不等式组解集口诀同大取大怎么用？图形化深度解析与易错题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：解集口诀 原理

• 核心概念：嘿，同学！解不等式组就像在给两个“挑剔的朋友”找约会时间。第一个朋友说：“我 \(x > 3\) 点后有空”，第二个说：“我 \(x > 5\) 点后才行”。他俩都能接受的“公共区域”是什么？没错，是 \(x > 5\) 之后！这就是“同大取大”——方向相同（都大于），取更大的那个数，才能让两个条件都满足。反过来就是“同小取小”。如果一个说“\(x < 10\)”，另一个说“\(x > 2\)”，那公共区域就在他俩中间 \(2 < x < 10\)，这是“大小小大中间找”。如果一个说“\(x > 8\)”，另一个说“\(x < 3\)”，这要求一个比3小，一个比8大，根本不可能有公共时间，所以“大大小小无处找”，也就是无解。
• 计算秘籍：
  1. 分别求解：像解单个方程一样，解出每个不等式，得到形如 \(x > a\) 或 \(x < b\) 的解。记住，乘除负数要反向！例如：\(-2x > 4\) → \(x < -2\)。
  2. 画数轴定位：（这是关键！）把每个解在数轴上用箭头或线段表示出来。
  3. 寻找公共区域：两个箭头重叠的部分，就是不等式组的解集。此时，套用阿星口诀来判断最终结果是“取大”、“取小”、“中间”还是“没有”。
  4. 规范书写：将公共区域用不等式表示，如 \(a < x < b\) 或 \(x > c\)。
• 阿星口诀：方向相同找极端（同大同小取最严）；方向相反看中间（一大一小夹中间）；要求矛盾直接判（大大、小小必玩完）。

📐 图形解析

理解口诀的关键在于“公共区域”。我们用数轴来可视化它，数轴就是一条无限长的“时间线”或“坐标路”。

不等式 \(x > a\) 在数轴上的表示：从点 \(a\) 向右的射线（空心圈表示不包含 \(a\) 本身）。

那么，两个不等式组的解集，就是它们在数轴上表示区域的重叠部分。下面的SVG展示了四种经典情况：

不等式组 \(\begin{cases} x > a \\ x > b \end{cases}\) (且 \(b > a\)) 的公共区域是 \(x > b\)。

不等式组 \(\begin{cases} x < m \\ x < n \end{cases}\) (且 \(n < m\)) 的公共区域是 \(x < n\)。

不等式组 \(\begin{cases} x > p \\ x < q \end{cases}\) (且 \(p < q\)) 的公共区域是 \(p < x < q\)。

不等式组 \(\begin{cases} x > s \\ x < t \end{cases}\) (且 \(s > t\)) 没有公共区域，无解。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忘记变号。 解不等式 \( -3x \le 6 \) 时，直接写成 \( x \le -2 \)。 → ✅ 正解：除以负数 \(-3\)，不等号方向必须改变：\( x \ge -2 \)。口诀是“负兄一到，方向调头”。
• ❌ 错误2：端点取舍混乱。 解集是 \( x \ge 1 \) 且 \( x < 4 \)，在数轴上把 \(1\) 画成空心圈，或者把 \(4\) 画成实心点。 → ✅ 正解：严格遵循“有等号（\(\ge, \le\)）画实心点，无等号（\(>,<\)）画空心圈”。公共区域要看所有条件，例如 \(x \ge 1\) 要求包含1，那么最终解集在1处就是实心点。
• ❌ 错误3：口诀滥用。 看到 \(\begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \end{cases}\)，不假思索写 \( -1 < x < 5 \)，但遇到 \(\begin{cases} x > 7 \\ x < 2 \end{cases}\)，也试图写 \( 2 < x < 7 \)。 → ✅ 正解：口诀“大小小大中间找”前提是“小”的那个数必须比“大”的那个数小（即 \(p < q\)）。必须先判断大小，如果出现“大”小于“小”的情况，直接属于“大大小小无处找”，无解。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解不等式组：\(\begin{cases} x + 3 > 5 \\ 2x - 1 < 9 \end{cases}\)
2. 解不等式组：\(\begin{cases} 3x \le 2x + 4 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}\)
3. 解不等式组：\(\begin{cases} 5 - x < 2 \\ 3x + 2 > 11 \end{cases}\)
4. 解不等式组：\(\begin{cases} 2(x+1) \ge x + 4 \\ \frac{x}{3} < 2 \end{cases}\)
5. 解不等式组：\(\begin{cases} -2x < 4 \\ x - 5 \le -2 \end{cases}\)，并在数轴上表示解集。
6. 解不等式组：\(\begin{cases} \frac{x-2}{2} \le \frac{1+x}{3} \\ x > -1 \end{cases}\)
7. 已知关于 \(x\) 的不等式组 \(\begin{cases} x > m-1 \\ x < m+2 \end{cases}\) 有解，求 \(m\) 的取值范围。
8. 若不等式 \(\begin{cases} x < a \\ x > 2 \end{cases}\) 无解，则 \(a\) 的取值范围是______。
9. 一个数的3倍加1大于5，而这个数减2小于1，求这个数的可能整数解。
10. （几何直观）根据下图数轴表示的公共区域，写出一个可能的不等式组。
    

第二关：中考挑战（10道）

1. 解不等式组：\(\begin{cases} 2x + 5 \le 3(x+2) \\ \frac{x-1}{2} < \frac{x}{3} \end{cases}\)，并写出它的所有负整数解。
2. 关于 \(x\) 的不等式组 \(\begin{cases} 3x - 1 > a \\ 2x < 6 \end{cases}\) 的解集为 \(x > 2\)，则 \(a\) 的值为多少？
3. 若关于 \(x\) 的一元一次不等式组 \(\begin{cases} \frac{2x-1}{3} > 1 \\ x - a < 0 \end{cases}\) 的解集为 \(x > 2\)，则 \(a\) 的取值范围是______。
4. 解不等式组：\(\begin{cases} 5x - 2 > 3(x+1) \\ \frac{1}{2}x - 1 \le 7 - \frac{3}{2}x \end{cases}\)，并把解集在数轴上表示出来。
5. 已知 \(2a - 3x^{b-1} = 0\) 是关于 \(x\) 的一元一次方程，且该方程的解满足不等式组 \(\begin{cases} 3x - 4 \ge x \\ \frac{x+2}{3} > \frac{x}{2} \end{cases}\)，求代数式 \(2a - b\) 的值。
6. 若不等式组 \(\begin{cases} x < 1 \\ x > m-1 \end{cases}\) 有 3 个整数解，则 \(m\) 的取值范围是______。
7. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需 320 元，购买1个篮球和3个足球共需 360 元。学校准备用不超过 3000 元购买不少于 10 个篮球和 10 个足球，问有几种购买方案？
8. 解不等式组：\(\begin{cases} 3(x-1) < 5x + 1 \\ \frac{x-1}{2} \ge 2x - 4 \end{cases}\)，并写出该不等式组的最小整数解。
9. 若实数 \(a\) 满足不等式组 \(\begin{cases} a - 1 > 0 \\ 3 - a > 0 \end{cases}\)，则化简 \(|a-2| + |3-a| =\) ______。
10. （综合）已知点 \(P(2m+1, m-3)\) 在第四象限，求 \(m\) 的取值范围。

第三关：生活应用（5道）

1. （购物预算）小星想用压岁钱买一本词典和几本练习本。词典每本 45 元，练习本每本 5 元。他总共带了 100 元，且希望练习本的数量至少是 5 本。问他最多能买多少本练习本？
2. （工程时间）一项工程，甲队单独做需要 15 天完成，乙队单独做需要 20 天完成。现在计划两队合作，但合作天数不超过 6 天。要完成至少一半的工程，两队至少要合作多少天？
3. （几何裁剪）从一张长为 80cm，宽为 60cm 的长方形纸板上，剪下一个面积为 1200 cm² 的小长方形，且要求小长方形的长和宽都必须比原纸板的长和宽至少小 10cm。求小长方形长的取值范围。
4. （温度控制）一种药品的保存温度要求是：存放在 \(t ^\circ\text{C}\) 的环境中，必须满足 \( |t - 10| \le 3 \)。这个不等式组等价于什么？将其解集在数轴上表示出来。
5. （行程规划）小星家到学校的路程是 2400 米。某天他骑自行车上学，出发时间比平时晚了 4 分钟。如果他以速度 \(v\) 米/分钟骑行，要保证不迟到（即所用时间不超过 \(\frac{2400}{v} + 4\) 分钟？），且速度不能超过 300 米/分钟。请建立关于速度 \(v\) 的不等式组，并求解 \(v\) 的取值范围。（提示：时间=路程÷速度）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解①：\(x > 2\)；解②：\(2x < 10\) → \(x < 5\)。公共区域：\(2 < x < 5\)。
2. 解①：\(3x - 2x \le 4\) → \(x \le 4\)；解②：\(x \ge 1\)。公共区域：\(1 \le x \le 4\)。
3. 解①：\(5 - x < 2\) → \(-x < -3\) → \(x > 3\)；解②：\(3x > 9\) → \(x > 3\)。同大取大：\(x > 3\)。
4. 解①：\(2x+2 \ge x+4\) → \(x \ge 2\)；解②：\(x < 6\)。公共区域：\(2 \le x < 6\)。
5. 解①：\(-2x < 4\) → \(x > -2\)（注意变号）；解②：\(x \le 3\)。公共区域：\(-2 < x \le 3\)。数轴略。
6. 解①：两边乘6：\(3(x-2) \le 2(1+x)\) → \(3x-6 \le 2+2x\) → \(x \le 8\)；解②：\(x > -1\)。公共区域：\(-1 < x \le 8\)。
7. 要有解，需满足“大小小大中间找”的前提：\(m-1 < m+2\)，此式恒成立。所以 \(m\) 为任意实数。解析：只要“小”的 (\(m-1\)) 小于“大”的 (\(m+2\))，就一定有公共区域。
8. 无解属于“大大小小无处找”，要求 \(a \le 2\)。因为如果 \(a > 2\)，则解集为 \(2 < x < a\)，有解。
9. 设这个数为 \(x\)，则 \(\begin{cases} 3x+1 > 5 \\ x-2 < 1 \end{cases}\)。解①：\(3x > 4\) → \(x > \frac{4}{3}\)；解②：\(x < 3\)。公共区域：\(\frac{4}{3} < x < 3\)。整数解为 \(2\)。
10. 答案不唯一，例如：\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x < 5 \end{cases}\) 或 \(\begin{cases} x > 1 \\ x \le 5 \end{cases}\) 等，只要保证公共区域是 \(1 \le x < 5\) 即可（注意1处实心，5处空心）。

第二关：中考挑战

1. 解①：\(2x+5 \le 3x+6\) → \(-1 \le x\)；解②：两边乘6：\(3(x-1) < 2x\) → \(3x-3 < 2x\) → \(x < 3\)。公共区域：\(-1 \le x < 3\)。负整数解：\(-1\)。
2. 解①：\(3x > a+1\) → \(x > \frac{a+1}{3}\)；解②：\(x < 3\)。已知解集为 \(x > 2\)，则公共区域必须是 \(2 < x < 3\)。所以 \(\frac{a+1}{3} = 2\)，解得 \(a=5\)。
3. 解①：\(2x-1 > 3\) → \(2x > 4\) → \(x > 2\)；解②：\(x < a\)。解集为 \(x > 2\)，说明 \(a\) 必须大于 \(2\)，且 \(a\) 可以等于任何大于 \(2\) 的数，因为 \(x > 2\) 和 \(x < a\) 的公共区域是 \(2 < x < a\)，要让它等于 \(x > 2\)，必须 \(a\) 足够大。严谨来说，要使 \(x > 2\) 成为解集，必须满足 \(a > 2\)，且当 \(a \le 2\) 时无解。但题目说解集是 \(x > 2\)，意味着 \(a\) 必须大于 \(2\)。所以 \(a > 2\)。
4. 解①：\(5x-2 > 3x+3\) → \(2x > 5\) → \(x > 2.5\)；解②：\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x \le 7+1\) → \(2x \le 8\) → \(x \le 4\)。公共区域：\(2.5 < x \le 4\)。数轴略。
5. 由方程形式知：\(b-1=1\) → \(b=2\)。方程为 \(2a - 3x = 0\) → \(x = \frac{2a}{3}\)。解不等式组：① \(3x - x \ge 4\) → \(2x \ge 4\) → \(x \ge 2\)；②两边乘6：\(2(x+2) > 3x\) → \(2x+4 > 3x\) → \(x < 4\)。所以不等式组解集为 \(2 \le x < 4\)。方程的解 \(x = \frac{2a}{3}\) 落在此区间内，所以 \(2 \le \frac{2a}{3} < 4\) → \(3 \le a < 6\)。则 \(2a - b = 2a - 2\)，其值在 \(4\) 到 \(10\) 之间（不含10），不是一个定值。题目可能求 \(a, b\) 的值？若要求整数解等，则 \(a\) 可取 \(3,4,5\)，对应 \(2a-b\) 为 \(4,6,8\)。
6. 不等式组为 \(\begin{cases} x < 1 \\ x > m-1 \end{cases}\)，即 \(m-1 < x < 1\)。有3个整数解，则整数解为 \(0, -1, -2\)。所以 \(m-1\) 必须在 \(-3\) 和 \(-2\) 之间，即 \(-3 \le m-1 < -2\)，解得 \(-2 \le m < -1\)。
7. 设篮球 \(x\) 元/个，足球 \(y\) 元/个。由题意：\(\begin{cases} 2x+y=320 \\ x+3y=360 \end{cases}\)，解得 \(x=120, y=80\)。设买 \(a\) 个篮球，\(b\) 个足球。则 \(\begin{cases} 120a+80b \le 3000 \\ a \ge 10 \\ b \ge 10 \end{cases}\)。化简第一个：\(3a+2b \le 75\)。在 \(a \ge 10, b \ge 10\) 条件下，尝试整数解：若 \(a=10\)，则 \(2b \le 45\) → \(b \le 22.5\)，且 \(b \ge 10\)，有13种。若 \(a=11\), \(2b \le 42\) → \(b \le 21\)，12种。... 若 \(a=15\), \(2b \le 30\) → \(b \le 15\)，6种。若 \(a=16\), \(2b \le 27\) → \(b \le 13.5\)，且 \(b \ge 10\)，4种。若 \(a=17\), \(2b \le 24\) → \(b \le 12\)，3种。若 \(a=18\), \(2b \le 21\) → \(b \le 10.5\)，1种 (\(b=10\))。若 \(a=19\), \(2b \le 18\) → \(b \le 9\)，与 \(b \ge 10\) 矛盾。总数需累加，此题旨在练习列不等式组，具体方案数计算略。
8. 解①：\(3x-3 < 5x+1\) → \(-2x < 4\) → \(x > -2\)；解②：\(x-1 \ge 4x-8\) → \(-3x \ge -7\) → \(x \le \frac{7}{3}\)。公共区域：\(-2 < x \le \frac{7}{3}\)。最小整数解为 \(-1\)。
9. 解不等式组得 \(1 < a < 3\)。所以 \(a-2 < 0\)，\(3-a > 0\)。原式 = \(-(a-2) + (3-a) = -a+2+3-a = 5 - 2a\)。注意，结果仍含 \(a\)，因为 \(a\) 是一个范围。若题目是求值，可能需要更具体的条件。
10. 第四象限点的坐标特征：横坐标 \(>0\)，纵坐标 \(<0\)。所以 \(\begin{cases} 2m+1 > 0 \\ m-3 < 0 \end{cases}\)。解①：\(m > -\frac{1}{2}\)；解②：\(m < 3\)。公共区域：\(-\frac{1}{2} < m < 3\)。

第三关：生活应用

1. 设买 \(x\) 本练习本。总价：\(45 + 5x \le 100\)，且 \(x \ge 5\)。解①：\(5x \le 55\) → \(x \le 11\)；解②：\(x \ge 5\)。公共区域：\(5 \le x \le 11\)。所以最多买 \(11\) 本。
2. 设合作 \(x\) 天。甲效率 \(\frac{1}{15}\)，乙效率 \(\frac{1}{20}\)。合作效率 \(\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{7}{60}\)。工作量：\(\frac{7}{60}x \ge \frac{1}{2}\)，且 \(x \le 6\)。解①：\(x \ge \frac{1}{2} \times \frac{60}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.29\)；解②：\(x \le 6\)。公共区域：\(\frac{30}{7} \le x \le 6\)。因为天数是整数，所以至少要合作 \(5\) 天。
3. 设小长方形长为 \(l\) cm，宽为 \(w\) cm。则 \(l \times w = 1200\)，即 \(w = \frac{1200}{l}\)。限制条件：\(\begin{cases} l \le 80-10=70 \\ w \le 60-10=50 \\ l > 0, w>0 \end{cases}\)。由 \(w \le 50\) 得 \(\frac{1200}{l} \le 50\) → \(1200 \le 50l\) → \(l \ge 24\)。由 \(l \le 70\) 且 \(w = \frac{1200}{l} > 0\) 自动满足。还需隐含 \(w \le 70\)? 不对，宽的限制是 \(w \le 50\)。同时，长也必须至少比原长短10cm吗？题目说“长和宽都必须比原纸板的长和宽至少小10cm”，所以长 \(l \le 70\) 且 \(l \ge 10\)? 不，“至少小10cm”意味着 \(l \le 70\) 且 \(l \ge 10\)？不对，是比原长（80）至少小10cm，所以 \(l \le 70\)；比原宽（60）至少小10cm，所以 \(w \le 50\)。没有下限，但长和宽必须为正。所以综合：\(l \le 70\) 且 \(l \ge 24\)（从 \(w\le50\) 推出）。另外，还需满足 \(w \le 50\) 且 \(w > 0\)，即 \(\frac{1200}{l} \le 50\) 已推出 \(l \ge 24\)。同时，由面积关系，\(l\) 还必须满足 \(w = \frac{1200}{l} \le 70\)？这不需要，因为宽的限制是50。所以 \(l\) 的取值范围是 \(24 \le l \le 70\)。
4. \( |t - 10| \le 3 \) 等价于 \(-3 \le t - 10 \le 3\)，即 \(\begin{cases} t - 10 \ge -3 \\ t - 10 \le 3 \end{cases}\)，解得 \(7 \le t \le 13\)。数轴上表示为从7到13的线段，两端实心点。
5. 设平时速度为 \(v_0\)，平时用时 \(T = \frac{2400}{v_0}\)。今天晚了4分钟，要保证不迟到，则今天所用时间 \(t = \frac{2400}{v}\) 必须满足 \(t \le T + 4\)，即 \(\frac{2400}{v} \le \frac{2400}{v_0} + 4\)。但题目没有给出平时速度 \(v_0\)，可能意思是“平时用时”是一个定值？或者今天的速度 \(v\) 需要比平时快？题目表述可能不完整。另一种理解：平时用时为 \(t_0\)，今天用时为 \(\frac{2400}{v}\)，因为晚了4分钟出发，所以实际路上时间必须比 \((t_0 - 4)\) 少才能准时？这也不对。更常见的模型是：设平时速度为 \(v_0\)，平时用时 \(t_0 = 2400 / v_0\)。今天出发晚4分钟，若想同时到校，则需提速。即 \(\frac{2400}{v} + 4 \le t_0\)？这也不对。看来题目需要明确平时速度或时间。假设已知平时用时为 20 分钟，则今天必须在 \(20-4=16\) 分钟内到达，所以 \(\frac{2400}{v} \le 16\)，且 \(v \le 300\)，解得 \(v \ge 150\) 且 \(v \le 300\)，即 \(150 \le v \le 300\)。所以原题可能缺失平时用时条件。本题旨在练习建立不等式组。