行程追及问题解题技巧：核心公式、易错题型与答案解析
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-19
💡 阿星精讲：追及问题：基本公式 原理
- 核心概念：想象一下，你（跑得快）正在偷偷接近你前方的一个朋友（跑得慢），想从背后给他一个惊喜（偷袭）！问题的核心就是：你俩都在动，但你更快。那么，你俩之间一开始就存在的距离，就是你的“偷袭距离”（路程差）。你比他快多少，就决定了你每秒钟能悄悄缩短多少距离（速度差）。偷袭成功（追上）的那一刻，就是你的位置和他完全相同的时候。所以，阿星的比喻就是：“背后偷袭” = “追及问题”。“每分钟追上的距离”就是你们俩的速度差。用这个速度差去“吃掉”一开始的距离，需要的时间自然就是：路程差 ÷ 速度差。
- 计算秘籍：
- 识别目标：明确谁追谁。通常跑得快的追跑得慢的，或者后出发的追先出发的。
- 计算“偷袭距离”：找出两人开始追及时的路程差。例如：A在B前方 \( 100 \) 米，或B先出发了 \( 2 \) 分钟。
- 计算“追击速度”：求出两者的速度差 \( \Delta v = v_1 - v_2 \) (\( v_1 \)是追击者速度，\( v_2 \)是被追者速度)。
- 发动“偷袭”：代入公式 \( t = \frac{s}{\Delta v} \)，其中 \( s \) 是路程差，\( \Delta v \) 是速度差，\( t \) 就是追及时间。
- 阿星口诀：偷袭看差速，距离除以它。两人同时到，公式记心下。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：计算速度差时，用慢速减快速，得到负数。 → ✅ 正解：速度差一定是追击者速度减去被追者速度，即 \( \Delta v = v_{追} - v_{被追} > 0 \)。它代表了单位时间能追上的距离。
- ❌ 错误2：路程差只看文字描述的“距离”，忽略了“提前出发”或“领先”所对应的不同运动状态。 → ✅ 正解：路程差 = 追击开始时，两人位置的差距。如果一人先出发 \( t_0 \) 分钟，那么路程差就是他的速度 \( v \times t_0 \)。
🔥 例题精讲
例题1：阿星在警察局前 \( 300 \) 米处以 \( 60 \) 米/分的速度逃跑，\( 1 \) 分钟后，警察以 \( 80 \) 米/分的速度从警察局出发追击。请问警察多久能追上阿星？
📌 解析：
- 找“偷袭距离”：警察出发时，阿星已跑 \( 1 \) 分钟，跑了 \( 60 \times 1 = 60 \) 米。加上原本的 \( 300 \) 米，总路程差 \( s = 60 + 300 = 360 \) 米。
- 算“追击速度”：警察更快，速度差 \( \Delta v = 80 - 60 = 20 \) 米/分。
- 算“偷袭时间”：\( t = \frac{s}{\Delta v} = \frac{360}{20} = 18 \) 分钟。
✅ 总结：“追击开始时”的路程差是关键，要计算先跑者这段时间产生的距离。
例题2：甲、乙二人在 \( 400 \) 米环形跑道上练习跑步，他们从同一地点同时同向出发。甲速度 \( 6 \) 米/秒，乙速度 \( 4 \) 米/秒。请问甲第一次追上乙需要多长时间？
📌 解析：
- 找“偷袭距离”：同地同时出发，第一次追上时，甲必须比乙多跑一圈。所以路程差 \( s = 400 \) 米。
- 算“追击速度”：速度差 \( \Delta v = 6 - 4 = 2 \) 米/秒。
- 算“偷袭时间”：\( t = \frac{s}{\Delta v} = \frac{400}{2} = 200 \) 秒。
✅ 总结：环形追及问题的核心“路程差”是多跑的圈数对应的长度，第一次追上通常是 \( 1 \) 圈。
例题3：两列火车相向而行。快车长 \( 200 \) 米，速度 \( 25 \) 米/秒；慢车长 \( 150 \) 米，速度 \( 15 \) 米/秒。两车车头相遇后，快车车尾完全超过慢车车头需要多少秒？
📌 解析：
- 理解“追及”本质：从“快车车尾与慢车车头平齐”开始（此时快车尾在慢车头后面），到“快车车尾与慢车车头再次平齐”（但快车已在慢车前面），这是一个快车尾追慢车头的过程。
- 找“偷袭距离”：要完成“完全超过”，快车尾需要比慢车头多走的距离恰好是快车自身的长度，即 \( s = 200 \) 米。
- 算“追击速度”：虽然两车相向，但快车尾和慢车头同向（因为都在向右运动，且快车更快）。所以速度差仍是 \( \Delta v = 25 - 15 = 10 \) 米/秒。
- 算“偷袭时间”：\( t = \frac{s}{\Delta v} = \frac{200}{10} = 20 \) 秒。
✅ 总结：火车过桥、超车问题常可转化为追及问题。关键是明确“追击点”（如车尾）和“路程差”（如车身长度）。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 小明每秒跑 \( 5 \) 米，小华在他前面 \( 30 \) 米处以每秒 \( 3 \) 米的速度同向奔跑。小明多久能追上小华？
- 甲、乙两人相距 \( 100 \) 千米。甲骑摩托车以 \( 50 \) 千米/时的速度去追以 \( 10 \) 千米/时步行的乙，需几小时？
- 哥哥和弟弟从家去学校，弟弟步行每分钟 \( 60 \) 米，先走 \( 5 \) 分钟。哥哥骑车每分钟 \( 180 \) 米，几分钟后追上弟弟？
- 一条环形跑道长 \( 300 \) 米，小张和小王从起点同向跑步。小张速度 \( 4 \) 米/秒，小王速度 \( 2.5 \) 米/秒。小张第一次追上小王时，小王跑了多少米？
- 敌舰在我舰前方 \( 12 \) 海里处以 \( 20 \) 节速度逃窜，我舰以 \( 30 \) 节速度追击，多少小时后追上？（1节=1海里/时）
- 一辆客车和一辆货车从A地到B地，客车比货车晚出发 \( 1 \) 小时。客车速度 \( 80 \) km/h，货车速度 \( 60 \) km/h。客车出发后几小时追上货车？
- 甲在乙东边 \( 400 \) 米，甲向西走，速度 \( 70 \) 米/分；乙向西走，速度 \( 50 \) 米/分。几分钟后甲追上乙？
- 一个通讯员骑摩托车追赶一支先行的队伍。队伍速度 \( 5 \) 千米/时，已出发 \( 2 \) 小时。通讯员速度 \( 25 \) 千米/时，多久追上？
- 在 \( 800 \) 米环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向跑步。甲 \( 260 \) 米/分，乙 \( 220 \) 米/分。甲第一次追上乙时，两人各跑了多少圈？
- 小偷偷了东西后以 \( 8 \) 米/秒的速度逃跑，\( 10 \) 秒后警察发现并以 \( 10 \) 米/秒的速度追击。警察多少秒后追上小偷？
二、奥数挑战
- 甲、乙从A地去B地，甲骑车每分行 \( 250 \) 米，乙步行每分 \( 90 \) 米。甲到达B地后立即返回，在离B地 \( 3.2 \) 千米处与乙相遇。求A、B两地距离。
- 在周长 \( 600 \) 米的圆形跑道上，兄妹俩同时同地同向出发。哥哥每分跑 \( 180 \) 米，妹妹每分跑 \( 120 \) 米。当哥哥第一次追上妹妹时，妹妹立即转身以原速反向跑，兄妹第二次相遇时，哥哥一共跑了多少米？
- 快、慢两车同时从A站开往B站。快车每小时比慢车多行 \( 12 \) 千米。快车行驶 \( 4.5 \) 小时到达B站后立即返回，在距B站 \( 31.5 \) 千米处与慢车相遇。求慢车速度。
- 甲、乙在 \( 400 \) 米环形跑道上竞走。乙每分钟走 \( 80 \) 米，甲的速度是乙的 \( 1.25 \) 倍。现在甲在乙后面 \( 100 \) 米，问多少分钟后甲可以追上乙？
- 一条猎犬追捕前方 \( 20 \) 米处的兔子。已知猎犬一步跑 \( 3 \) 米，兔子一步跑 \( 2 \) 米。但猎犬跑 \( 2 \) 步的时间兔子能跑 \( 3 \) 步。猎犬跑多少米才能追上兔子？
- 有甲、乙两人，甲在南北向公路上由南向北步行，乙在东西向公路上由西向东骑车。上午 \( 10 \) 点，甲、乙两人同时通过十字路口（相遇）。甲步行的速度是 \( 4 \) 千米/时，乙骑车的速度是甲速度的 \( 3 \) 倍。下午 \( 2 \) 点，两人能否再次相遇于十字路口？如果能，是几点？
- 一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地 \( 60 \) 千米处第一次相遇。然后两车继续前进，到达对方出发点后立即返回，途中距B地 \( 30 \) 千米处第二次相遇。求A、B两地距离。
- 甲、乙、丙三人在湖边散步。甲每分钟走 \( 60 \) 米，乙每分钟走 \( 50 \) 米，丙每分钟走 \( 40 \) 米。甲从A地，乙、丙从B地同时出发相向而行。甲与乙相遇后，过了 \( 2 \) 分钟又与丙相遇。求A、B两地距离。
- 时钟的时针和分针在 \( 3 \) 点整重合。经过多长时间，分针第一次超过时针 \( 30 \) 小格？（钟面共 \( 60 \) 小格）
- 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在距A地 \( 90 \) 千米处相遇。相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发点后立即返回，在距A地 \( 50 \) 千米处第二次相遇。求A、B两地的距离。
第三关：生活应用（5道）
- （AI训练） 两个AI模型同时开始处理一个数据集。模型A每秒处理 \( 120 \) 条数据，模型B每秒处理 \( 100 \) 条数据。模型B提前加载了 \( 5 \) 秒，所以先处理了 \( 500 \) 条数据。模型A开始处理后，多久能追平模型B已处理的总数据量？
- （航天） 空间站A在距地面 \( 400 \) 公里的圆形轨道上以每秒 \( 7.68 \) 公里运行。一艘货运飞船B从较低轨道（运行速度更快）加速变轨后，在同轨道上从后方以每秒 \( 7.70 \) 公里的速度追赶。如果两者初始距离（路程差）为 \( 1000 \) 公里，飞船B需要多少秒才能与空间站对接？（忽略轨道曲率微小差异）
- （网购秒杀） 某商品库存 \( 1000 \) 件，开售后用户A的网络延迟比用户B高 \( 0.5 \) 秒。A的提交速度为每秒 \( 10 \) 次请求，B的提交速度为每秒 \( 8 \) 次请求。假设请求都能成功，A能否在商品售罄前，在总提交件数上追平B？如果能，是在开售后大约几秒？
- （病毒传播） 在一个计算机网络中，病毒X以每天感染 \( 30 \) 台新设备的速度传播。\( 3 \) 天后，杀毒软件Y发布，并以每天清除 \( 50 \) 台已感染设备的速度工作（假设每天新感染数不变）。从杀软Y开始工作起，需要多少天才能将所有已感染的设备清除完毕？（初始感染为 \( 0 \)，从病毒出现开始计时）
- （项目进度） 程序员小张和小李共同开发一个模块。小张因故晚开工 \( 2 \) 天。小张平均每天能完成 \( 15 \) 个功能点，小李平均每天完成 \( 10 \) 个功能点。问小张开工几天后，两人完成的功能点总数会相等？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：追及问题：基本公式 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在两点。第一，想象力抽象：需要在脑海中构建动态过程，明确“追上的瞬间”意味着什么（路程关系：\( s_{追} = s_{被追} + s_{路程差} \)）。第二，公式套用僵化：只记得 \( t = s \div \Delta v \)，但面对复杂情境（如环形、火车过桥、先后出发）时，无法准确找出“路程差 \( s \)”。这需要把“阿星偷袭”的比喻场景化，问自己：偷袭开始那一刻，我和目标差多远？我每分钟能靠近他多少？
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：它是运动问题建模的基石。在初中，它会升华为一次函数图像的交点问题（两人的位置-时间图像，交点即追及点）。在高中，它是学习物理运动学（特别是匀变速直线运动中的追赶问题）的预演。其核心思想——通过建立等量关系（路程相等或路程差为定值）来列出方程，是解决更复杂应用题的通用思维。理解追及问题，本质是理解方程 \( v_1 t = v_2 t + s_0 \) 的由来。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有。严格按照以下三步走：
1. 画图标注：哪怕只是简单的线段图，标出两人起点、方向、已知距离和时间。
2. 明确三要素：
- 追击者速度 \( v_1 \)
- 被追者速度 \( v_2 \)
⚠️ 易错点警示
3. 代入核心公式：\( t = \frac{s_0}{v_1 - v_2} \)。
绝大多数基础追及问题都逃不出这个框架。遇到难题（如环形、多次相遇），也请先回到这三步思考。
参考答案与解析
第一关：基础热身
第二关 & 第三关 及 例题2、3 详细解析将另附文档，以保持本资料主结构清晰。 学生可先自行思考，如需详细解析可随时向阿星提问。