不等式性质3：为什么乘以负数要变号？核按钮原理深度解析与易错题大全专项练习题库

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 解不等式：\( -3x < 9 \)
2. 解不等式：\( \frac{y}{-4} \ge 2 \)
3. 解不等式：\( -0.5m > 1 \)
4. 解不等式：\( 7 \le -\frac{n}{2} \)
5. 解不等式：\( -2(x-1) \le 10 \)
6. 解不等式：\( \frac{3 - t}{-3} > 0 \)
7. 填空：若 \( a > b \)，则 \( -2a \) ______ \( -2b \)。（填 > 或 <）
8. 填空：不等式 \( x > -5 \) 两边乘以 \( -1 \)，得 ______。
9. 判断：不等式两边乘以同一个数，不等号方向不变。（ ）
10. 判断：由 \( -a < -b \) 可以推出 \( a > b \)。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）解不等式组：\( \begin{cases} 2x + 1 > -1 \\ -x \ge 0 \end{cases} \)
2. 解不等式：\( 1 - \frac{2x-1}{3} \le \frac{1+x}{-2} \)
3. 已知关于 \( x \) 的不等式 \( (2k-1)x > 2k-1 \) 的解集是 \( x < 1 \)，求 \( k \) 的取值范围。
4. 若点 \( P(3a-9, 1-a) \) 在第三象限，求 \( a \) 的取值范围。
5. 解关于 \( x \) 的不等式：\( k(x-1) > x-2 \) （\( k \) 为常数）
6. 不等式 \( -3(x-2) \le 12 \) 的非正整数解有哪些？
7. 若不等式 \( -2x + a > 4 \) 的解集是 \( x < -1 \)，求 \( a \) 的值。
8. 比较大小：若 \( m < n < 0 \)，比较 \( m^2 \) 与 \( n^2 \) 的大小。
9. 代数式 \( \frac{2x-1}{-3} \) 的值不大于 \( 1 \)，求 \( x \) 的最小整数值。
10. 在数轴上，表示不等式 \( -2(x+1) \le 4 \) 的解集，正确的是（ ）（可描述选项：空心圈/实心圈，向左/向右）

第三关：生活应用（5道）

1. 【购物折扣】某商品原价 \( x \) 元，打 \( n \) 折后售价不低于 \( 80 \) 元。已知 \( n \) 是一个小于 \( 10 \) 的正整数（即折扣低于10折），请用不等式表示 \( x \) 与 \( n \) 的关系。并说明如果商店想打更低的折扣（\( n \) 变小），为了保持售价不低于80元，原价 \( x \) 应该如何调整？
2. 【温度换算】华氏温度（\( F \)）与摄氏温度（\( C \)）的换算公式为：\( F = \frac{9}{5}C + 32 \)。某药品的储存说明书上要求：“温度须低于 \( 5^{\circ}C \) 且高于 \( -20^{\circ}C \)”。请将这个温度范围用华氏温度 \( F \) 表示出来。
3. 【工程预算】一个工程队计划每天修路 \( k \) 米（\( k>0 \)），要求 \( 10 \) 天内完成的路程不超过 \( 200 \) 米。若他们想提前到 \( 8 \) 天内完成，为了不超过预算（总路程不变），每天修路的长度 \( k \) 应该如何变化？用不等式分析。
4. 【身高限制】某游乐设施的安全要求是：游客身高 \( h \) （厘米）必须满足 \( |h - 150| \le 10 \)。将这个绝对值不等式转化为两个普通的不等式。
5. 【盈利模型】销售一件商品的利润为 \( (p - c) \) 元，其中 \( p \) 为售价，\( c \) 为固定成本。商场规定单件利润必须为负（即亏本促销）才能参与某个活动。写出参与该活动的售价 \( p \) 应满足的不等式。如果成本 \( c \) 提高了，为了继续参与活动，售价 \( p \) 应如何调整？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x > -3 \) （除以 \( -3 \)，翻号）
2. \( y \le -8 \) （乘以 \( -4 \)，翻号）
3. \( m < -2 \) （除以 \( -0.5 \) 即乘以 \( -2 \)，翻号）
4. \( n \le -14 \) （两边先乘以 \( -1 \) 得 \( -7 \ge \frac{n}{2} \)，再乘以 \( 2 \)）或直接乘以 \( -2 \) 并翻号。
5. \( x \ge -4 \) （先除以 \( -2 \) 得 \( x-1 \ge -5 \)，再加 \( 1 \)）
6. \( t > 3 \) （乘以 \( -3 \) 得 \( 3-t < 0 \)，再移项）
7. < （\( a>b \) 乘以 \( -2 \)，翻号）
8. \( -x < 5 \) 或 \( x < -5 \) 的相反方向
9. ❌ （必须强调“正数”）
10. ✅ （两边同时除以 \( -1 \)，翻号即得）

第二关：中考挑战

1. 解第一个：\( 2x > -2 \)， \( x > -1 \)。解第二个：\( -x \ge 0 \) 即 \( x \le 0 \)（乘以 \( -1 \)，翻号）。∴ 不等式组的解集为 \( -1 < x \le 0 \)。
2. 去分母（注意负号）：两边同乘 \( -6 \)（负号！核按钮！）：\( -6(1 - \frac{2x-1}{3}) \ge -6 \cdot \frac{1+x}{-2} \)。化简：\( -6 + 2(2x-1) \ge 3(1+x) \)。继续解得：\( x \ge 11 \)。
3. 解集 \( x < 1 \) 是由原不等式“翻号”得到的，说明系数 \( (2k-1) < 0 \)。∴ \( 2k-1 < 0 \)，解得 \( k < \frac{1}{2} \)。
4. 第三象限点坐标特征：横纵坐标均负。∴ \( \begin{cases} 3a-9 < 0 \\ 1-a < 0 \end{cases} \) 解得 \( \begin{cases} a < 3 \\ a > 1 \end{cases} \)，∴ \( 1 < a < 3 \)。
5. 移项整理：\( kx - k > x - 2 \) → \( (k-1)x > k-2 \)。讨论：① \( k>1 \) 时，\( x > \frac{k-2}{k-1} \)；② \( k<1 \) 时，\( x < \frac{k-2}{k-1} \)；③ \( k=1 \) 时，不等式变为 \( 0 > -1 \)，恒成立，\( x \) 为任意实数。
6. 解不等式得 \( x \ge -2 \)（过程：\( x-2 \ge -4 \)， \( x \ge -2 \)）。非正整数解有：\( -2, -1, 0 \)。
7. 解不等式：\( -2x > 4 - a \)， \( x < \frac{a-4}{2} \)（除以 \( -2 \)，翻号）。已知解集 \( x < -1 \)，所以 \( \frac{a-4}{2} = -1 \)，解得 \( a = 2 \)。
8. \( m < n < 0 \)，两边都是负数。由性质3，同乘负数翻号：∵ \( m < n \)，且 \( m, n < 0 \)，∴ 乘以 \( m \)（负）得 \( m^2 > mn \)；乘以 \( n \)（负）得 \( mn > n^2 \)。∴ \( m^2 > mn > n^2 \)，即 \( m^2 > n^2 \)。
9. 列式：\( \frac{2x-1}{-3} \le 1 \)。乘以 \( -3 \) 得 \( 2x-1 \ge -3 \)，解得 \( x \ge -1 \)。所以最小整数值是 \( -1 \)。
10. 解不等式：\( -2x -2 \le 4 \)， \( -2x \le 6 \)， \( x \ge -3 \)（核按钮！）。所以在数轴上应为实心点于 \( -3 \) 处，向右延伸的射线。

第三关：生活应用

1. 不等式：\( \frac{n}{10}x \ge 80 \)。当 \( n \) 变小时，为了保持不等式成立（左边乘积不小于80），原价 \( x \) 必须增大。用数学语言：由 \( x \ge \frac{800}{n} \) 可知，\( x \) 与 \( n \) 成反比关系。
2. 由 \( -20 < C < 5 \)，代入公式 \( F = \frac{9}{5}C + 32 \)。这是一个关于 \( C \) 的一次函数，系数 \( \frac{9}{5} > 0 \)，所以运算过程不等号方向不变。计算：\( \frac{9}{5} \times (-20) + 32 < F < \frac{9}{5} \times 5 + 32 \)，得到 \( -4 < F < 41 \)。所以华氏温度范围是高于 \( -4^{\circ}F \) 且低于 \( 41^{\circ}F \)。
3. 原计划：\( 10k \le 200 \)，即 \( k \le 20 \)。新计划：\( 8k' \le 200 \)，即 \( k' \le 25 \)。比较 \( k \) 和 \( k' \) 的上限，\( 25 > 20 \)，所以每天修路的长度上限提高了，即每天可以修得更快一些（\( k' \) 可以更大）。但注意，这是“不超过预算”下的最大能力，实际 \( k \) 可能变化，但变化后的 \( k' \) 必须满足 \( k' \le 25 \)。
4. \( |h - 150| \le 10 \) 等价于 \( -10 \le h - 150 \le 10 \)。再各边加上 \( 150 \)，得 \( 140 \le h \le 160 \)。即身高不低于 \( 140 \) 厘米且不超过 \( 160 \) 厘米。
5. 活动要求：\( p - c < 0 \)，即 \( p < c \)。如果成本 \( c \) 提高，为了保持 \( p < c \) 成立，售价 \( p \) 的上限（\( c \)）变大了，所以 \( p \) 可以维持不变，或者有更大的提价空间（但仍然要低于新的成本 \( c_{新} \)）。从数学上看，\( p \) 的取值范围 \( (-\infty, c) \) 随着 \( c \) 增大而向右移动。