环形跑道追及问题解题技巧：速度差与相遇次数详解 | 奥数行程专题
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：环形跑道：追及 原理
- 核心概念：想象一下，你和阿星在一个圆形的操场上跑步。阿星跑得快，你跑得慢。如果你们俩同向而跑，会发生什么呢？阿星会像“贪吃蛇”一样，一圈一圈地从后面“吃掉”你！阿星解释：每追上一次，快的人就比慢的人多跑了一整圈。 这个“一整圈”，就是你们俩比赛的“隐形赛道”——它只存在于你们的速度差之中。所以，我们研究的问题本质上就是：快的那个人，需要用多少时间，才能比慢的那个人“额外”多跑出这整整一圈（\( 1 \)个跑道周长）。
- 计算秘籍：
- 锁定公式核心：速度差 \( \times \) 追及时间 = 1圈周长。即：\((v_{\text{快}} - v_{\text{慢}}) \times t = C\)，其中 \( C \) 是环形跑道的周长。
- 明确题目所求：是求“第几次追上”？还是求“追上需要多长时间”？或是求“两人的速度”？
- 套用并转化：把题目中给出的条件，如速度、时间、周长等，代入核心公式进行求解。
- 小心“陷阱”：注意是否“同时同地同向”出发，如果不是，需要计算初始的距离差。
- 阿星口诀：环形追及同向奔，速度差乘时间等于圈周长。追上次数多几圈，画图分析心里亮。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：把“同向追及”和“反向相遇”的公式混淆。 → ✅ 正解：同向追及看速度差，公式是 \((v_1 - v_2) \times t = nC\)（\( n \)为追及次数）。反向相遇看速度和，公式是 \((v_1 + v_2) \times t = nC\)（\( n \)为相遇次数）。两者原理完全不同。
- ❌ 错误2：看到“第一次追上”就直接用 \( n=1 \)，忽略了起点不同的情况。 → ✅ 正解：若两人不同时同地出发，则“第一次追上”时，快者比慢者多跑的路程不一定正好是 \( 1C \)，而是“初始距离差”（如果是同方向落后）。需画图分析初始状态。
🔥 例题精讲
例题1：阿星和小明在一条周长为 \( 400 \) 米的环形跑道上跑步。阿星每秒跑 \( 6 \) 米，小明每秒跑 \( 4 \) 米。两人从同一地点同时同向出发。请问阿星第一次追上小明需要多长时间？
📌 解析：
- 理解“追上一次，多跑一圈”：阿星要比小明多跑 \( 400 \) 米才能追上。
- 计算速度差：\( v_{\text{差}} = v_{\text{星}} - v_{\text{明}} = 6 - 4 = 2 \) 米/秒。
- 代入核心公式：\( v_{\text{差}} \times t = C \) → \( 2 \times t = 400 \)。
- 求解：\( t = 400 \div 2 = 200 \) 秒。
✅ 总结：典型的“同时同地同向”基础题。直接抓住“速度差×时间=周长”即可秒杀。
例题2：在周长为 \( 300 \) 米的跑道上，甲、乙两人从同一地点出发。甲速度为 \( 5 \) 米/秒，乙速度为 \( 4.5 \) 米/秒。如果甲让乙先跑 \( 60 \) 米，再从后面同向去追乙。问甲出发后多久第一次追上乙？
📌 解析：
- 分析初始状态：乙已经领先 \( 60 \) 米。甲要追上乙，需要比乙多跑的路程是这 \( 60 \) 米，而不是一整圈 \( 300 \) 米。
- 理解“多跑的路程”：这里的追及路程差是 \( 60 \) 米。
- 计算速度差：\( v_{\text{差}} = 5 - 4.5 = 0.5 \) 米/秒。
- 代入追及公式（通用）：\( v_{\text{差}} \times t = \text{路程差} \) → \( 0.5 \times t = 60 \)。
- 求解：\( t = 60 \div 0.5 = 120 \) 秒。
✅ 总结：“环形追及”的公式本质是“速度差×时间=路程差”。在环形中，若同时同地，路程差=\( nC \)；若起点不同，路程差就是初始距离差。本题是后一种情况。
例题3：阿星和小亮在周长 \( 800 \) 米的环形跑道上，从同一地点反向出发。阿星速度是 \( 120 \) 米/分，小亮速度是 \( 80 \) 米/分。他们跑了 \( 10 \) 分钟后，改为同向而行。请问从改变方向开始算起，阿星第一次追上小亮需要几分钟？
📌 解析：
- 第一步：计算反向跑 \( 10 \) 分钟后的两人距离（沿跑道）。反向跑用“速度和”：\((120 + 80) \times 10 = 2000\) 米。
- 第二步：确定 \( 2000 \) 米在 \( 800 \) 米的环形跑道上相当于多少圈后的余数。\( 2000 \div 800 = 2 \cdots 400 \)。即两人反向跑开后，实际沿着跑道的间隔是 \( 400 \) 米。
- 第三步：此时改为同向跑。阿星要追上小亮，需要比小亮多跑的距离，就是这个间隔 \( 400 \) 米（因为阿星在后，小亮在前 \( 400 \) 米处同向跑）。
- 第四步：计算速度差：\( 120 - 80 = 40 \) 米/分。
- 第五步：代入公式：\( 40 \times t = 400 \)，解得 \( t = 10 \) 分钟。
✅ 总结：综合性题目。关键在于状态切换：先通过反向相遇模型确定两人的“初始位置差”，再切换到同向追及模型求解。核心永远是分析清楚“开始追的那一刻，快者需要比慢者多跑多少米”。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 一个圆形池塘周长为 \( 600 \) 米，甲、乙二人同时同地同向绕池而行。甲每分钟走 \( 80 \) 米，乙每分钟走 \( 70 \) 米。甲第一次追上乙需要多少分钟？
- 环形跑道周长 \( 500 \) 米，父子俩同时同地同向赛跑。父亲速度是儿子速度的 \( 1.5 \) 倍。儿子跑第三圈时，父亲第一次追上他。求儿子的速度。
- 在一个周长为 \( 400 \) 米的环形跑道上，小张和小李同向竞走。小张速度是 \( 100 \) 米/分，小李速度是 \( 60 \) 米/分。小张第一次追上小李时，小李走了多少米？
- 如果上题中，小张想在第 \( 2 \) 分钟整就追上小李，那么他的速度至少要提高到多少？(小李速度不变)
- 甲、乙在 \( 300 \) 米环形跑道上练习跑步。甲每秒跑 \( 5 \) 米，乙每秒跑 \( 4.5 \) 米。两人同时同地同向出发，多少秒后两人第一次相距 \( 60 \) 米？(提示：相距 \( 60 \) 米就是甲比乙多跑 \( 60 \) 米)
- 周长为 \( 800 \) 米的跑道，A、B两人从起点同向出发。\( 20 \) 分钟后A第一次追上B。已知A的速度是 \( 220 \) 米/分，求B的速度。
- 环形跑道一圈长 \( 450 \) 米。甲、乙两人从同一地点出发，如果同向而行，甲 \( 15 \) 分钟追上乙；如果反向而行，\( 3 \) 分钟两人相遇。求甲、乙各自的速度。
- 在周长为 \( 200 \) 米的圆形花坛边，小猫和小狗同向追逐。小猫跑一圈要 \( 40 \) 秒，小狗跑一圈要 \( 25 \) 秒。它们同时同地出发，小狗第一次追上小猫时，它比小猫多跑了多少米？
- 甲乙沿 \( 400 \) 米环形跑道跑步。甲跑一圈要 \( 80 \) 秒，乙跑一圈要 \( 100 \) 秒。若两人同时同地同向出发，\( 500 \) 秒内甲能追上乙几次？
- 第9题中，甲每次追上乙的地点是在起点吗？如果不是，请描述这个地点的特点。
二、奥数挑战
- 在 \( 400 \) 米环形跑道上，A、B两点相距 \( 100 \) 米（沿跑道较短弧）。甲从A点，乙从B点同时出发，按逆时针方向同向跑步。甲每秒跑 \( 8 \) 米，乙每秒跑 \( 5 \) 米。在跑道上每人跑 \( 100 \) 米需停留 \( 10 \) 秒。问：甲追上乙需要多少时间？
- 一个正六边形跑道，周长 \( 600 \) 米。甲在A点，乙在C点（AC为对角线，相距 \( 200 \) 米）同时同向出发。甲速 \( 50 \) 米/分，乙速 \( 40 \) 米/分。问甲第一次追上乙是在哪条边上？
- 环形跑道周长是 \( 1200 \) 米，甲乙两人从起点同时同向出发。甲每分钟跑 \( 250 \) 米，乙每分钟跑 \( 200 \) 米。甲每跑 \( 200 \) 米休息 \( 1 \) 分钟，乙每跑 \( 300 \) 米休息 \( 2 \) 分钟。甲第一次追上乙需要多少分钟？
- 甲乙二人在环形跑道上，两人同时同地同向出发。甲每跑 \( 9 \) 分钟休息 \( 1 \) 分钟，乙每跑 \( 7 \) 分钟休息 \( 2 \) 分钟。已知甲的速度是乙的 \( 1.5 \) 倍，且甲第一次追上乙时，两人都刚好结束一次休息。求环形跑道周长可能是多少米？（速度取整数米/分）
- 在一个环形跑道上，甲、乙、丙三人同时同地同向出发。甲的速度最快。甲第一次追上乙时，丙刚好跑完第三圈；甲第一次追上丙时，乙刚好跑完第五圈。已知乙的速度是丙的 \( 1.2 \) 倍。求三人的速度比。
第三关：生活应用（5道）
- 【AI训练】在一个分布式AI训练集群中，有两个数据处理进程A和B循环访问一个共享的环形内存缓冲区（容量 \( 1000 \) 个数据块）。A进程每秒处理 \( 120 \) 个块，B进程每秒处理 \( 80 \) 个块。它们从同一内存地址开始同步循环读取。为防止冲突，系统规定当A进程比B进程多访问一整圈时，需进行一次同步校准。请问运行多久后需要进行第一次同步校准？
- 【航天】两颗卫星在同一近地圆形轨道上同向运行。卫星A的轨道周期（绕地球一圈时间）为 \( 90 \) 分钟，卫星B的周期为 \( 95 \) 分钟。假设它们初始时刻在轨道的同一位置对齐，问多少小时后，卫星A会第一次“追上”（从后方最接近）卫星B？
- 【网购秒杀】一个电商平台的“限时抢购”活动页面，每 \( 60 \) 秒自动刷新一次库存（视为一个循环）。用户甲的网络延迟使他看到的页面总是比真实库存晚 \( 10 \) 秒，用户乙的网络延迟是晚 \( 25 \) 秒。如果他们同时在 \( 0 \) 秒开始试图抢购，且都依赖于自己看到页面的刷新来点击。从真实服务器时间看，甲的点击请求会“追上”乙的点击请求吗？如果会，大概在第几个刷新周期后？（假设他们手速极快，一看到刷新就点击）
- 【物流分拣】两条同向运行的环形分拣流水线，外圈周长 \( 120 \) 米，内圈周长 \( 100 \) 米。一个包裹在外圈起点，另一个在内圈起点同时启动。外圈速度 \( 2 \) 米/秒，内圈速度 \( 1.5 \) 米/秒。问：从外圈上方观察，外圈的包裹第一次与内圈的包裹“并排对齐”需要多少秒？
- 【金融量化】两个算法交易模型在分析同一支股票的价格循环波动（假设波动周期固定）。模型A预测一个周期为 \( 20 \) 天，模型B预测为 \( 22 \) 天。今天（第 \( 0 \) 天），两个模型同时发出了“买入”信号。假设它们的预测规律持续，多少天后，两个模型会再次在同一天发出“买入”信号？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：环形跑道：追及 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：主要困难在于抽象化和状态分析。环形追及问题将直观的直线运动“弯曲”成了一个圈，破坏了我们对起点和终点的固有认知。学生容易纠结“他们到底跑了多少圈”，而忽略了阿星强调的本质：“多跑一整圈”才是关键。这意味着我们要关注的是相对运动和路程差，而不是每个人各自的绝对路程。用公式表示，就是要把注意力从 \( v_1 t \) 和 \( v_2 t \) 本身，转移到它们的差 \((v_1 - v_2)t\) 是否等于 \( nC\) 这个条件上。理解了这个相对性，就破解了难题的核心。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：环形追及问题是动态数学建模的绝佳启蒙。它帮助你：
- 理解相对运动：这是物理学的重要思想，在速度合成、参考系变换中广泛应用。
- 掌握模运算（取余数）思想：当计算“跑了几圈又多少米”时，你其实在进行 \( \text{总路程} \mod \text{周长} \) 的运算，这是计算机科学和数论的基础。
- 建立方程思想：问题最终归结为解方程 \((v_1 - v_2)t = kC\) 或更复杂的形式。这训练了你将文字描述转化为数学等式的核心能力。
- 衔接周期函数：两个人的位置随时间变化，可以看作是周期函数的叠加。追及时刻就是两个周期函数相位对齐的时刻，这为高中三角函数的学习埋下了伏笔。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！可以遵循以下标准化流程：
- 判方向：首先判断是同向还是反向。本题库主要研究同向。
- 画起点：在脑中或纸上画一个圆，标出两人起点。确认是否“同时同地”。
- 找“路差”：这是最关键一步！问自己：快者要追上慢者，需要比慢者多跑多少米？这个路程差 \( S_{\text{差}} \) 可能是 \( 1C, 2C, \ldots \)，也可能是不到一圈的某个初始距离。
- 列方程：根据核心关系：\( (v_{\text{快}} - v_{\text{慢}}) \times t = S_{\text{差}} \)。
- 解算验证：解方程，并思考答案是否合理（比如时间是否为正数）。
记住这个流程，并深刻理解“路程差”的求法，你就能解决绝大多数环形追及问题。
参考答案与解析
第一关：基础热身
第二关 & 第三关解析（因篇幅所限，提供关键思路）
第二关：
第三关：