知识要点

💡 核心概念

乘法分配律反向提取，是乘法分配律的灵活逆运用。我们可以把它想象成“打包”或“合并同类项”。

比如，你买了3个苹果和2个苹果，一共是 \( (3+2) \) 个苹果。在乘法里，如果你先算 \( 25 \times 3 \)，再算 \( 25 \times 2 \)，然后把它们加起来，就相当于你算了两次“25”。我们可以把这两个算式中共同的“25”找出来，只算一次，然后把3和2“打包”加起来，最后再和25相乘，即 \( 25 \times (3+2) \)。这样计算常常更简便。

📝 计算法则

当遇到“几个乘法算式相加减，并且这些乘法算式中有一个相同的因数”时，可以这样做：

1. 找相同：找出几个乘法算式中那个相同的因数。
2. 写剩余：把这个相同的因数只写一次，乘上一个大括号。在大括号里，把原来每个乘法算式中剩下的那个因数用加号（或减号）连接起来。
3. 先求和，再相乘：先计算括号里的加法（或减法），最后再和外面相同的那个因数相乘。

用字母表示：\( a \times c + b \times c = (a + b) \times c \)；\( a \times c - b \times c = (a - b) \times c \)。

🎯 记忆口诀

同因数，提出来，剩数相加括号埋，先算括号再相乘，计算简便速度快。

🔗 知识关联

• 乘法分配律（正向）：\( (a+b) \times c = a \times c + b \times c \)。反向提取是它的逆过程。
• 乘法意义：理解 \( c \times a \) 表示a个c相加，是理解提取c的基础。
• 后续学习：这是初中代数“提取公因式”的雏形，也是学习小数、分数简便运算的重要工具。

易错点警示

❌ 错误1：找不全相同的因数。

例：计算 \( 24 + 36 \)，错误地认为没有相同因数。

→ ✅ 正解：观察 \( 24 = 12 \times 2 \)，\( 36 = 12 \times 3 \)，可以转化为 \( 12 \times 2 + 12 \times 3 = 12 \times (2+3) = 12 \times 5 = 60 \) 。

❌ 错误2：提取后，括号内的符号处理错误。

例：\( 25 \times 40 - 25 \times 4 = 25 \times (40 - 4) \) ✅，但学生易写成 \( 25 \times (40 + 4) \) ❌。

→ ✅ 正解：提取相同的因数后，原来算式里是减号，括号里就应该是减号；原来是加号，括号里就是加号。

❌ 错误3：只提取了一半，计算顺序错误。

例：\( 16 \times 5 + 4 \times 5 \) 错误计算为 \( 16 \times (5+4) \times 5 \) ❌。

→ ✅ 正解：找到相同的因数是5，正确提取为 \( (16+4) \times 5 \)。相同的因数只写一次，放在括号外面。

三例题精讲

🔥 例题1：简便计算 \( 25 \times 17 + 25 \times 13 \)

📌 第一步：观察。两个乘法算式相加，每个算式中都有因数 \( 25 \)。

📌 第二步：提取。将相同的因数 \( 25 \) 提出来，乘以括号。括号里写剩下因数 \( 17 \) 和 \( 13 \) 的和。

算式变为：\( 25 \times (17 + 13) \)

📌 第三步：计算。先算括号：\( 17+13=30 \)，再算乘法：\( 25 \times 30 = 750 \)。

✅ 答案：\( 750 \)

💬 总结：这是最标准的反向提取，直接应用公式。

🔥 例题2：简便计算 \( 38 \times 29 + 38 \times 70 + 38 \)

📌 第一步：观察。三个部分相加，前两个是乘法。关键是把单独的“38”也看成乘法算式。

📌 第二步：转化与提取。“38”可以看作是 \( 38 \times 1 \)。这样，三个部分都有了相同的因数 \( 38 \)。提取 \( 38 \)，得到 \( 38 \times (29 + 70 + 1) \)。

📌 第三步：计算。先算括号：\( 29+70+1=100 \)，再算乘法：\( 38 \times 100 = 3800 \)。

✅ 答案：\( 3800 \)

💬 总结：单独的一个数，只要乘以1，就可以参与提取。这是反向提取中常见的“化一”技巧。

🔥 例题3：简便计算 \( 12 \times 21 - 12 \times 11 \)

📌 第一步：观察。两个乘法算式相减，每个算式中都有因数 \( 12 \)。

📌 第二步：提取。将相同的因数 \( 12 \) 提出来，乘以括号。括号里写剩下因数 \( 21 \) 和 \( 11 \) 的差。

算式变为：\( 12 \times (21 - 11) \)

📌 第三步：计算。先算括号：\( 21-11=10 \)，再算乘法：\( 12 \times 10 = 120 \)。

✅ 答案：\( 120 \)

💬 总结：提取方法同样适用于减法，只是括号内改为相减。可以理解为从21个12里减去11个12，剩下 \( (21-11) \) 个12。

练习题（10道）

1. \( 56 \times 33 + 44 \times 33 \)
2. \( 101 \times 87 - 87 \)
3. \( 25 \times (40 + 4) \) （请用两种方法计算，并体会联系）
4. \( 7 \times 48 + 7 \times 52 \)
5. \( 99 \times 15 + 15 \)
6. \( 36 \times 19 - 36 \times 9 \)
7. \( 125 \times 81 - 125 \)
8. \( 67 \times 48 + 33 \times 52 \) （思考：能直接提取吗？为什么？）
9. \( 25 \times 40 - 25 \times 4 \)
10. \( 201 \times 45 - 45 \)

奥数挑战（10道）

1. \( 12 \times 45 + 24 \times 55 \)
2. \( 111 \times 58 + 444 \times 13 \)
3. \( 999 \times 222 + 333 \times 334 \)
4. \( 37 \times 18 + 27 \times 42 \)
5. 计算：\( 2017 \times 2019 - 2016 \times 2020 \)
6. \( 25 \times 32 + 50 \times 34 \)
7. \( 87 \times 36 + 87 \times 23 + 87 \times 41 \)
8. \( 666 \times 222 + 444 \times 667 \)
9. 有一个算式：\( a \times b + a \times c = 360 \)，已知 \( b+c=12 \)，求 \( a \) 是多少？
10. 计算：\( 123 \times 456456 - 456 \times 123123 \)

生活应用（5道）

1. （高铁）一列“复兴号”高铁有8节车厢，每节车厢有85个座位。另一列同型号高铁有12节车厢，每节车厢同样有85个座位。两列高铁一共有多少个座位？请用简便方法计算。
2. （航天）中国空间站完成一次科学实验需要消耗电力能源 \( 125 \) 千瓦时。本月计划了 \( 24 \) 次实验，但实际只完成了 \( 19 \) 次。比原计划节省了多少千瓦时的电力？
3. （AI）训练一个AI模型，每天需要处理 \( 99 \) GB的数据。为了优化，工程师改进了算法，每天节省 \( 1 \) GB数据。照这样计算，运行 \( 201 \) 天一共可以处理多少GB数据？（用简便方法）
4. （环保）一个节能灯泡每天可省电 \( 0.12 \) 度。小明家更换了 \( 15 \) 个这样的灯泡，小华家更换了 \( 25 \) 个。一个月（30天）后，两家一共能省多少度电？
5. （网购）“双十一”促销，一种笔记本单价 \( 25 \) 元，王老师打算为田径队买 \( 18 \) 本，为合唱队买 \( 22 \) 本。王老师一共需要支付多少钱？请用两种方法列式并计算。