发车间隔问题解法详解：柳卡图法步骤与小升初奥数行程问题练习题PDF下载

💡 阿星精讲：发车间隔：柳卡图 原理

• 核心概念：想象一下，阿星正在一条笔直的公路上晨跑。他发现，对面方向每隔 \( 5 \) 分钟就有一辆公交车迎面开来，而同方向背后每隔 \( 7 \) 分钟就有一辆车追上他。阿星边跑边琢磨：“这些车到底是多久发一班呢？” 他灵机一动，画起了“时间-路程”线段图（这就是神奇的柳卡图）。在图上，代表公交车的斜线像一列整齐的士兵，而代表阿星自己位置的线，就像一把尺子。这把“尺子”每隔 \( 5 \) 分钟就会与一队“士兵”迎面相遇，每隔 \( 7 \) 分钟就会被另一队“士兵”从后面追上。通过测量“士兵”之间的“时间差”，就能算出它们的“出生间隔”（发车间隔）啦！
• 计算秘籍：
  1. 理解相对速度： 把阿星看作一个“观察点”。迎面来车时，阿星和车的速度是“相加”的；背后追及时，速度是“相减”的。这决定了两次相遇之间的“时间密度”。
  2. 构建模型： 设公交车速为 \( v_b \)，阿星速度为 \( v_x \)，发车间隔为 \( t \)。那么两辆车的距离是 \( v_b \cdot t \)。
     • 迎面相遇：相对速度为 \( v_b + v_x \)，相遇时间间隔为 \( 5 \)，所以 \( v_b \cdot t = (v_b + v_x) \times 5 \)。
     • 背后追上：相对速度为 \( v_b - v_x \)，追上时间间隔为 \( 7 \)，所以 \( v_b \cdot t = (v_b - v_x) \times 7 \)。
  3. 巧妙求解：
     由上面两式相等：\( (v_b + v_x) \times 5 = (v_b - v_x) \times 7 \)。
     解得：\( 5v_b + 5v_x = 7v_b - 7v_x \) → \( 12v_x = 2v_b \) → \( v_b = 6v_x \)。
     代入第一个式子：\( v_b \cdot t = (v_b + \frac{v_b}{6}) \times 5 = \frac{7}{6}v_b \times 5 \)。
     两边约去 \( v_b \)：\( t = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} \) (分钟)。
  4. 通用公式（阿星秘传）： 设迎面相遇时间间隔为 \( a \)（本题的 \( 5 \)），背后追及时间间隔为 \( b \)（本题的 \( 7 \)），则发车间隔 \( t = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} \)。快用本题验证一下：\( t = \frac{2 \times 5 \times 7}{5+7} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6} \)。
• 阿星口诀：“迎面背后，时间倒数和一半，取倒数得间隔。”（即：\( t = \frac{1}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \div 2} \)）

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把 \( 5 \) 分钟和 \( 7 \) 分钟直接加起来除以 \( 2 \)，得到 \( 6 \) 分钟。 → ✅ 正解：这是“调和平均”问题，不是“算术平均”。因为时间间隔与速度成反比关系，必须使用倒数进行计算。
• ❌ 错误2：列方程时，设了太多未知数（车速度、人速度、间隔），然后试图一个个解出来，把自己绕晕。 → ✅ 正解：核心目标是求发车间隔 \( t \)，它只与 \( a \) 和 \( b \) 有关。利用两车之间的距离固定建立等式，往往可以约掉速度，直接得到 \( t \) 与 \( a, b \) 的关系。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 阿星骑车，对面公交车每 \( 6 \) 分钟相遇一辆，背后每 \( 10 \) 分钟被追上一辆。求公交车发车间隔。
2. 在跑步机上逆向慢走（有速度），看到窗外对面列车每 \( 4 \) 分钟过一辆，同向列车每 \( 8 \) 分钟过一辆。求列车发车间隔。
3. 船在河水中顺流而下，对面来的船每 \( 12 \) 分钟相遇，后面同向的船每 \( 15 \) 分钟追上。求对面发船的间隔（假设两码头船速、水速均相同）。
4. 如果迎面相遇间隔是 \( 10 \) 分钟，发车间隔是 \( 8 \) 分钟，求背后追上的时间间隔。
5. 发车间隔为 \( 9 \) 分钟，背后追及间隔为 \( 18 \) 分钟，求阿星的速度与车速度的比。
6. 观察者静止时，测得同向车间隔为 \( 5 \) 分钟，那么发车间隔是多少？
7. 已知迎面间隔 \( a \) 是背后间隔 \( b \) 的 \( \frac{1}{3} \)，且发车间隔 \( t = 5 \) 分钟，求 \( a \) 和 \( b \)。
8. 阿星速度是车的 \( \frac{1}{5} \)，求他迎面遇车的间隔与背后被追上的间隔之比。
9. 两个发车间隔相同的车队相向而行，阿星静止在路边，他观察到其中一个车队每 \( 2 \) 分钟经过一次。求车队的发车间隔。
10. 验证：当阿星速度等于车速时，背后追及间隔会变成无穷大（永远追不上），迎面间隔变为发车间隔的一半。

第二关：奥数挑战（10道）

1. （华杯赛真题）某人沿电车线路匀速行走。每隔 \( 6 \) 分钟有一辆电车从后面追上他，每隔 \( 2 \) 分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔相同，求这个发车间隔。
2. 阿星发现，如果他速度增加 \( 25\% \)，则迎面遇车间隔减少 \( 1 \) 分钟。求他原来的速度与车速度的比。
3. 一个匀速车队，发车间隔 \( t \)。甲从队尾跑步到队首再跑回队尾，发现从离开队尾到回到队尾共用时 \( 24 \) 分钟，此期间车队共前进了 \( 6t \) 的距离。求甲跑步速度与车队速度的比。
4. 在双向发车间隔相同的轨道上，阿星坐在一列行驶的车中，观测对面来车。他发现从对面第一辆车开始计时，到第 \( 10 \) 辆车驶过共用时 \( 9 \) 分钟。求发车间隔。
5. 已知迎面间隔 \( a \) 和背后间隔 \( b \)，求阿星走完两辆同向车之间的路程需要的时间。
6. （迎春杯）某人匀速行走，每 \( 15 \) 分钟有一辆公交车追上他，每 \( 5 \) 分钟有一辆公交车迎面相遇。若公交车发车间隔不变，且公交车总站每隔相同时间发一辆车，那么公交车的发车间隔是多少？
7. 队伍长 \( L \) 米，匀速前进。阿星从队尾追到队首再返回队尾，总共用时 \( T \) 分钟。此期间队伍前进了 \( S \) 米。已知队伍的行进速度，求阿星的速度。
8. 如果公交车以两种速度交替运行（快慢车），发车间隔相同。阿星匀速行走，他发现迎面遇到快车的间隔是 \( 4 \) 分钟，遇到慢车的间隔是 \( 6 \) 分钟。求快车速度与慢车速度的比。
9. 在圆形跑道上，均匀分布着 \( N \) 辆匀速行驶的汽车。阿星在跑道上同向行走，从他被第一辆车追上开始，到被第 \( M \) 辆车追上结束，共用时 \( T \)。求阿星的速度。
10. 阿星先以速度 \( v_1 \) 行走，测得迎面间隔 \( a_1 \)；后以速度 \( v_2 \) 行走，测得迎面间隔 \( a_2 \)。求车的发车间隔 \( t \) 和速度 \( v_b \)。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI物流）某仓库使用AGV（自动导引车）在固定轨道搬运货物，发车间隔恒定。一个维护机器人以匀速在轨道旁检查。它发现对面来的AGV每 \( 30 \) 秒经过一次，同向AGV每 \( 90 \) 秒经过一次。求AGV的发车间隔。
2. （航天观测）国际空间站（ISS）每隔固定的时间经过地球上某固定点上空。一位地面观测者由于地球自转，在ISS一次过境时，他测得ISS从出现在地平线到消失的时间间隔（类似“迎面”和“背后”的时间）。请抽象成本模型，说明各变量对应关系。
3. （网购体验）快递分拣中心的传送带以恒定速度运行，包裹被等间隔地放上传送带。一个质检员逆着传送带方向行走检查，他发现迎面而来的包裹间隔是 \( 10 \) 秒，而同向离开他的包裹间隔是 \( 40 \) 秒。求放置包裹的间隔时间。
4. （共享经济）在一条环形共享单车道上，所有单车被程序控制以相同速度匀速行驶，且保持等距（即发车间隔）。一位用户从停放区启动一辆车，欲追上前面一位用户。已知他启动时，前后都各有一辆车，且他发现自己与前方车辆的距离是后方车辆的 \( 2 \) 倍。求他需要多长时间能追上前面那辆车？
5. （未来交通）“超级高铁”在真空管道中匀速行驶，发车频率固定。管道维护舱以较低速度在管道中巡检。中央控制系统通过测量维护舱与迎面而来和后方追来的高铁的相遇频率，来实时校准高铁的速度或发车间隔。请设计一个算法流程，描述如何利用迎面间隔 \( a \) 和背后间隔 \( b \) 来诊断是车速异常还是发车间隔异常。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( t = \frac{2 \times 6 \times 10}{6+10} = \frac{120}{16} = 7.5 \) 分钟。
2. \( t = \frac{2 \times 4 \times 8}{4+8} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} \) 分钟。
3. 注意：船在动，水也在动。设船静水速 \( v_b \)，水速 \( v_w \)，阿星船速（顺水）为 \( v_x + v_w \)。对面来的船为逆水，速度为 \( v_b - v_w \)。相对速度（顺水船与逆水船）为 \( (v_x+v_w)+(v_b-v_w)=v_x+v_b \)。同向追及：后面船也是顺水，速度 \( v_b+v_w \)，相对速度为 \( (v_b+v_w)-(v_x+v_w)=v_b-v_x \)。公式仍适用，\( t = \frac{2 \times 12 \times 15}{12+15}=\frac{360}{27}=\frac{40}{3} \) 分钟。水速在相对速度计算中被抵消了。
4. 由 \( t = \frac{2ab}{a+b} \)，代入 \( t=8, a=10 \)，得 \( 8 = \frac{2 \times 10 \times b}{10+b} \)，解得 \( b = 40 \) 分钟。
5. 由 \( v_b t = (v_b - v_x) \times 18 \) 及 \( t=9 \) 得 \( v_b - v_x = v_b/2 \)，所以 \( v_x = v_b/2 \)，速度比为 \( v_x : v_b = 1:2 \)。
6. \( 5 \) 分钟。静止观察时，同向间隔等于发车间隔。
7. 已知 \( b = 3a \)，且 \( t = \frac{2a \cdot 3a}{a+3a} = \frac{6a^2}{4a} = 1.5a = 5 \)，所以 \( a = \frac{10}{3} \) 分钟，\( b = 10 \) 分钟。
8. 设 \( v_x = k, v_b = 5k \)。则 \( a = \frac{v_b t}{v_b+v_x} = \frac{5k t}{6k} = \frac{5t}{6} \)，\( b = \frac{v_b t}{v_b-v_x} = \frac{5k t}{4k} = \frac{5t}{4} \)。比例 \( a : b = \frac{5t}{6} : \frac{5t}{4} = 2:3 \)。
9. 静止观察相向而行的车队，相遇间隔就是发车间隔的一半（因为相对速度是两倍车速）。已知相遇间隔为 \( 2 \)，所以发车间隔 \( t = 2 \times 2 = 4 \) 分钟。
10. 当 \( v_x = v_b \) 时，背后追及公式分母为 \( 0 \)，间隔 \( b \) 无穷大。迎面间隔 \( a = \frac{v_b t}{v_b+v_b} = \frac{t}{2} \)。

第二关：奥数挑战

1. 标准题，\( t = \frac{2 \times 6 \times 2}{6+2} = \frac{24}{8} = 3 \) 分钟。
2. 设原人速 \( v_x \)，车速 \( v_b \)。原迎面间隔 \( a = \frac{v_b t}{v_b+v_x} \)。增速后 \( v_x' = 1.25v_x \)，新间隔 \( a' = \frac{v_b t}{v_b+1.25v_x} \)。已知 \( a - a' = 1 \)。需要更多条件（如 \( t \) ）才能解出比例。本题属于条件不足或需结合背后间隔，典型解法是设原迎面间隔为 \( a \)，则 \( \frac{1}{a} - \frac{1}{a-1} \) 与速度变化成正比，可求比例。
3. （提示：甲从队尾到队首是追及问题，从队首到队尾是相遇问题。设队伍速度 \( v_b \)，甲速 \( v_x \)，队伍长度即两车间隔 \( v_b t \)。列出往返时间方程和路程方程联立。）
4. 从第1辆到第10辆驶过，共有 \( 9 \) 个发车间隔。对面来车相对于阿星乘坐的车的相对速度是两车速度之和 \( 2v \)。这 \( 9 \) 个间隔的总路程 \( 9 \cdot v t \) 以相对速度 \( 2v \) 通过，用时 \( 9 \) 分钟：\( \frac{9 v t}{2v} = 9 \)，解得 \( t = 2 \) 分钟。
5. 阿星走完两同向车之间的路程 \( v_b t \)，所需时间 \( T = \frac{v_b t}{v_x} \)。由公式可推导出 \( \frac{1}{T} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \)。
6. 标准题，\( t = \frac{2 \times 15 \times 5}{15+5} = \frac{150}{20} = 7.5 \) 分钟。
7. （提示：设队伍速度 \( u \)，甲速 \( v \)。追及时间 \( t_1 = \frac{L}{v-u} \)，相遇时间 \( t_2 = \frac{L}{v+u} \)，且 \( t_1+t_2=T \)，队伍前进 \( S = uT \)。可解 \( v \)。）
8. （提示：设快车速 \( v_f \)，慢车速 \( v_s \)，发车间隔 \( t \)。对于迎面相遇，阿星会交替遇到快慢车。列出方程，最终可得 \( v_f : v_s = 2:1 \)。）
9. （提示：在环形跑道上，被第 \( M \) 辆车追上，意味着阿星比车队多走了 \( M \) 圈（或 \( M \) 个车距？需仔细定义）。本质是追及问题变种。）
10. 由 \( v_b t = (v_b+v_1)a_1 \) 和 \( v_b t = (v_b+v_2)a_2 \)。两式相除可消去 \( t \)，解得 \( v_b \)，再代回求 \( t \)。

第三关：生活应用（提供关键思路）

1. \( t = \frac{2 \times 30 \times 90}{30+90} = \frac{5400}{120} = 45 \) 秒。
2. ISS相当于“车”，固定地面点由于地球自转相当于反向运动的“观察者”。ISS两次经过上空的时间间隔（类似于“发车间隔”）是固定的。由于地球自转，观察者与ISS的相对速度在不同时刻（ISS升起和落下时）方向不同，可以类比为“迎面”（ISS出现在地平线）和“背后”（ISS消失在地平线）的观测。
3. 传送带速度相当于“车速度”，质检员速度相当于“人速度”，放置间隔即 \( t \)。\( t = \frac{2 \times 10 \times 40}{10+40} = \frac{800}{50} = 16 \) 秒。
4. 设单车速度 \( v \)，发车间隔时间 \( t \)，则车距为 \( vt \)。用户启动时，设他距前车 \( 2d \)，距后车 \( d \)，则 \( 3d = vt \)。他要追上前车，是追及问题，相对速度差为 \( v_x - v \)（设用户速度 \( v_x \)），路程为 \( 2d = \frac{2}{3}vt \)。需要知道用户速度才能求解。若假设用户以速度 \( v_x \) 启动，则时间 \( T = \frac{2d}{v_x - v} = \frac{2vt/3}{v_x - v} \)。
5. 算法流程：1. 实时采集 \( a \) 和 \( b \)。2. 计算理论发车间隔 \( t_{cal} = \frac{2ab}{a+b} \)。3. 将 \( t_{cal} \) 与系统预设的标称发车间隔 \( t_0 \) 比较。若 \( t_{cal} \) 显著偏离 \( t_0 \)，而 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) 的值符合由预设车速 \( v_0 \) 和维护舱速 \( v_m \) 计算出的理论值，则问题可能出在发车间隔控制上；反之，若 \( t_{cal} \) 接近 \( t_0 \)，但 \( a, b \) 值单独偏离理论值，则问题可能出在高铁车速或维护舱速上。这需要建立精确的数学模型进行故障分离。