不放回概率问题怎么解？阿星精讲分母减一原理与避坑指南专项练习题库

💡 阿星精讲：不放回 原理

• 核心概念：想象你在一个神奇的糖果袋里摸糖吃。阿星说：第一次你把手伸进去，摸到哪颗糖全看缘分。但关键是，摸出来的糖被你“啊呜”一口吃掉了，不会再放回去！那么第二次你再伸手时，袋子里的糖果总数就少了一颗。这就是“分母减一”的灵魂所在——世界（样本空间）因为你第一次的“占有”而改变了！ 很多同学在这里掉坑，是因为总以为袋子还是原来的样子，忘记了你的行为已经影响了后续的所有可能。
• 计算秘籍：
  1. 锁定目标：明确你要什么（比如，第一次摸到草莓糖，第二次摸到柠檬糖）。
  2. 逐步分析：
     • 第一次的概率：目标数 \(a\) ÷ 总数 \(N\) → \(P_1 = \frac{a}{N}\)。
     • 关键一步：事情已经发生！ 糖果被吃掉（或球被拿走），袋子里的情况变了。
       • 目标糖果（或球）少了一个。
       • 糖果总数也少了一个，变成了 \(N-1\)。
     • 第二次的概率：在新的情况下，目标数 \(b\) ÷ 新的总数 \(N-1\) → \(P_2 = \frac{b}{N-1}\)。
  3. 整体概率：两步都要发生，所以是相乘：\(P = P_1 \times P_2 = \frac{a}{N} \times \frac{b}{N-1}\)。
• 阿星口诀：“摸完不放回，分母记得减。情况已改变，步步要重算！”

📐 图形解析

虽然“不放回”是概率概念，但我们可以用“决策树”来可视化这个“世界在收缩”的过程。下面的树状图展示了一个简单例子：袋子里有2颗红球（R）、1颗蓝球（B），连续摸两次且不放回。

从图中可以清晰地看到：

• 第一次摸球后，如果摸到红球（R），剩下世界是1红1蓝，第二次摸到蓝球（B）的概率是 \( \frac{1}{2} \)。
• 如果第一次摸到蓝球（B），剩下世界是2红0蓝，第二次摸到蓝球的概率立刻变为 \(0\)（图中用虚线表示不可能路径）。

核心公式总结：在第一次事件发生后的新条件下，概率公式变为 \( P(第二次事件) = \frac{新条件后的目标数}{新的总数} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：第二次摸球时，分母忘记减1，仍用最初的总数 \(N\) 计算。
  ✅ 正解：牢记“糖果被吃掉了”！样本总量因第一次操作而永久减少1，第二次的分母必须是 \(N-1\)。
• ❌ 错误2：混淆“有序”和“无序”。例如，“摸到一红一蓝”的概率，不考虑顺序是一种算法（组合），考虑第一次红第二次蓝或第一次蓝第二次红是另一种算法（排列）。
  ✅ 正解：审题时明确是否需要区分顺序。通常“依次摸取两个”属于有序问题，需要分步考虑；而“一把抓出两个”属于无序问题，可用组合数 \(C\) 直接计算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 袋中有3个红苹果和2个青苹果。阿星闭眼摸一个吃掉（不放回），再摸一个。他两次都摸到红苹果的概率是多少？
2. 一副去掉大小王的扑克牌（52张），随机抽一张不放回，再抽一张。第一次抽到红桃A，第二次抽到任意一张A的概率是多少？
3. 一个小组有5名男生和3名女生。老师随机点一名同学回答问题（不放回），接着再点一名。求第一名是男生，第二名是女生的概率。
4. 从数字1-10的卡片中抽一张，不放回再抽一张。两张卡片数字之和为偶数的概率是多少？（提示：考虑奇偶性）
5. 袋中有5个大小、手感完全相同的球，编号1-5。摸出1号球后不放回，第二次摸到球的编号大于3的概率是多少？
6. 一个口袋有2枚一元硬币和3枚五角硬币。随机摸出一枚不放回，再摸一枚。摸出的总面值为1.5元的概率是多少？
7. 从单词“STAR”的四个字母卡片中随机抽一张不放回，再抽一张。抽到的两个字母恰好能组成“AS”或“AT”的概率是多少？
8. 盒子里有4支新铅笔和2支旧铅笔。小明随机拿一支用（不放回），小华接着拿一支。两人拿到的都是新铅笔的概率是多少？
9. 一个骰子掷两次。问：第一次点数为偶数，第二次点数大于第一次点数的概率是多少？（注意：这不是“不放回”，但有助于理解顺序和条件）
10. 袋中有白球4个，黑球3个。依次摸出两个球（不放回）。求至少摸出一个黑球的概率。（提示：用“1 - 对立事件概率”）

第二关：中考挑战（10道）

1. 【基础综合】一个不透明的袋中装有3个红球、4个蓝球和y个黄球，这些球除颜色外都相同。从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 \(\frac{1}{4}\)。(1) 求y的值。(2) 随机摸出一个球后不放回，再摸出一个球，求两次摸到不同颜色球的概率。
2. 【分步与分类】从-2, -1, 0, 1, 2这五个数中随机抽取一个数记为a，不放回再随机抽取一个数记为b。求点(a, b)在函数 \(y=-x+1\) 的图像上的概率。
3. 【有序与无序】一个盒子中装有标号1-5的5张完全相同的卡片。随机从中先后抽取两张卡片（不放回），把卡片的数字依次记为a, b。求使得关于x的不等式组 \(\begin{cases} x > a \\ x \le b \end{cases}\) 有解的概率。
4. 【条件概率】已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个红球、3个白球。从袋子中摸出两个球（不放回）。(1) 求第一次摸到红球的概率。(2) 在第一次摸到红球的条件下，求第二次摸到白球的概率。
5. 【组合计数】从1, 2, 3, 4四个数字中随机选取两个不同的数字（相当于不放回地抽取），其乘积为偶数的概率是多少？
6. 【放回 vs 不放回】一个袋子中装有2个红球和2个白球。分别求以下两种情况下，两次摸到相同颜色球的概率：(1) 第一次摸出一球记下颜色后放回，摇匀再摸。(2) 第一次摸出一球后不放回，直接摸第二次。
7. 【树状图应用】甲、乙、丙三人玩传球游戏，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人。求传了三次球后，球又回到甲手中的概率。（提示：画出树状图）
8. 【方程思想】在一个“不放回”的抽奖箱中，放入若干张奖券，其中3张有奖。第一位参与者抽中奖券的概率是 \(\frac{1}{6}\)。求奖券总数。如果第一位参与者抽中了奖，求第二位参与者抽中奖券的概率。
9. 【几何概型初步】在长度为1的线段 \(AB\) 上任取一点 \(C\)，然后在剩下的 \(AC\) 和 \(CB\) 两段中（不放回）任取一点 \(D\)。求 \(AD < \frac{1}{2}\) 的概率。
10. 【实际应用】某校举行“垃圾分类”知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析。规定成绩不低于90分为优秀。如果从这20人中随机不放回地抽取两人，求抽到的两人恰好同年级且成绩均为优秀的概率。（假设已知优秀人数：七年级4人，八年级3人）

第三关：生活应用（5道）

1. 【产品质量检查】一批产品共100件，其中有5件次品。质检员采用不放回抽样方式随机抽检3件。求抽到的3件产品中恰好有1件次品的概率。
2. 【会议发言】某国际会议有5名中国代表和3名美国代表。会议主席要随机邀请两名代表依次发言（不放回）。求第二名发言者是中国代表的概率。（提示：分两种情况讨论：第一名是中国代表或美国代表）
3. 【交通路口】阿星上学要经过两个有红绿灯的路口A和B。每个路口遇到绿灯的概率都是60%，且相互独立。但阿星发现，如果他在路口A遇到绿灯，心情好走得快，到达路口B时，B路口的绿灯周期刚好过去的可能性会增加，这可以近似看作一个“不放回”的依赖模型——前一个结果影响后一个。若在A遇绿灯后B遇绿灯的概率降为50%，求阿星上学路上至少遇到一次红灯的概率。
4. 【名额分配】某公司有一个海外培训名额，要在技术部的A、B、C三位工程师中随机选派。总经理决定用抽签法：做三个签，一个“去”，两个“空”。三人依次不放回地抽签。请问这种抽签方式公平吗？每个人抽中“去”签的概率分别是多少？
5. 【资源抽取】一个生态湖中估算有鱼1000条，其中100条做了标记。环保人员不放回地捕捞了20条鱼。请估算这20条鱼中，有标记的鱼的数量最有可能是多少条？（提示：使用期望值概念）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)。解析：第一次后剩2红2青，共4个。
2. \(\frac{1}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{884}\)。解析：第一次抽走红桃A后，牌剩51张，其中A剩3张。
3. \(\frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\)。
4. \(\frac{5}{10} \times \frac{4}{9} + \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{9}\)。解析：和为偶数需同奇同偶。奇数和偶数各有5个。第一次取到奇数概率 \(5/10\)，第二次再取到奇数概率 \(4/9\)。偶数同理。两种情况概率相同，相加。
5. 第一次摸走1号，剩下2,3,4,5号球，其中大于3的是4和5号，共2个。概率为 \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)。
6. 总面值1.5元，需为一元+五角。两种情况：先一元后五角 \(P_1 = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\)；先五角后一元 \(P_2 = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)。总概率 \(P = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}\)。
7. “AS”或“AT”均为有序对。总的基本事件数为 \(4 \times 3 = 12\)。有利事件：构成“AS”（先A后S）和“AT”（先A后T）共2种。概率 \(P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)。
8. \(\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)。
9. 第一次偶数的概率 \(P_1 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)。在第一次点数为2,4,6的条件下，分别计算第二次大于它的概率。
   • 若第一次是2，第二次需为3,4,5,6，概率 \(4/6\)。
   • 若第一次是4，第二次需为5,6，概率 \(2/6\)。
   • 若第一次是6，第二次无大于它的数，概率 \(0\)。

   由于第一次是2,4,6的概率均等（各 \(1/3\)），故条件概率为 \(\frac{1}{3} \times (\frac{4}{6} + \frac{2}{6} + 0) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}\)。总概率 \(P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)。

10. 解法1（直接法）：第一次黑第二次白 \(\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{7}\)；第一次白第二次黑 \(\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{7}\)；两次都黑 \(\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}\)。相加得 \(\frac{5}{7}\)。
    解法2（对立事件）：1 - 两次都白 = \(1 - (\frac{4}{7} \times \frac{3}{6}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}\)。

（第二关、第三关答案因篇幅所限，在此提供关键题思路，其余可由老师或学生自行推导）

第二关 第1题解析： (1) 总球数 \(3+4+y = 7+y\)，红球概率 \(\frac{3}{7+y} = \frac{1}{4}\)，解得 \(y=5\)。 (2) 总球数12个。两次颜色不同 = 1 - (两次同色)。两次同红概率：\(\frac{3}{12} \times \frac{2}{11} = \frac{1}{22}\)；两次同蓝：\(\frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11}\)；两次同黄：\(\frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{5}{33}\)。同色概率相加：\(\frac{1}{22} + \frac{1}{11} + \frac{5}{33} = \frac{3}{66} + \frac{6}{66} + \frac{10}{66} = \frac{19}{66}\)。因此不同色概率为 \(1 - \frac{19}{66} = \frac{47}{66}\)。

第三关 第4题解析： 公平。这是一个经典结论。第一个人抽中的概率显然是 \(\frac{1}{3}\)。第二个人抽中的概率 = 第一个人没中的概率 × 自己在剩下签中抽中的概率 = \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)。同理，第三个人概率 = 前两个都没中的概率 × 自己抽中的概率 = \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{3}\)。所以公平。