💡 阿星精讲：一半模型：平行四边形 原理

• 核心概念：想象平行四边形是一块方方正正的蛋糕。在蛋糕内部随便点一个点（比如放一颗樱桃），然后从这个点出发，切四刀，直通蛋糕的四个角。神奇的事情发生了：被你切出来的上面和下面两块三角形蛋糕（涂上蓝色）拼起来，正好是半块蛋糕；同样，左边和右边两块三角形蛋糕（涂上红色）拼起来，也正好是另外半块蛋糕！所以，无论樱桃放在哪里，蓝色面积 = 红色面积 = 半块蛋糕面积。
• 计算秘籍：
  1. 设平行四边形底为 \( a \)，高为 \( h \)，则总面积 \( S_{\text{总}} = a \times h \)。
  2. 设内部点为 \( P \)。连接 \( P \) 与四个顶点，将平行四边形分成四个三角形。
  3. 观察“上+下”两个三角形。它们以平行四边形的上下两条平行边为底，它们的高之和正好等于平行四边形的高 \( h \)。因此：

     \[ S_{\text{上}} + S_{\text{下}} = \frac{1}{2} \times a \times h_1 + \frac{1}{2} \times a \times h_2 = \frac{1}{2} \times a \times (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} S_{\text{总}} \]

  4. 同理，“左+右”两个三角形以平行四边形的左右两边（长度为 \( b \)）为底，它们的高之和等于这两条平行边间的距离，也对应 \( S_{\text{总}} = b \times H \) 中的 \( H \)，所以面积和也是 \( \frac{1}{2} S_{\text{总}} \)。
• 阿星口诀：“蛋糕中间点，切块连四边；上下是一半，左右也平分。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为点 \( P \) 必须在中心或对称轴上才成立。

  → ✅ 正解：点 \( P \) 是平行四边形内部任意一点，无论在哪个位置，模型都成立。核心原理是平行线间距离处处相等，保证了高之和恒定。

• ❌ 错误2：混淆“上下三角形”和“左右三角形”的底边。

  → ✅ 正解：“上下三角形”的公共底边是平行四边形的同一组对边（如图中的上下边）；“左右三角形”的公共底边是另一组对边（如图中的左右边）。必须找准对应的底和高。

🔥 例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 平行四边形面积 \( 60 \)，内部一点 \( P \)，\( S_{\triangle ABP}=8 \)，\( S_{\triangle CDP}=12 \)，求 \( S_{\triangle ADP}+S_{\triangle BCP} \)。
2. 平行四边形 \( ABCD \) 中，\( S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PCD}=25 \)，求平行四边形面积。
3. 根据阿星涂色模型，填空：\( S_{\text{上}}+S_{\text{下}} = ( ) \times S_{\text{平行四边形}} \)。
4. 若 \( S_{\triangle ADP}=7 \)，\( S_{\triangle BCP}=9 \)，\( S_{\triangle ABP}=10 \)，求 \( S_{\triangle CDP} \)。
5. 平行四边形底 \( 10 \, \text{cm} \)，高 \( 6 \, \text{cm} \)，内部一点 \( P \)，求所有“上下”三角形的面积之和。
6. 判断：点 \( P \) 在平行四边形边上时，一半模型仍然成立。（ ）
7. 平行四边形中，“左+右”三角形的公共底边是平行四边形的______边。
8. 若平行四边形被其内部一点分成的四个三角形中有三个面积分别为 \( 3, 5, 7 \)，则第四个三角形面积可能是______。（提示：有两种情况）
9. 一个平行四边形的面积是 \( 48 \)，其内部一点分出的一个三角形面积是 \( 6 \)，则与它相对的三角形（即同属“上/下”或“左/右”组）面积是______。
10. 用阿星口诀解释为什么“上下面积和等于左右面积和”。

二、奥数挑战

1. （杯赛真题）平行四边形 \( ABCD \) 面积为 \( 72 \)。\( E, F \) 分别是 \( AB, BC \) 中点。\( AF \) 与 \( DE \) 交于 \( G \)，\( AF \) 与 \( CE \) 交于 \( H \)。求四边形 \( EGHF \) 的面积。
2. 点 \( P \) 在平行四边形 \( ABCD \) 内部，连接 \( PA, PB, PC, PD \)。已知 \( S_{\triangle PAB} : S_{\triangle PBC} : S_{\triangle PCD} = 2 : 3 : 4 \)，求 \( S_{\triangle PAD} \)。
3. 平行四边形中，点 \( P \) 满足 \( S_{\triangle ABP} = S_{\triangle CBP} \)。问点 \( P \) 的轨迹是什么？
4. 将平行四边形内部一点 \( P \) 与各顶点连接。若其中两个相邻小三角形的面积分别是 \( 2 \) 和 \( 3 \)（例如 \( \triangle ABP=2, \triangle BCP=3 \)），求平行四边形面积的最小可能值。
5. 在平行四边形 \( ABCD \) 中，\( E, F \) 在对角线 \( BD \) 上，且 \( BE=EF=FD \)。连接 \( AE, AF, CE, CF \)。问四边形 \( AECF \) 面积是平行四边形面积的几分之几？
6. 点 \( O \) 是平行四边形 \( ABCD \) 对角线交点，\( P \) 是 \( \triangle AOB \) 内一点。比较 \( S_{\triangle APD}+S_{\triangle BPC} \) 与 \( S_{\triangle APB}+S_{\triangle CPD} \) 的大小。
7. 平行四边形被两条通过内部一点 \( P \) 的线段分割成 \( 6 \) 个小三角形和 \( 2 \) 个小四边形，已知部分面积，求未知面积。（配简图）
8. 若平行四边形内部一点 \( P \) 到一组对边的距离分别是 \( h_1 \) 和 \( h_2 \)，平行四边形这组对边间的距离为 \( H \)。求证：\( h_1 + h_2 = H \)。（这就是一半模型的核心原理）
9. 将平行四边形内部一点 \( P \) 与四个顶点连接。求证：\( S_{\triangle PAB} \times S_{\triangle PCD} = S_{\triangle PAD} \times S_{\triangle PBC} \)。
10. 在平行四边形 \( ABCD \) 中，点 \( P, Q \) 分别在 \( AD, AB \) 上。连接 \( PC, QC \)。已知 \( S_{\triangle PDC}=20 \)，\( S_{\triangle QBC}=15 \)，\( S_{\triangle PQC}=10 \)，求平行四边形 \( ABCD \) 的面积。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI图像分割）阿星在训练一个AI识别平行四边形区域。AI在区域内标记了一个点，并生成了连接到四角的线段，将区域分为四个子区域。已知上下两个子区域的像素面积共占整图的 \( 48\% \)，请问AI的标记是否符合“一半模型”？可能的原因是什么？
2. （航天器太阳能板）一块平行四边形的太阳能电池板被划分为四个供电单元（由板内一个电流汇集点连接四角形成）。为保证平衡，设计上要求“相对两个单元（如上和下）的输出功率之和等于总面积的一半”。若某个单元故障（面积为 \( 0 \)），这个设计原则还能成立吗？为什么？
3. （物流仓库分区）一个平行四边形仓库，管理员在内部设了一个监控点 \( P \)。连接 \( P \) 与四个角，将仓库分为 \( 1, 2, 3, 4 \) 四个扇形管理区。为方便统计，他发现 \( 1区+3区 \) 的货物存量总是等于 \( 2区+4区 \) 的存量。请用数学原理解释这一现象。
4. （网购包装）一块平行四边形的环保缓冲泡沫，工人从内部一点切出四条缝到四角，以便轻松折叠成盒子。切割后，他发现上半部分泡沫和下半部分泡沫的总重量总是相等。假设泡沫密度均匀，解释其中的几何原理。
5. （游戏地图设计）在一个平行四边形的游戏地图中，宝藏被埋在内部某个点 \( P \)。玩家从 \( P \) 向四个顶点画线，将地图分为四个探索区域。游戏规则是：找到“上下”区域面积和等于“左右”区域面积和的证据，就能获得宝藏提示。请问这个提示对所有宝藏点 \( P \) 都有效吗？为什么？

🤔 常见疑问 FAQ