SAS边角边定理深度解析：为什么必须是夹角？附例题与易错点总结专项练习题库

💡 阿星精讲：SAS 原理

• 核心概念：嘿，同学！想象一下，三角形就像一个张开手臂的人。SAS就是在说，如果两个人，他们的两条手臂（S、S）一样长，并且手臂张开的角度（A）也一模一样，那么这两个人的“体型”（即三角形）就完全相等，可以完美重合！记住阿星的话：“两边和它们的夹角对应相等。注意：必须是夹角！” 夹角就像是连接两条手臂的那个“关节”，它决定了手臂的张开方向。如果你只知道两条边和一个不是它们夹角的角（比如“对角”），那就好比知道两条手臂的长度，却不知道他们是张开拥抱还是并拢站立，形状就可能千差万别！
• 计算秘籍：SAS本身是判定定理，不直接涉及复杂计算。它的核心应用在于通过已知两边及夹角相等，推导出其他对应边角相等，从而进行后续计算。判断流程如下：
  1. 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A'B'C'\) 中，寻找已知相等的两组边，例如 \(AB = A'B'\)， \(AC = A'C'\)。
  2. 关键一步：确认这两组边中间的角 \(\angle A\) 和 \(\angle A'\) 是否相等。即 \(\angle A = \angle A'\)。
  3. 若满足，则根据 SAS 定理，\(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\)。
  4. 由全等可得：\(\angle B = \angle B'\)， \(\angle C = \angle C'\)， \(BC = B'C'\)。
• 阿星口诀：“两边一夹角，相等就全等。夹角必夹住，位置要看准！”

📐 图形解析

下图展示了SAS全等判定的核心：两组相等的边（用相同数量的标记表示）必须“夹住”那个相等的角。

若 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = DE\)， \(\angle A = \angle D\)， \(AC = DF\)，则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到两边一角相等就直接用SAS。 → ✅ 正解：必须严格检查这个角是否是已知两条边的夹角。如果已知 \(AB=A'B'\)， \(BC=B'C'\) 和 \(\angle A = \angle A'\)，这里的 \(\angle A\) 并不是边 \(AB\) 和 \(BC\) 的夹角（它们的夹角是 \(\angle B\)），所以不能用SAS判定。
• ❌ 错误2：在书写全等符号“\(\cong\)”时，顶点顺序不对应。 → ✅ 正解：书写 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 时，必须保证 \(A\) 对应 \(D\)， \(B\) 对应 \(E\)， \(C\) 对应 \(F\)。根据SAS，相等的夹角 (\( \angle A\) 和 \(\angle D\)) 必须写在中间位置。顺序乱写会导致后续推导对应关系时出错。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知如图，\(AB=AC\)， \(AD\) 是 \(\angle BAC\) 的平分线。求证：\(\triangle ABD \cong \triangle ACD\)。
2. 直接写出判定依据：在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中， \(AB=DE=5cm\)， \(\angle B=\angle E=60^\circ\)， \(BC=EF=7cm\)， 则 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)， 依据是 ______。
3. 小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三块，他要去玻璃店配一块形状大小完全一样的玻璃，他应该带第 ____ 块去。
4. 判断题：有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等。 ( )
5. 如图，\(C\)是 \(AB\) 中点， \(AD=BE\)， \(\angle A=\angle B\)。求证：\(\angle D = \angle E\)。
6. 已知 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)， 且 \(\angle A = 52^\circ\)， \(\angle B = 31^\circ\)， \(ED = 10cm\)， 求 \(\angle F\) 的度数和 \(AB\) 的长度。
7. 如图，\(AE=CF\)， \(AD \parallel BC\)， \(AD=CB\)。求证：\(\triangle ADF \cong \triangle CBE\)。
8. 请补充条件，使结论成立：在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADC\) 中， 已知 \(AB=AD\)， \(AC=AC\)， 要使得 \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\)， 需要添加条件 ____________。
9. 已知等腰 \(\triangle ABC\) 中， \(AB=AC\)， \(D\) 为 \(BC\) 边中点。求证：\(AD \perp BC\)。
10. 如图，已知 \(AB=DE\)， \(\angle A = \angle D\)， 请你添加一个条件 ______， 使得 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) (使用SAS定理)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）如图，四边形 \(ABCD\) 中， \(AD \parallel BC\)， \(E\) 为 \(CD\) 中点，连接 \(AE\) 并延长交 \(BC\) 的延长线于点 \(F\)。若 \(AD=CF\)， 求证：\(AE=EF\)。
2. （探究题）在 \(\triangle ABC\) 中， \(\angle ABC=45^\circ\)， \(H\) 是高 \(AD\) 和 \(BE\) 的交点。求证：\(BH=AC\)。
3. （动点问题）已知 \(\triangle ABC\) 中， \(AB=AC=10cm\)， \(BC=8cm\)， 点 \(D\) 为 \(AB\) 中点。点 \(P\) 在线段 \(BC\) 上以 \(3cm/s\) 的速度由 \(B\) 向 \(C\) 运动，同时点 \(Q\) 在线段 \(CA\) 上由 \(C\) 向 \(A\) 运动。若某一时刻 \(\triangle BPD\) 与 \(\triangle CQP\) 全等，求点 \(Q\) 的运动速度。
4. （翻折问题）如图，将矩形 \(ABCD\) 沿 \(EF\) 折叠，使点 \(B\) 落在点 \(H\) 处，点 \(A\) 落在点 \(G\) 处，若 \(\angle BFE=55^\circ\)， 求 \(\angle AHE\) 的度数。
5. （旋转问题）如图， \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADE\) 都是等腰直角三角形， \(\angle BAC=\angle DAE=90^\circ\)， 点 \(B\)、\(C\)、\(D\) 在同一直线上。求证：\(BD=CE\)。
6. （阅读理解）定义：我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。如图，四边形 \(ABCD\) 是一个筝形，其中 \(AB=AD\)， \(CB=CD\)。请判断对角线 \(AC\) 与 \(BD\) 的位置关系，并证明你的结论。
7. （尺规作图）已知 \(\angle \alpha\) 和线段 \(a\)， \(b\)， 求作：\(\triangle ABC\)， 使得 \(\angle A = \angle \alpha\)， \(AB = a\)， \(AC = b\)。（保留作图痕迹，不写作法）你作图的依据是 ______ 定理。
8. （方程思想）已知 \(\triangle ABC\) 的周长为 \(18cm\)， \(AB=AC\)， \(AD\) 是 \(BC\) 边上的中线， \(\triangle ABD\) 与 \(\triangle ADC\) 的周长差为 \(2cm\)。求 \(AB\) 和 \(BC\) 的长。
9. （分类讨论）已知 \(\triangle ABC\) 中， \(AB=17\)， \(AC=10\)， \(BC\) 边上的高 \(AD=8\)， 求 \(BC\) 的长。
10. （新定义）若两个三角形的两条边和其中一条边上的高分别对应相等，则称这两个三角形为“等高边”三角形。请探究“等高边”三角形是否一定全等，并说明理由。

第三关：生活应用（5道）

1. （工程测量）如图，铁路工人要检查两条平行的铁轨是否等宽，他只用一把卡尺在轨道间交叉测量 \(AC\)、\(BD\)、\(AD\)、\(BC\) 的长度。若 \(AC=BD\) 且 \(AD=BC\)， 他就能判定铁轨等宽。请说明其中的数学原理。
2. （物理光学）一束光线从空气射入水中会发生折射。斯涅尔定律指出，入射角 \(\angle i\) 和折射角 \(\angle r\) 的正弦值之比等于光在两种介质中的速度比（常数）。在实验室，我们通过测量入射光线、法线、折射光线构成的三角形的一些边长和角，来验证这一定律。请设想一个利用全等三角形知识来精确设置和验证入射角、折射角相等的实验方案。
3. （建筑设计）屋顶的桁架结构常采用三角形以保证稳定性。如图，一个对称的屋顶桁架，其中 \(AB=AC\)， \(AD\) 是支撑柱。为了确保左右完全对称（即 \(BD=CD\)）， 工匠需要确保 \(\angle BAD = \angle CAD\)。请用SAS定理解释为什么这样就能保证 \(BD=CD\)。
4. （艺术创作）剪纸艺术中，将一张纸对折后剪出一个图形，展开后能得到一个轴对称图形。请解释：剪出的这个图形，沿着折线分开的两个部分，为什么是完全相同的？这隐含了哪个全等判定定理？（提示：对折使两部分重合）
5. （科技应用）无人机在自主巡线时，需要通过激光测距仪测量自己到两个已知坐标的铁塔（A和B）的距离。如果无人机同时测出自己到塔A的距离 \(d_1\)， 到塔B的距离 \(d_2\)， 以及 \(\angle APB\)（P为无人机位置）的度数，它就能通过计算唯一确定自己的位置坐标。请从几何角度（不涉及具体坐标计算）解释，为什么知道 \(d_1\)、\(d_2\) 和 \(\angle APB\) 就能唯一确定一个 \(\triangle APB\) 的形状和大小？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身 解析示例：

1. 解析：在 \(\triangle ABD\) 与 \(\triangle ACD\) 中， \(AB=AC\) (已知)， \(\angle BAD=\angle CAD\) (角平分线定义)， \(AD=AD\) (公共边)。根据SAS， \(\triangle ABD \cong \triangle ACD\)。
2. 解析：SAS。因为 \(\angle B\) 是边 \(AB\) 和 \(BC\) 的夹角， \(\angle E\) 是边 \(DE\) 和 \(EF\) 的夹角。
3. 解析：③。第③块保留了完整的两边（一边是原三角形的边，一边是破损边）及其夹角，符合SAS，能唯一确定原三角形。
4. 解析：错误。这就是“SSA”或“ASS”，不能作为全等判定依据。
5. 解析：由 \(C\) 是 \(AB\) 中点得 \(AC=BC\)。在 \(\triangle ACD\) 和 \(\triangle BCE\) 中， \(AD=BE\) (已知)， \(\angle A=\angle B\) (已知)， \(AC=BC\) (已证)。根据SAS， \(\triangle ACD \cong \triangle BCE\)， 故 \(\angle D = \angle E\) (全等三角形对应角相等)。
6. 解析：由 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)， 得 \(\angle D = \angle A = 52^\circ\)， \(\angle E = \angle B = 31^\circ\)， \(AB = DE = 10cm\)。在 \(\triangle DEF\) 中， \(\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E = 180^\circ - 52^\circ - 31^\circ = 97^\circ\)。
7. 解析：由 \(AE=CF\)， 两边同时减去 \(EF\)， 得 \(AF=CE\)。由 \(AD \parallel BC\)， 得 \(\angle A = \angle C\) (两直线平行，内错角相等)。在 \(\triangle ADF\) 和 \(\triangle CBE\) 中， \(AD=CB\) (已知)， \(\angle A = \angle C\) (已证)， \(AF=CE\) (已证)。根据SAS， \(\triangle ADF \cong \triangle CBE\)。
8. 解析：\(\angle BAC = \angle DAC\) 或 \(BC = DC\) (此时用SSS)。
9. 解析：由 \(AB=AC\)， \(BD=CD\)， \(AD=AD\)， 得 \(\triangle ABD \cong \triangle ACD\) (SSS)。故 \(\angle ADB = \angle ADC\)。又 \(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ\)， 所以 \(\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ\)， 即 \(AD \perp BC\)。
10. 解析：\(AC = DF\)。此时满足 \(AB=DE\)， \(\angle A=\angle D\)， \(AC=DF\)， 符合SAS。

（注：第二关、第三关题目难度较大，解析过程较长，此处为控制篇幅仅作示例性展示。实际教学中应提供完整详解。）