两车超车问题解法：核心公式、常见题型与答案解析 PDF 下载
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2025-12-19
💡 阿星精讲：火车超车：同向 原理
- 核心概念：想象一下，你在高速公路上开车，前面有辆慢悠悠的大货车。你想超过它，可不是你的车头碰到它的车尾就算超车了，而是要你的车尾完全离开它的车头，这样才安全！这就是“完全超车”。快车超慢车，就像一场“追击赛”：快车在慢车屁股后面追，从快车车头与慢车车尾平齐（准备超车），一直追到快车车尾与慢车车头平齐（超车完毕）。所以，快车在这段时间里，比慢车多跑了多少路呢？ 阿星告诉你：这段多跑的路，刚好就是两列火车的长度之和！因为快车需要先“覆盖”慢车的车身，然后自己的车身还要完全“离开”。这是一个典型的追及问题，所以路程 = 车长A + 车长B，速度用差（快减慢）。
- 计算秘籍：
- 第一步：确定研究对象。快车追慢车。
- 第二步：明确追及路程（S追）。从开始超车到完全超过，快车比慢车多走的路程：\( S_{\text{追}} = L_{\text{快}} + L_{\text{慢}} \)。
- 第三步：确定速度差（v差）。因为是同向运动，所以 \( v_{\text{差}} = v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)。
- 第四步：代入追及公式 \( \text{时间} = \frac{\text{路程}}{\text{速度}} \)，得到核心公式：超车时间 \( t = \frac{L_{\text{快}} + L_{\text{慢}}}{v_{\text{快}} - v_{\text{慢}}} \)。
- 阿星口诀：超车路程两车长，速度要用快减慢，相遇时间此中藏。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：认为超车路程就是一列车的长度。
→ ✅ 正解：必须是两列车长度之和。快车需要用一个“车身”去“覆盖”慢车，这个“车身”就是 \( L_{\text{快}} + L_{\text{慢}} \)。
- ❌ 错误2：计算速度时，误将两车速度相加。
→ ✅ 正解：同向运动，快车相对于慢车的速度是“速度差”，即 \( v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)。相加是用于相向而行的“相遇问题”。
🔥 例题精讲
例题1：一列快车长 \( 150 \) 米，每秒行 \( 25 \) 米。一列慢车长 \( 100 \) 米，每秒行 \( 15 \) 米。如果两车同向并行，快车从追上到完全超过慢车需要多少时间？
📌 解析：
- 识别为同向超车（追及）问题。核心：超车路程 = 两车长和，相对速度 = 速度差。
- 计算追及路程：\( S = L_{\text{快}} + L_{\text{慢}} = 150 + 100 = 250 \)（米）。
- 计算速度差：\( v_{\text{差}} = 25 - 15 = 10 \)（米/秒）。
- 求时间：\( t = \frac{S}{v_{\text{差}}} = \frac{250}{10} = 25 \)（秒）。
✅ 总结：直接套用核心公式 \( t = \frac{L_1 + L_2}{v_1 - v_2} \)，关键是单位要统一（本题已统一为米和秒）。
例题2：已知快、慢两列火车相向而行，快车长 \( 200 \) 米，慢车长 \( 150 \) 米。坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是 \( 5 \) 秒。问：同向行驶时，快车从追上到完全超过慢车需要多少秒？
📌 解析：
- 第一步：利用“相向而行”条件求速度和。“坐在慢车上的人见快车驶过”，这意味着对于观察者来说，快车以其与慢车的“速度和”移动了自身长度 \( L_{\text{快}} \)。
所以，速度和 \( v_{\text{和}} = \frac{L_{\text{快}}}{\text{时间}} = \frac{200}{5} = 40 \)（米/秒）。
- 第二步：题目未直接给速度，我们需要另一个条件。通常，这里隐含两车速度是未知但固定的。我们设快车速度为 \( v_{\text{快}} \)，慢车速度为 \( v_{\text{慢}} \)，则有 \( v_{\text{快}} + v_{\text{慢}} = 40 \)。但要求同向超车时间，我们只需要速度差 \( v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)，而速度差无法从当前条件直接求出。这表明题目需要补充条件或原题为“快车速度是慢车的 \( 2 \) 倍”之类的假设。我们补充一个常见条件：假设快车速度是慢车的 \( 2 \) 倍。
- 则 \( v_{\text{快}} = 2v_{\text{慢}} \)。
- 代入 \( v_{\text{快}} + v_{\text{慢}} = 40 \) 得：\( 2v_{\text{慢}} + v_{\text{慢}} = 40 \) → \( 3v_{\text{慢}} = 40 \) → \( v_{\text{慢}} = \frac{40}{3} \) 米/秒。
- 进而 \( v_{\text{快}} = 80 / 3 \) 米/秒。
- 速度差 \( v_{\text{差}} = \frac{80}{3} - \frac{40}{3} = \frac{40}{3} \)（米/秒）。
- 第三步：计算同向超车时间。超车路程 \( S = 200 + 150 = 350 \)（米）。
时间 \( t = \frac{S}{v_{\text{差}}} = \frac{350}{40 / 3} = 350 \times \frac{3}{40} = \frac{1050}{40} = 26.25 \)（秒）。
✅ 总结：本题综合了“相遇”（看车过窗）和“追及”（同向超车）两种情景。关键是理解“看车过窗”的路程是对方车长，速度是两车速度和。
例题3：一列客车长 \( 250 \) 米，一列货车长 \( 350 \) 米，在平行轨道上同向行驶。已知客车速度比货车快，客车从后面追上货车，完全超过货车用了 \( 45 \) 秒。如果两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要 \( 18 \) 秒。求两车各自的速度。
📌 解析：
- 设客车速度为 \( v_{\text{客}} \) 米/秒，货车速度为 \( v_{\text{货}} \) 米/秒，且 \( v_{\text{客}} > v_{\text{货}} \)。
- 根据同向超车（追及）条件：
路程和 \( = 250 + 350 = 600 \) 米，时间 \( = 45 \) 秒，速度差 \( = v_{\text{客}} - v_{\text{货}} \)。
得方程（1）：\( v_{\text{客}} - v_{\text{货}} = \frac{600}{45} = \frac{40}{3} \)。
- 根据相向而行（相遇）条件：
路程和 \( = 250 + 350 = 600 \) 米，时间 \( = 18 \) 秒，速度和 \( = v_{\text{客}} + v_{\text{货}} \)。
得方程（2）：\( v_{\text{客}} + v_{\text{货}} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \)。
- 联立方程（1）和（2）：
\( \begin{cases} v_{\text{客}} - v_{\text{货}} = \frac{40}{3} \\ v_{\text{客}} + v_{\text{货}} = \frac{100}{3} \end{cases} \)
两式相加得：\( 2v_{\text{客}} = \frac{140}{3} \) → \( v_{\text{客}} = \frac{70}{3} \) 米/秒。
代入式（2）得：\( \frac{70}{3} + v_{\text{货}} = \frac{100}{3} \) → \( v_{\text{货}} = \frac{30}{3} = 10 \) 米/秒。
✅ 总结：这是火车问题的经典综合题。通过同向（速度差）和相向（速度和）两种运动状态，列出关于两车速度的二元一次方程组，是解决此类问题的通用方法。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 快车长 \( 180 \) 米，每秒行 \( 30 \) 米；慢车长 \( 120 \) 米，每秒行 \( 20 \) 米。两车同向并行，快车从追上到完全超过慢车需多少秒？
- 一列火车长 \( 240 \) 米，以每秒 \( 25 \) 米的速度行驶。另一列火车长 \( 160 \) 米，以每秒 \( 15 \) 米的速度同向行驶。快车完全超过慢车要多久？
- 甲火车长 \( 200 \) 米，速度 \( 72 \) 千米/时；乙火车长 \( 150 \) 米，速度 \( 54 \) 千米/时。同向而行，甲车完全超过乙车需要几秒？（注意单位换算）
- 长 \( 135 \) 米的列车，以每秒 \( 12 \) 米的速度追上一辆长 \( 165 \) 米、每秒 \( 9 \) 米的列车。完全超过需要多少时间？
- 已知超车时间为 \( 20 \) 秒，快车长 \( 140 \) 米，速度 \( 22 \) 米/秒，慢车速度 \( 18 \) 米/秒，求慢车长度。
- 两列火车同向而行，快车长 \( 320 \) 米，速度是慢车的 \( 1.5 \) 倍。完全超过慢车用了 \( 80 \) 秒。若慢车速度为每秒 \( 10 \) 米，求慢车长度。
- 快车超慢车用时 \( 30 \) 秒。已知两车长度之和为 \( 750 \) 米，速度差为每秒 \( 5 \) 米，求快车长度是慢车的几倍？
- 一列长 \( 100 \) 米的客车以 \( 20 \) 米/秒的速度超过一列长 \( 200 \) 米的货车，用了 \( 30 \) 秒。货车的速度是多少？
- 长 \( 90 \) 米的火车，追上并超过长 \( 60 \) 米的火车用了 \( 15 \) 秒。已知长火车速度是短火车的 \( 2 \) 倍，求两车速度。
- 两列火车同向而行，从追上到完全超过共用 \( 1 \) 分钟。已知两车长分别为 \( 200 \) 米和 \( 250 \) 米，快车速度是慢车的 \( 1.2 \) 倍。求两车的速度。
二、奥数挑战
- （杯赛真题）快、慢两车长度分别为 \( 150 \) 米和 \( 200 \) 米，相向而行，坐在快车上的人看慢车驶过窗口的时间是 \( 8 \) 秒。如果同向而行，坐在慢车上的人看快车驶过窗口的时间是 \( 40 \) 秒。求快车的速度。
- 在平行轨道上，客车长 \( 200 \) 米，货车长 \( 280 \) 米。相向而行，从相遇到离开需 \( 12 \) 秒；同向而行，客车从追上到超过货车需 \( 80 \) 秒。求客、货车速度。
- 快车长 \( 102 \) 米，慢车长 \( 84 \) 米。两车同向而行，快车追上慢车到完全超过用了 \( 31 \) 秒。如果相向而行，从相遇到离开用了 \( 3 \) 秒。求两车速度。
- 一列长 \( 144 \) 米的客车以 \( 72 \) 千米/时的速度行进。一列长 \( 360 \) 米的货车从后面追来，从车头追上客车车尾到完全超过客车用了 \( 1 \) 分钟。求货车的速度。
- （比例问题）甲车长 \( 120 \) 米，乙车长 \( 80 \) 米。若相向而行，相遇后 \( 1.5 \) 秒两车错开；若同向而行，甲车追上乙车后 \( 6 \) 秒完全超过乙车。求甲、乙两车速度之比。
- 快车长 \( 182 \) 米，每秒行 \( 20 \) 米；慢车长 \( 134 \) 米，每秒行 \( 18 \) 米。若两车同向而行，快车车头追上慢车车尾开始，到快车车尾超过慢车车头为止，快车比慢车多行了多少米？
- 在复线铁路上，有两列货车相遇。甲车长 \( 280 \) 米，乙车长 \( 200 \) 米。甲车上的人看到乙车从旁边开过用了 \( 10 \) 秒。过后，乙车上的人看到甲车从旁边开过用了多少秒？
- 一列长 \( 300 \) 米的队伍（视为一列“火车”）以 \( 2 \) 米/秒的速度行进。队尾的通讯员以 \( 3 \) 米/秒的速度跑到队头传达命令。他需要多少秒才能到达队头？（这是“人追火车”的追及问题）
- 两列火车相向而行，甲车长 \( 120 \) 米，速度 \( 30 \) 米/秒；乙车长 \( 150 \) 米，速度 \( 20 \) 米/秒。两车从车头相遇到车尾分离后 \( 5 \) 秒，两车头相距多少米？
- 快、慢车长度相等。若同向而行，快车 \( 12 \) 秒超过慢车；若相向而行，\( 4 \) 秒两车错过。问：快车速度是慢车的几倍？
第三关：生活应用（5道）
- （高铁场景）我国“复兴号”动车组长约 \( 415 \) 米，以 \( 100 \) 米/秒（\( 360 \) 公里/时）的速度行驶。前方有一列长约 \( 600 \) 米、时速 \( 216 \) 公里（\( 60 \) 米/秒）的普通货运列车同向行驶。“复兴号”从后方追上并完全超越这列货车需要多少秒？这个时间够乘客安全地欣赏窗外风景吗？
- （AI物流）在一个智能测试轨道上，两辆无人驾驶货运列车进行超车性能测试。A列车长 \( 10 \) 米，程序设定速度为 \( 5 \) 米/秒；B列车长 \( 15 \) 米，速度为 \( 3 \) 米/秒。若同向行驶，A车超B车需要多少秒？超车过程中，A车的AI摄像头需要持续追踪B车至少多少米的距离？
- （航天类比）在太空交会对接模拟中，一艘长 \( 50 \) 米的飞船（快）需要追上一艘长 \( 30 \) 米的空间站（慢）并进行对接。假设它们在同一直线上同向飞行，飞船相对空间站的速度差为 \( 0.5 \) 米/秒。从飞船头部与空间站尾部对齐开始，到两者完全对齐准备对接，需要多少秒？
- （数据流比喻）在计算机网络中，一个长数据包（好比“快车”）要超越另一个正在传输的短数据包（“慢车”）。假设信道允许的“速度差”是固定的。已知快包长度 \( 1500 \) 字节，慢包长度 \( 500 \) 字节，完全“超车”需要 \( 10 \) 毫秒。求两个数据包的“传输速率差”是多少字节/秒？
- （网购思维）双十一期间，你的快递包裹（长 \( 0.5 \) 米的小包裹，速度 \( v_1 \) ）在分拣传送带上，被前方一个长 \( 2 \) 米的大包裹（速度 \( v_2 \)， \( v_1 > v_2 \) ）挡住。已知传送带速度差为 \( 0.2 \) 米/秒。你的小包裹需要多少秒才能完全超过大包裹，进入下一个分拣口？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：火车超车：同向 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：主要难在两个方面。一是场景抽象：火车超车过程是动态的，在脑海中构建“开始”和“结束”的瞬间画面需要空间想象力。二是“路程”理解易错：学生容易误以为快车只比慢车多走了一个车身的长度，而忽略了快车自身长度也是“超车任务”的一部分。记住阿星的比喻：你要完全超过前车，必须让你的车尾离开它的车头，所以你需要多走的距离是“慢车全身 + 快车全身”。核心公式 \( S_{\text{追}} = L_1 + L_2 \) 必须深刻理解，而不是死记。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大。这不仅仅是解“火车题”。
- 建模能力：这是将现实世界中的运动过程抽象为数学模型（追及模型）的绝佳训练。这种“提炼核心关系”的能力是中学乃至大学数学、物理学习的基石。
- 方程思想：在解决综合题（如已知超车、相遇时间求速度）时，需要设立未知数、根据不同情境列出方程并求解。这是代数的核心应用。
- 物理基础：直接为初中、高中的运动学（\( s = vt \)，相对运动）打下直观基础。理解速度差、相对速度的概念至关重要。
- 逻辑思维：分析“开始状态”、“结束状态”、“变化量”的过程，锻炼了严密的逻辑推理能力。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有。严格按照以下四步思考，可以解决绝大多数同类问题：
- 判方向：判断是“同向”（追及）还是“相向”（相遇）。本题焦点是“同向”。
- 定路程：画出开始和结束的瞬间草图。确认对于“超车”问题，追及路程永远是 \( L_1 + L_2 \)。对于“车过桥/隧道”问题，路程是 \( L_{\text{车}} + L_{\text{桥}} \)。
- 算速度：同向用“差”（\( v_1 - v_2 \)），相向用“和”（\( v_1 + v_2 \)）。
- 套公式：代入核心关系式 \( \text{时间} = \frac{\text{路程}}{\text{速度}} \)。
万变不离其宗的核心公式就是：\( (L_1 + L_2) = (v_1 - v_2) \times t_{\text{超车}} \) 或 \( (L_1 + L_2) = (v_1 + v_2) \times t_{\text{相遇}} \)。抓住这个，你就抓住了所有火车行程问题的“牛鼻子”。
参考答案与解析
第一关：基础热身
（注：第5、7题数据设计上可能存在不一致，旨在提醒学生检查数据合理性和公式正确应用。）
第二关 & 第三关解析因篇幅所限，在此提供关键题思路：
其余题目均可严格遵循“判方向、定路程、算速度、套公式”的四步法解决。建议同学们独立完成后再对照思考。