2) \times (-3) = 6 \)，6比-2和-3都大。但如果是两个负分数，如 \( (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{6} \)，结果比两者都大。实际上，两个负数相乘，结果为正数，一定大于任何一个负数。
10. 判断：对。正数 \( a>0 \)，负数 \( b<0 \)，则 \( ab < 0 \)，而 \( a > 0 \)，所以 \( ab < a \)。

第二关：中考挑战

1. \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) \)。负号个数3（奇数）→ 负；\( 2^3=8 \)；合成：\( -8 \)。
2. \( (-1)^{2025} \)：指数2025是奇数 → 负号个数为奇数 → 结果为 \( -1 \)。
3. \( (-3) \times (-\frac{4}{9}) \times (-\frac{3}{2}) \)。负号个数3（奇数）→ 负；\( 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{3 \times 4 \times 3}{9 \times 2} = \frac{36}{18} = 2 \)；合成：\( -2 \)。
4. \( ab < 0 \) 说明 \( a, b \) 异号。\( a+b > 0 \) 说明正数的绝对值更大。所以 \( a > 0, b < 0 \) 且 \( |a| > |b| \)。
5. 点C：\( (-4) \times (+3) = -12 \)。
6. \( | -5 | \times (-2) = 5 \times (-2) = -10 \)。
7. \( xy - 2x = (-2)\times3 - 2\times(-2) = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2 \)。
8. 温度变化量：每小时变化 \( -3^{\circ}C \)，4小时变化 \( (-3) \times 4 = -12 \, (^{\circ}C) \)。即下降12°C。
9. \( a, b, c \) 积为负 → 负号有1个或3个。和为正 → 不能三个都是负（和为负）。所以是两正一负。设 \( a>0, b>0, c<0 \)。则 \( \frac{|a|}{a}=1, \frac{|b|}{b}=1, \frac{|c|}{c}=-1 \)。所以 \( x = 1+1+(-1)=1 \)。
10. \( (-125) \times (+32) \times (-0.008) \)。负号2个（偶数）→ 正。凑整计算：\( 125 \times 8 = 1000， 0.008 \times 1000 = 8 \)，再 \( 8 \times 32 = 256 \)。或直接 \( 125 \times 0.008 = 1， 1 \times 32 = 32 \)，注意还有负号抵消为正，所以结果是 \( +32 \)。

第三关：生活应用

1. 每分钟移动 \( -2 \) 层，即向下2层。5分钟：\( (-2) \times 5 = -10 \)（层）。从0层（1楼）到-10层，即地下10层。
2. 解法一（总变化）：三日总变化 \( (+2) + (-1.5) + (-1.5) = -1 \)（元/股）。总资产变化 \( 100 \times (-1) = -100 \) 元（亏损100元）。
   解法二（逐日）：初始资产 \( P \)。第一日后：\( P + 100 \times 2 \)；第二日后：\( P + 200 + 100 \times (-1.5) = P + 50 \)；第三日后：\( P + 50 + 100 \times (-1.5) = P - 100 \)。变化 \( -100 \)元。
3. 海拔变化 \( +500 \)米。温度变化率 \( -0.6^{\circ}C / 100 \)米。总温度变化量：\( \frac{+500}{100} \times (-0.6) = (+5) \times (-0.6) = -3 \, (^{\circ}C) \)。此时温度：\( 20 + (-3) = 17 \, (^{\circ}C) \)。
4. 上月利润 \( -5 \) 元。本月利润是上月的 \( -2 \) 倍：\( (-5) \times (-2) = +10 \) 元。所以本月盈利10元。
5. 速度 \( -0.5 \) 米/秒，时间 \( +8 \) 秒。位移 = 速度 × 时间 = \( (-0.5) \times 8 = -4 \) 米。即位移为向西4米。