火车过人问题解题技巧详解：公式、例题与练习题下载 | 奥数行程问题
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：火车过人：静止人 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你站在路边，一列长长的火车从你面前呼啸而过。你感觉“嗖”的一下，火车头刚到你面前，到火车尾巴彻底离开你，是不是感觉时间很短？这就好比火车经过路边一棵没有粗细的树。你（或者那棵树）在故事里就是一个“点”，没有长度。那么，火车要完全通过你这个“点”，它需要走过的路程，其实就是它自己从头到尾的全长！是不是一下就明白了？
- 计算秘籍：
- 找路程：既然静止的“人”或“树”没有长度，火车完全通过它，路程就是火车的长度，即 \( S = L_{车} \)。
- 找速度：这个速度是火车相对于地面（静止参考系）的速度 \( v_{车} \)。
- 找时间：题目通常会给出火车完全通过人所用的时间 \( t \)。
- 列公式：利用“路程=速度×时间”，直接得到 \( L_{车} = v_{车} \times t \)。解这个方程就能求出未知量。
- 阿星口诀：人如树，是个点，路程只看车长短。速度乘时间，车长立显现！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：在计算路程时，误把人的“身高”或“宽度”也加进去。 → ✅ 正解：静止的人或物体被视为一个没有长度的“观察点”或“标记点”。火车完全通过这个点，只需要走完它自身的长度，即 \( S = L_{车} \)。
- ❌ 错误2：分不清“火车速度”和“相对速度”。 → ✅ 正解：当观察者是静止的时候，火车相对于观察者的速度，就等于火车相对于地面的实际速度。这个场景下不存在其他复杂的相对速度，直接用火车的速度 \( v \) 即可。
🔥 例题精讲
例题1：一列火车长 \( 240 \) 米，以 \( 20 \) 米/秒的速度行驶，它完全通过路边一个静止的观察者需要多少秒？
📌 解析：
- 路程 \( S = L_{车} = 240 \) 米。
- 速度 \( v = 20 \) 米/秒。
- 设时间为 \( t \) 秒，根据公式 \( S = v \times t \)： \( 240 = 20 \times t \)。
- 解得 \( t = 240 \div 20 = 12 \) 秒。
✅ 总结：直接应用核心公式 \( t = \frac{L_{车}}{v_{车}} \)，计算时单位要统一（米和秒）。
例题2：一列火车通过路边一个静止的交通灯用了 \( 8 \) 秒。已知火车速度为 \( 15 \) 米/秒，求火车的长度。
📌 解析：
- 交通灯是“静止的点”，所以路程 \( S = L_{车} \)（未知）。
- 速度 \( v = 15 \) 米/秒，时间 \( t = 8 \) 秒。
- 根据 \( L_{车} = v \times t \)： \( L_{车} = 15 \times 8 = 120 \) 米。
✅ 总结：反向应用公式，求长度。关键是理解“完全通过一个点”的含义。
例题3：一列长为 \( 180 \) 米的火车，完全通过路边静止的小明用了 \( 9 \) 秒。如果火车以同样的速度通过一座桥，用了 \( 21 \) 秒。请问桥长多少米？
📌 解析：
- 求速度：通过静止的人（点），用公式 \( v = \frac{L_{车}}{t_1} = \frac{180}{9} = 20 \) 米/秒。
- 分析过桥：火车过桥时，路程是“车长 + 桥长”，即 \( S_{桥} = L_{车} + L_{桥} \)。
- 过桥时间 \( t_2 = 21 \) 秒，所以 \( S_{桥} = v \times t_2 = 20 \times 21 = 420 \) 米。
- 求桥长：因为 \( S_{桥} = L_{车} + L_{桥} \)，所以 \( L_{桥} = S_{桥} - L_{车} = 420 - 180 = 240 \) 米。
✅ 总结：这是“静止人”模型与其他模型的结合。第一步利用“静止人”求出速度是关键突破口，然后再解决更复杂的过桥问题。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 火车长 \( 200 \) 米，以 \( 10 \) 米/秒速度行驶，完全通过路边一棵树需____秒。
- 火车经过静止的邮筒用 \( 6 \) 秒，速度为 \( 18 \) 米/秒，火车长____米。
- 火车长 \( 150 \) 米，完全通过静止的小红用了 \( 5 \) 秒，火车的速度是____米/秒。
- 火车速度为 \( 72 \) 千米/时，合____米/秒。若其通过路牌用时 \( 10 \) 秒，则车长____米。
- 甲乙两人静止站在铁路边，火车通过甲用了 \( 12 \) 秒，通过乙用了 \( 15 \) 秒，这说明什么？（提示：车长、速度不变）
- 一列长 \( 360 \) 米的火车，速度 \( 90 \) 千米/时，完全通过一个静止点需要____秒。
- 火车以恒定速度行驶，通过第一个路标（点）用 \( t_1 \) 秒，通过第二个路标用 \( t_2 \) 秒，这两个时间一定相等吗？为什么？
- 已知火车通过静止观察者需 \( T \) 秒，若车速提高一倍，则通过时间变为____秒。
- 车长 \( L \) 米，速度 \( v \) 米/秒，写出通过静止点所需时间 \( t \) 的公式。
- 判断题：火车完全通过静止的人，人走的距离是 \( 0 \)，火车走的距离是车长。（ ）
二、奥数挑战
- 一列火车通过路边静止的观察者A用时 \( 8 \) 秒，通过同样静止的观察者B用时 \( 9 \) 秒。已知火车长度不变，且A、B相距 \( 100 \) 米。求火车的速度和长度。
- 火车以恒定速度通过静止的小明。火车鸣笛，笛声从车头传到小明处再被小明听到，这个过程对计算“火车通过小明的时间”有无影响？为什么？
- 一列队伍（可视为一列“人形火车”）长 \( 100 \) 米，以 \( 1.5 \) 米/秒的速度经过站在队尾的教官（静止点），队伍全部通过教官需要多少秒？
- 两列同向行驶的火车，A车长 \( 200 \) 米，速度 \( 20 \) 米/秒，B车长 \( 150 \) 米，速度 \( 15 \) 米/秒。当A车车头追上静止在路边的小华时，B车车尾正好离开小华。求此时两列火车的车头相距多远？
- 火车通过静止点的时间为 \( t_1 \)。若火车长度减少 \( \frac{1}{n} \)，速度不变，则通过时间变为多少？
- 一列匀速行驶的火车，通过第一个静止观察者后，等间隔时间 \( T \) 后通过第二个静止观察者。已知火车长 \( L \)，求火车的速度。
- 在一条笔直轨道旁，等距离地站着许多静止的观众。火车经过每个观众所用的时间记录显示为一个等差数列。这可能吗？请说明理由。
- 一束激光从火车车尾射向车头（光速极快可视为瞬间到达），同时火车经过一个静止点。从火车完全通过该点的时间，能否求出激光在车厢内传播的时间？
- 火车通过静止点的时间，与火车自身的惯性参考系下测量的时间（固有时）是否相同？这涉及到什么物理概念？
- 设计一个实验，只用一块秒表和已知长度的参照物（如电线杆），估算一列经过的火车的速度。写出你的步骤和计算公式。
第三关：生活应用（5道）
- （AI视觉）一个道路监控AI需要判断一辆卡车的长度。已知摄像头固定，AI检测到卡车车头进入画面到车尾离开画面共 \( 3 \) 帧（每秒 \( 30 \) 帧）。卡车的GPS数据表明其速度为 \( 54 \) 千米/时。请帮AI计算出卡车的长度。
- （航天测速）地面观测站（静止点）测量一枚匀速飞行的火箭（将其视为一个“长杆”）完全掠过观测站上空的望远镜视野用时 \( 0.1 \) 秒。已知火箭长度 \( 60 \) 米，求火箭的飞行速度（米/秒）。
- （物流传输）快递分拣线上，一个包裹（视为“小火车”）以 \( 0.5 \) 米/秒的速度匀速通过一个固定的扫描枪（静止点）。扫描枪需要 \( 0.4 \) 秒才能完整读取包裹上的条形码。请问这个包裹在传送带行进方向上的长度至少是多少？
- （网络安全）一个数据包（类比为“火车”）正匀速通过防火墙（静止的检查点）。已知数据包的长度是 \( 1500 \) 字节，通过防火墙的“完全检查时间”是 \( 0.0001 \) 秒。求数据包的传输速率（字节/秒）。
- （高铁旅行）你坐在另一列静止的高铁车厢里，旁边轨道上有一列长 \( 400 \) 米的高铁以 \( 80 \) 米/秒的速度匀速驶过你的窗口。计算它从车头出现在你窗口一侧到车尾完全离开另一侧所用的时间。（提示：你就是那个“静止的观察者”）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：火车过人：静止人 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点通常不在于计算，而在于建立正确的物理图景。学生容易把“通过一个点”和“通过一段距离”（如隧道、桥梁）混淆。关键在于理解“静止的观察者”在运动问题中被理想化为一个没有大小的位置参考点。火车完全通过它，意味着火车头到达点和车尾离开点是同一个空间点，因此火车自身需要移动的距离就是其全长 \( L_{车} \)。一旦这个“点模型”建立起来，公式 \( L = v \times t \) 就非常直观了。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是运动学和建模思想的绝佳启蒙。1. 物理关联：它为学习速度、路程、时间的关系 \( s = vt \) 提供了经典应用场景。2. 数学建模：教你如何将实际问题（火车过人）抽象为数学模型（点与线的相对运动）。3. 基础铺垫：这是解决更复杂问题（如火车过桥 \( s = L_{车} + L_{桥} \) ）、相遇追及问题、乃至高中物理相对运动和参考系变换的基础。理解“相对于谁运动”是物理学的核心之一。4. 比例思想：在 \( L = v \times t \) 中，当 \( L \) 固定时， \( v \) 与 \( t \) 成反比，这渗透了函数与比例的思想。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！请严格遵循以下三步：
- 识别模型：看到“完全通过/经过一个静止的人/树/信号灯/点”，立刻在脑中画图：一个点，一条线段（火车）经过它。确定这是“静止点模型”。
- 锁定公式：立刻写下核心关系： \( \text{路程} = \text{车速} \times \text{时间} \)。其中， \( \text{路程} = \text{火车长度} \)。即 \( L_{车} = v_{车} \times t_{\text{通过}} \)。
- 统一单位，代入求解：确保速度单位（米/秒）与长度（米）、时间（秒）匹配。常用换算： \( 1 \) 千米/时 \( = \frac{1000}{3600} \) 米/秒 \( \approx 0.278 \) 米/秒。
记住阿星的口诀：“人如树，是个点，路程只看车长短”，就是这招套路的生动体现。
参考答案与解析
第一关：基础热身
二、奥数挑战
第三关：生活应用