环形跑道相遇问题公式详解：同向反向追及与相遇解题技巧（附PDF下载）
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：环形跑道：相遇 原理
- 核心概念：想象一下，你和你的好朋友在一个巨大的甜甜圈（环形跑道）上玩一个游戏：你们背对着背，一个往东，一个往西，同时起跑。神奇的事情来了——无论你们俩跑得快还是慢，从你们第一次面对面击掌（相遇）开始算，到下一次击掌为止，你跑的路程加上他跑的路程，刚好就是整个甜甜圈的一圈长度！ 阿星说：这就像你们俩合伙“拼单”完成了一圈。每相遇一次，就“拼单”成功一次，合起来的总路程永远等于一圈的周长。
- 计算秘籍：
- 确认“合伙人”：明确是两个人（或物体）在环形跑道上背向（反向）跑步。
- 找到“拼单速度”：将两人的速度相加，得到“速度和”，即他们合作“吃掉”一圈长度的效率。设甲速为 \( v_1 \)，乙速为 \( v_2 \)，则速度和为 \( v_1 + v_2 \)。
- 建立“拼单”等式：相遇一次，合作完成一圈。相遇 \( n \) 次，就合作完成了 \( n \) 圈。
核心公式：\( (v_1 + v_2) \times t = n \times C \)。
其中，\( t \) 是共同跑步的时间，\( C \) 是跑道周长，\( n \) 是相遇次数。
- 求解未知数：根据题目给出的已知条件，代入公式求解。
- 阿星口诀：背向跑，相遇妙，一次一圈要记牢。速度和乘时间，等于圈数乘周长。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：混淆“背向”与“同向”。 看到“相遇”就盲目套用公式。 → ✅ 正解：务必先判断方向！ 背向跑，是“速度和”乘时间等于圈数乘周长 (\( (v_1 + v_2)t = nC \))。同向跑（追及），是“速度差”乘时间等于圈数乘周长 (\( |v_1 - v_2|t = nC \))。方向不同，公式完全不同！
- ❌ 错误2：忽略“起点”位置。 认为两人从同一点同时背向出发，第一次相遇就是合跑一圈。 → ✅ 正解：“从出发到第一次相遇”合跑一圈 这个结论，仅当两人从环形跑道上的同一点同时背向出发时才成立。如果起点不同，第一次相遇合跑的路程就不足一圈。审题时要特别注意起点描述。
🔥 例题精讲
例题1：小明和小红在一条周长为 \( 400 \) 米的环形跑道上练习跑步。他们从同一地点同时出发，反向（背向）而跑。小明的速度是 \( 5 \) 米/秒，小红的速度是 \( 3 \) 米/秒。请问他们第一次相遇需要多少秒？
📌 解析：
- 第1步：确认是“背向相遇”问题。他们合作“拼单”跑圈。
- 第2步：找到“拼单速度”（速度和）：\( v_{\text{和}} = 5 + 3 = 8 \) (米/秒)。
- 第3步：第一次相遇，即合作完成 \( 1 \) 圈 (\( 400 \) 米)。设时间为 \( t \) 秒。
根据公式：\( v_{\text{和}} \times t = 1 \times C \)。
- 第4步：代入求解：\( 8 \times t = 400 \) → \( t = 400 \div 8 = 50 \) (秒)。
✅ 总结：经典的背向相遇起手题。牢牢抓住“速度和 × 时间 = 一圈周长”这个核心关系。
例题2：在周长为 \( 300 \) 米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点背向跑步。甲的速度为 \( 4 \) 米/秒，乙的速度为 \( 6 \) 米/秒。如果乙比甲提前 \( 10 \) 秒出发，那么甲出发后多久，两人第一次相遇？
📌 解析：
- 第1步：还是“背向相遇”，但出发时间不同。可以理解为乙先“单干”了一段时间。
- 第2步：设甲出发后 \( t \) 秒相遇。则乙总共跑了 \( (t + 10) \) 秒。
- 第3步：相遇时，两人合跑的路程是一圈。即：甲的路程 + 乙的路程 = \( C \)。
列出方程：\( 4t + 6 \times (t + 10) = 300 \)。
- 第4步：解方程：\( 4t + 6t + 60 = 300 \) → \( 10t = 240 \) → \( t = 24 \) (秒)。
✅ 总结：当出发时间不同时，核心思想不变——“相遇时路程和等于圈长”，但需要根据各自的时间准确表示路程。
例题3：一个环形跑道周长是 \( 500 \) 米。A、B两点在跑道上相距 \( 100 \) 米（指沿跑道较短的一段弧）。王叔叔和李阿姨分别从A、B两点同时出发，反向跑步。王叔叔每秒跑 \( 7 \) 米，李阿姨每秒跑 \( 3 \) 米。两人从出发到第一次相遇用了多长时间？
📌 解析：
- 第1步：关键信息：起点不同（A、B两点），反向跑。
- 第2步：由于反向跑，他们第一次相遇时，合跑的总路程是多少？不是一整圈 \( 500 \) 米！因为他们起点之间已经有 \( 100 \) 米的“缺口”了，他们只需要共同跑完这中间的 \( 100 \) 米就能相遇。
- 第3步：设相遇时间为 \( t \) 秒。根据“路程和等于初始间隔”：
\( 7t + 3t = 100 \)
- 第4步：解得：\( 10t = 100 \) → \( t = 10 \) (秒)。
✅ 总结：起点不同时，第一次相遇合跑的路程等于他们出发时的“间隔距离”，而不是跑道周长。这是最容易出错的地方，务必仔细读题！
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 一个环形跑道长 \( 240 \) 米，小明和小华从同一地点反向跑步，小明速度 \( 4 \) 米/秒，小华速度 \( 2 \) 米/秒。他们第一次相遇需要几秒？
- 一个环形花坛周长 \( 150 \) 米，甲、乙从同一点背向散步，甲速 \( 1 \) 米/秒，乙速 \( 0.5 \) 米/秒。他们第 \( 3 \) 次相遇时，一共走了多少米？
- 在一个周长为 \( 800 \) 米的环形广场上，小张和小王反向跑步，速度和是 \( 10 \) 米/秒。他们每间隔多少秒会相遇一次？
- 一个圆形池塘周长 \( 1800 \) 米，哥哥和弟弟骑双人自行车反向绕行（算作一个整体，速度为 \( 6 \) 米/秒），爸爸妈妈反向步行（爸爸 \( 2 \) 米/秒，妈妈 \( 1 \) 米/秒）。自行车和爸爸妈妈同时同地反向出发，他们第一次相遇时，爸爸妈妈走了多久？
- 已知环形跑道周长 \( 360 \) 米，甲乙反向跑，\( 30 \) 秒后第一次相遇。如果甲的速度是乙的 \( 2 \) 倍，求两人的速度。
- 环形跑道一周长 \( 600 \) 米，甲每秒跑 \( 8 \) 米，乙每秒跑 \( 7 \) 米。两人从同一地点反向起跑，相遇后继续跑。问：\( 5 \) 分钟内他们一共相遇多少次？
- 从同一地点出发，如果你向东，我向西，绕着一个圆形花园走，花园一圈 \( 200 \) 米。我的速度是你的 \( \frac{2}{3} \)，相遇时我走了多少米？
- 一个环形赛道长 \( 2 \) 千米，两辆赛车从同一点反向发车，A车速度 \( 200 \) 千米/时，B车速度 \( 180 \) 千米/时。相遇点距离发车点多远？（计算A车走的路程）
- 在一个周长 \( 90 \) 米的环形台面上，两个玩具机器人从同一点反向移动，速度分别是 \( 5 \) cm/s 和 \( 4 \) cm/s。多少分钟后它们第一次相遇？（注意单位）
- 甲乙绕环形湖反向跑步，湖周长 \( 1.5 \) 公里。甲 \( 6 \) 分钟跑一圈，乙 \( 9 \) 分钟跑一圈。他们同时同地出发，多少分钟后第一次相遇？
二、奥数挑战
- 在 \( 400 \) 米环形跑道上，A、B两点相距 \( 100 \) 米（短弧）。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲速 \( 5 \) 米/秒，乙速 \( 4 \) 米/秒。问：甲追上乙需要多少时间？如果他们反向跑呢？（本题包含追及和相遇）
- 环形跑道周长 \( 500 \) 米，甲乙丙三人从同一点同时出发，甲乙反向跑步，丙与甲同向跑步。甲速 \( 6 \) 米/秒，乙速 \( 4 \) 米/秒，丙速 \( 5 \) 米/秒。当甲和乙第一次相遇时，丙跑了多少米？
- 甲、乙在周长为 \( 300 \) 米的环形跑道上背向跑步。甲第一次遇到乙时跑了 \( 180 \) 米，之后每分钟甲提速 \( 10 \) 米，乙不变。问：甲第二次遇到乙时，甲一共跑了多少米？
- 一个环形电车轨道，周长 \( 3 \) 千米。有兩輛電車從同一車站背向开出，每隔 \( 8 \) 分钟相遇一次。如果其中一辆车速提高原来的 \( 25\% \)，那么相遇间隔将缩短为 \( 6 \) 分钟。求原来两辆车的速度（米/分）。
- 如图，一个“8”字形环形轨道由两个同样大小的圆组成，每个圆周长 \( 200 \) 米，两圆在P点相切。小明和小红同时从P点出发，分别沿着两个圆反向跑步（小明走上圆，小红走下圆）。小明速度 \( 7 \) 米/秒，小红速度 \( 5 \) 米/秒。他们第一次在P点再次相遇时，小红跑了多少米？
- 在一个巨大的环形轨道上，有甲、乙、丙三人。甲、乙从同一点反向出发，甲速 \( 80 \) 米/分，乙速 \( 60 \) 米/分。丙在甲出发 \( 5 \) 分钟后从同一点与甲同向出发。已知丙出发后 \( 20 \) 分钟同时遇到了甲和乙（不是同一时间点）。求环形跑道的周长和丙的速度。
- 环形跑道长 \( 800 \) 米。甲乙二人同时同地背向出发，第一次相遇后，甲立即转身与乙同向而跑，再次遇到乙时，乙恰好跑完一圈。已知甲的速度始终是 \( 150 \) 米/分，求乙的速度。
- 甲、乙沿一个周长 \( 1200 \) 米的环形滑冰场滑冰。甲先出发 \( 2 \) 分钟后，乙从同一地点反向出发。两人相遇后，乙立即转身以原速追甲，从相遇点到乙追上甲正好用了 \( 24 \) 分钟。求甲的速度。
- 一个正六边形跑道，边长 \( 100 \) 米。甲从A顶点，乙从对面的D顶点同时出发，都按顺时针方向沿跑道跑步。甲速 \( 10 \) 米/秒，乙速 \( 8 \) 米/秒。问：甲、乙第一次在一条边上（不是顶点）并行（即相遇）时，是在出发后多少秒？
- 在一个环形公路上，A、B、C三个加油站等距分布。一辆摩托车和一辆汽车同时从A站反向出发，摩托车绕一圈需 \( 6 \) 分钟，汽车绕一圈需 \( 10 \) 分钟。请问，摩托车第一次到达C站时，汽车在哪个位置（相对于A、B、C站）？
第三关：生活应用（5道）
- （AI 巡逻） 一个数据中心呈环形走廊布局，周长 \( 1 \) 公里。两个AI巡检机器人“Alpha”和“Beta”从同一个服务器机柜出发，背向沿着走廊巡逻。Alpha的巡检速度是 \( 1.2 \) 米/秒，Beta是 \( 0.8 \) 米/秒。它们每次相遇时会交换一次巡检数据包。为了保证数据实时性，系统要求它们至少每 \( 5 \) 分钟交换一次数据。目前的设置能满足要求吗？如果不能，至少需要将哪个机器人的速度提升到多少？
- （航天交会） 国际空间站（ISS）的运行轨道近似为圆形，绕地球一圈约 \( 90 \) 分钟。一艘“联盟号”飞船从ISS出发，进入一个更低、更快的轨道进行科学实验，此轨道周期为 \( 85 \) 分钟。假设实验结束后，飞船在ISS正后方（同一轨道面）启动发动机，瞬间进入一个与ISS轨道共面但反向的轨道（逆行轨道）。请问，从变轨完成那一刻算起，飞船和ISS第一次最接近（视为“相遇”）需要多少分钟？（提示：在反向轨道上，可类比为背向运动）
- （物流环路） 一个大型自动化仓库的环形分拣带总长 \( 600 \) 米，以恒定速度 \( 1 \) 米/秒顺时针运行。两个智能分拣机器人A和B被投放到分拣带上的同一位置。A机器人立即以相对于地面 \( 2 \) 米/秒的速度顺时针移动，B机器人则以相对于地面 \( 1.5 \) 米/秒的速度逆时针移动。请问，从投放开始，到两个机器人第一次隔着分拣带“面对面”（即位置相对于分拣带对称），需要多少秒？
- （基因测序） 在环形DNA分子的两条互补链上，两个解旋酶蛋白分别从同一位点出发，背向（一个沿 \( 5’->3’ \) 方向，一个沿 \( 3’->5’ \) 方向）解开双螺旋。已知该DNA分子环长 \( 5000 \) 个碱基对，酶A的解旋速度是 \( 100 \) 个碱基对/秒，酶B是 \( 150 \) 个碱基对/秒。当它们第一次相遇时，已经解开了多少碱基对？此时，酶A解开了多少碱基对？
- （智能手表游戏） 你和朋友的智能手表上有一个“虚拟同心圆”对战游戏。屏幕上有一个环形赛道（内圆半径 \( r \)，外圆半径 \( R \)，环形宽度 \( R-r \) 可忽略，赛道周长视为 \( 2\pi R \)）。你们的光标从同一起点背向出发，你的光标每秒绕圆心转 \( 30 \) 度，朋友的光标每秒转 \( 45 \) 度。请问，当你们的光标第一次在屏幕上“相撞”（即相遇）时，你的光标转过了多少度？如果 \( R = 5 \) 厘米，你的光标走过的“虚拟路程”是多少厘米？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：环形跑道：相遇 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要在于模型的抽象和转化。学生容易把“背向相遇”和“同向追及”搞混，因为题目场景都是“跑步”、“相遇”。更深层的原因是，未能理解“相遇一次，合走一圈”的本质是相对运动。在背向情况下，以其中一个人为参照物，另一个人就是以“速度和”在靠近他，而这个靠近的距离正好是一圈的长度 \( C \)。把问题转化为“一个人静止，另一个人以 \( v_1+v_2 \) 的速度跑过来”，思维就清晰了。公式 \( (v_1+v_2)t = C \) 就是这个相对运动模型的数学表达。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：环形相遇问题是运动学模型和方程思想的绝佳训练场。
- 为物理奠基：它直接关联物理学中的相对速度、圆周运动概念。理解这里的“速度和”，对将来学习速度矢量合成至关重要。
- 强化建模能力：它将一个动态的、循环的过程，抽象成一个静态的等量关系（路程和=圈长×圈数）。这是数学建模的雏形。
- 衔接更复杂问题：它是解决多次相遇、变速运动、环形追及等复杂问题的基础。比如，所有复杂的环形行程问题，都可以拆解成若干个基本的“相遇”或“追及”单元来分析。
- 培养逻辑思维：通过分析起点、方向、时间差等因素对“相遇”条件的影响，极大地锻炼了严谨的逻辑推理和分类讨论能力。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！可以遵循以下四步黄金法则：
- 判方向：首先判断是“背向”还是“同向”。背向用“速度和”，同向用“速度差”。这是最关键的一步！
- 定路程：确定从开始到目标状态（如第 \( n \) 次相遇），两人合起来（背向）或差出来（同向）的总路程是多少。对于背向相遇，核心就是：合走路程 = 相遇次数 × 周长。如果起点不同，第一次相遇的“合走路程”等于初始间隔。
- 列方程：根据“路程 = 速度 × 时间”的基本关系，将第2步确定的总路程用两人的速度和时间表示出来。例如背向：\( (v_1 + v_2) \times t = nC \)。
- 解方程：求解未知数。
只要严格按这四步走，并注意单位统一，绝大多数环形跑道问题都能迎刃而解。记住，“背向而跑，相遇一次，合跑一圈”就是你们最强大的思维武器！
参考答案与解析
第一关：基础热身
（第二关、第三关答案及详细解析因篇幅所限，请同学们独立完成后，可向老师或阿星提问核对思路。）