毕克定理：格点面积 学习资料

知识要点

1. 💡 核心概念

格点，就像我们作业本上的方格顶点，是横线和竖线交叉形成的小点。

如果一个多边形的每个顶点都恰好落在这些格点上，它就是一个“格点多边形”。

毕克定理告诉我们，不用分割、不用拼补，只需要数一数图形内部的格点数和边上的格点数，就能快速算出这个格点多边形的面积。

2. 📝 计算法则

步骤一：数出图形内部的格点数量，记为 m。

步骤二：数出图形边界上的格点数量（顶点也算在内），记为 n。

步骤三：代入毕克公式计算面积 S（面积单位：每个小方格的面积是 1）。

\[ S = m + \frac{n}{2} - 1 \]

3. 🎯 记忆口诀

“内点一半边点减一，面积立刻现眼前。”

4. 🔗 知识关联

• 长方形、正方形面积计算：毕克定理是面积计算的一种特殊而巧妙的方法。

• 植树问题：数边界上的格点数时，类似于在封闭图形上“植树”，所有顶点都要算上。

易错点警示

❌ 错误1：数边界点时，只数了顶点，漏数了边中间的点。

→ ✅ 正解：边界点包括多边形每条边上所有落在格线上的点，顶点和边中间的点都要数。

❌ 错误2：计算时，忘记“减1”或把“n除以2”算错。

→ ✅ 正解：严格按公式顺序计算：先算 \( \frac{n}{2} \)，再加 m，最后减 1。可以用 \((2m + n - 2) \div 2\) 来避免分数运算。

❌ 错误3：把非格点多边形（顶点不在格点上）直接用毕克定理计算。

→ ✅ 正解：毕克定理只适用于顶点都在格点上的多边形。否则，需要先通过切割、平移转化为格点多边形，或用其他方法。

三例题精讲

🔥 例题1：求下图格点多边形的面积（每个小方格面积为1）。

m=?

n=?

📌 第一步：数内部格点数 m。图形内部有 4 个红色格点（已标出），所以 \( m = 4 \)。

📌 第二步：数边界格点数 n。图形的5个顶点都是格点，此外，底边（20,100）到（80,100）线段中间还有2个格点；斜边（80,100）到（100,60）中间有1个格点。总共 \( n = 5 + 2 + 1 = 8 \)。

📌 第三步：代入公式计算。

\[ S = m + \frac{n}{2} - 1 = 4 + \frac{8}{2} - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \]

✅ 答案：面积为 \( 7 \)。

💬 总结：按顺序“先内后边”，数清楚是关键，计算时细心。

🔥 例题2：一个格点三角形的内部格点数 \( m = 10 \)，边上格点数 \( n = 6 \)（包含顶点），求它的面积。

📌 第一步：明确已知量 \( m = 10 \)， \( n = 6 \)。

📌 第二步：直接代入毕克定理公式。

\[ S = 10 + \frac{6}{2} - 1 = 10 + 3 - 1 = 12 \]

✅ 答案：面积为 \( 12 \)。

💬 总结：已知格点数反求面积是直接应用，是最基础的题型。

🔥 例题3：下图是一个“空心”图形，外部大长方形内部挖去了一个小长方形（阴影部分），求阴影部分的面积。每个小方格面积为1。

📌 第一步：识别。阴影是空心部分，不能直接数它的 m 和 n。我们可以用“整体减空白”法。

📌 第二步：计算整体大长方形面积。大长方形边界点 \( n = (8+4)\times 2 = 24 \)? 等一下，我们用毕克定理验证：大长方形内部格点 \( m = 5 \times 3 = 15 \)，边界点 \( n = (7+5)\times 2 = 24 \)， 面积 \( S_{\text{大}} = 15 + 12 - 1 = 26 \)。

📌 第三步：计算中间空白小长方形面积。小长方形内部格点 \( m = 1 \times 1 = 1 \)，边界点 \( n = (2+2)\times 2 = 8 \)， 面积 \( S_{\text{小}} = 1 + 4 - 1 = 4 \)。

📌 第四步：相减得到阴影环状面积。

\[ S_{\text{阴影}} = S_{\text{大}} - S_{\text{小}} = 26 - 4 = 22 \]

✅ 答案：阴影部分面积为 \( 22 \)。

💬 总结：对于复杂或不规则的格点图形，可以尝试用“分割”、“填补”或“整体减部分”的思路，将问题转化为几个标准格点多边形的计算。

练习题（10道）

1. 一个格点多边形，内部有 3 个格点，边上有 10 个格点（含顶点），它的面积是多少？
2. 一个格点正方形，每条边上有3个格点（含两个顶点），这个正方形的面积是多少？
3. 数一数，下面这个梯形的内部格点数 m 和边界格点数 n 分别是多少？并计算面积。

4. 一个格点图形的面积是 15，内部格点数是 12，求它边界上的格点数 n。
5. 一个格点平行四边形的内部格点数 m = 8，边界格点数 n = 10，求它的面积。
6. 一个格点三角形，三个顶点分别在 (0,0), (4,0), (0,3) 的格点上，求它的面积。
7. 一个格点多边形，边上有 12 个格点，面积是 20，它内部至少有多少个格点？
8. 用毕克定理计算下面这个“L”形图形的面积。（提示：可看成一个长方形挖去一部分）

9. 两个完全一样的格点三角形拼成一个格点平行四边形。已知每个三角形内部有2个格点，边上有8个格点。这个平行四边形的面积是多少？
10. 一个格点正六边形（顶点在格点上），它内部有 4 个格点，边上有 12 个格点，它的面积是多少？

奥数挑战（10道）

1. 一个格点凸多边形内部有 100 个格点，边上有 20 个格点，求这个多边形的面积。
2. 已知一个格点多边形的面积是 28.5，它边界上的格点数是 15，求它内部的格点数。
3. 在 8×8 的方格纸中，画一个内部格点数恰好是边界格点数 2 倍的格点四边形，这个四边形的面积最大可能是多少？
4. 一个格点多边形，每条边（除顶点外）中间都恰好有 1 个格点。如果它有 10 条边，面积是 19，求它内部的格点数。
5. 格点正方形 ABCD，A(0,0), B(n,0), C(n,n), D(0,n)。当 n=10 时，正方形内部（不含边界）共有多少个格点？这些内部格点组成的最大凸多边形面积是多少？
6. 一个格点图形，它的边界由水平和竖直的线段组成，形状像一个“十”字（十字架形）。已知它内部有 5 个格点，边上有 24 个格点，求它的面积。
7. 证明：不存在内部格点数为 1，边界格点数为 5 的格点三角形。
8. 在一个由 100×100 的格点阵中，随机画一个顶点都在格点上的凸多边形，其内部格点数比边界格点数多 80，求这个多边形的面积。
9. 一个格点图形，剪去一个角（得到一个凹多边形）后，内部格点数减少了2，边界格点数增加了1。求原图形的面积变化了多少。
10. 迎春杯真题改编：在方格纸上，一个格点多边形的内部被挖去了三个互不重叠也不接触边界的格点小正方形（边长为1个格点单位）。已知原多边形内部有20个格点，边界有18个格点，求现在这个“带洞”图形的总面积。

生活应用（5道）

1. （航天） 工程师在卫星太阳能帆板的网格设计图上（可看作格点图）规划了一个多边形区域用于安装芯片。他数得区域内（含边界）有 48 个格点，区域内部有 30 个格点。若每个格点代表 \( 1\mathrm{cm}^2 \)，该芯片安装区域的面积是多少？
2. （高铁） 高铁车厢座位排列可视为格点。某旅行团预订的座位恰好构成一个格点多边形区域。导游数了数这个区域边界有 16 个座位，内部有 25 个座位。这个旅行团一共预订了多少个座位？
3. （AI与农业） 无人机用格点地图规划一块多边形农田的喷洒区域。AI识别出该区域内部有 150 个格点，边界上有 50 个格点。若每个格点代表 \( 10\mathrm{m}^2 \)，这块农田大约有多少亩？（1亩 ≈ \( 666.67\mathrm{m}^2 \)）
4. （环保） 环保志愿者在网格化管理的公园湖面（视为格点水面）上，标记出一片被污染的凸多边形区域。他们报告该区域内部有 12 个水质监测格点，边界上有 14 个监测格点。这片污染水域的面积占了多少个“网格单位”？
5. （网购与仓储） 仓库的智能货架是格子状的。一个异形包裹占用的储物格区域是一个格点多边形。仓库管理系统检测到该包裹投影区域内部有 8 个完整格子，边界经过 12 个格子的中心点。请问这个包裹至少占用了多少个储物格（面积）？