💡 阿星精讲：巧求周长：平移大法 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你有一个由很多小线段拼成的“台阶”或“锯齿”形状，就像一条贪吃蛇或者乐高积木的边。直接去数它一圈有多长，很容易数晕。我的“平移大法”是什么呢？就是把这些凸出来、凹进去的“小积木”（线段），小心翼翼地推到最外边去。当你把所有的横线都向上或向下推，所有的竖线都向左或向右推之后，你会发现，这个“歪歪扭扭”的图形，瞬间变成了一个规规矩矩的长方形（或正方形）！它的周长，就和这个新长方形的周长一模一样。因为平移只是让线段换个位置“站岗”，图形的总边长一点都没变。
• 计算秘籍：
  1. 观察图形：找到图形所有“凸起”和“凹陷”的部分。
  2. 施展平移：在脑子里或草图上，将凹进去的横线段平移到最上方或最下方，将凹进去的竖线段平移到最左侧或最右侧，补成一个标准的长方形。
  3. 测量新形：找到平移后得到的长方形的长 \( a \) 和宽 \( b \)。
  4. 巧算周长：应用长方形周长公式，这个奇妙图形的周长就是 \( C = 2 \times (a + b) \)。
• 阿星口诀：台阶图形别犯懵，线段平移变规整。补成长方求周长，一步到位真轻松！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只平移横线，忘了竖线。 → ✅ 正解：平移必须完整！一个复杂的图形，往往需要同时平移水平和垂直方向的线段，才能补成一个完整的长方形。只做一边，得到的还是不规则图形。
• ❌ 错误2：平移后，把移动的线段长度加了两遍。 → ✅ 正解：牢记“等量代换”。平移是把线段从里面“挪”到外面，图形的总边线没有增加也没有减少。所以计算新长方形的周长就是原图形的周长，千万不要把平移前后的长度加起来。

🔥 例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个由 \( 1 \) 厘米小正方形拼成的阶梯（3级），水平方向总长 \( 5 \) 厘米，垂直方向总高 \( 3 \) 厘米，求周长。
2. 图形如“凹”字，外部是长 \( 10 \)cm、宽 \( 6 \)cm的长方形，凹进去的部分是一个长 \( 4 \)cm、宽 \( 2 \)cm的小长方形（居中），求图形周长。
3. 求一个字母“C”形状的金属边框周长（外长方形长 \( 12 \) 宽 \( 8 \)，开口处宽 \( 4 \)）。
4. 一个“十”字形（横竖都是长 \( 9 \) 宽 \( 3 \) 的长方形交叉），求外缘周长。
5. 把边长为 \( 5 \) 厘米的正方形的相邻两边各剪掉一个边长为 \( 1 \) 厘米的小正方形，求剩下图形的周长。
6. 一个长 \( 20 \) 米、宽 \( 15 \) 米的长方形花园，在一条长边上有一个宽 \( 2 \) 米的矩形入口，求绕花园栅栏一周的长度。
7. 用平移法求一个等边“锯齿”形（3个齿）的周长，每个齿的凸出长度都是 \( 2 \)，基础线段长 \( 10 \)。
8. 一个长方形被切掉一个角（直角边为 \( 3 \) 和 \( 4 \) 的直角三角形），求剩余五边形周长。原长方形长 \( 10 \) 宽 \( 7 \)。
9. 两个边长为 \( 4 \) 厘米的正方形部分重叠，重叠部分是边长为 \( 1 \) 厘米的正方形，求组合图形外缘周长。
10. 一个矩形，从每条边中间都向里凹进去一个边长为 \( 1 \) 的小正方形，形成“梅花”状，原矩形长 \( 8 \) 宽 \( 6 \)，求现图形周长。

二、奥数挑战

1. 如图，由若干个边长为 \( 1 \) 的正方形拼成“楼梯”状，共 \( 10 \) 级，求图形周长。
2. 一个边长为 \( 10 \) 的大正方形，内部挖去一个边长为 \( 4 \) 的小正方形，但小正方形的一个顶点位于大正方形中心。求剩余部分周长。
3. 求一个 \( 3 \times 3 \) 网格（9个小正方形）中，所有小正方形周长之和与大正方形周长的差。
4. “弓”形图形（一个长方形上加一个半圆，半圆直径与长方形长边重合），已知长方形长 \( 10 \) 宽 \( 4 \)，求图形周长（取 \( \pi = 3.14 \)）。
5. 一个等边三角形，每边被三等分，然后连接分点向形内作小等边三角形，形成“雪花”雏形，求这个多边形的周长与原三角形周长的关系。
6. 用 \( 6 \) 个边长为 \( 2 \) 的正方形拼成一个“十字形”，求这个十字形的周长。
7. 一个长 \( 9 \) 宽 \( 6 \) 的长方形，沿对角线剪开，将其中一个三角形平移，与另一个三角形拼成一个平行四边形，求平行四边形的周长。
8. 求阴影部分周长：大圆内有两个相等的小圆相互外切且与大圆内切，阴影为小圆外、大圆内的部分。
9. 一个正六边形的房子，每边 \( 5 \) 米，在三个不相邻的边上各有一个宽 \( 1 \) 米的门，求房基周长。
10. 在 \( 4 \times 4 \) 的点阵中，连接其中若干个点形成一个非凸的多边形，已知其水平最大跨度为 \( 3 \)，垂直最大跨度为 \( 3 \)，且图形关于中心对称，求其可能的最大周长。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI 路径规划）一个扫地机器人需要清扫一个“U”形房间（平面图）。房间外缘是长 \( 8 \) 米、宽 \( 6 \) 米的长方形，内部有一个长 \( 3 \) 米、宽 \( 2 \) 米的矩形立柱。机器人要贴着所有墙壁（包括立柱）走一圈以建模，它需要行走的最短路径总长是多少？
2. （航天材料）一块特殊合金板被切割成如图的“工”字形，以减轻重量并保持强度。上下两个矩形长 \( 20 \)cm 宽 \( 5 \)cm，中间连接部分矩形长 \( 10 \)cm 宽 \( 5 \)cm。求切割这块板子所需激光刀头行走的总路径长（即图形周长）。
3. （网购纸箱）为节省材料，某电商设计了一种可折叠的异形纸箱展开图（净尺寸）。它由一个主长方形（长 \( 30 \)cm，宽 \( 25 \)cm）和两侧各一个梯形翻盖组成（梯形高 \( 5 \)cm，上底 \( 10 \)cm，下底 \( 30 \)cm）。不考虑粘合部分，制作这个展开图至少需要多长的裁切线？
4. （城市绿化）一个矩形公园 \( 100m \times 60m \)，计划在内部修一条宽度恒为 \( 2m \) 的“回”字形人行道。求这条人行道内外两侧的总长度（即需要铺设路沿石的长度）。
5. （芯片设计）某微芯片的一个电路元件区域俯视图是一个带有多个矩形触点的复杂多边形。经抽象，其外轮廓可看作是一个长 \( 50 \) 微米、宽 \( 30 \) 微米的长方形，但其中两条长边的中间各向里凹进去一个宽 \( 5 \) 微米、深 \( 3 \) 微米的矩形槽。求这个元件区域的光刻掩膜周长。

🤔 常见疑问 FAQ (SEO 关键)

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{"question": "为什么很多学生觉得巧求周长：平移大法很难？", "answer": "觉得难通常有两个原因：一是缺乏空间想象能力，无法在脑海中动态完成线段平移的过程；二是容易混淆‘面积’和‘周长’的变化规则。平移只改变图形形状，不改变周长，但会改变面积。学生有时会误以为平移后的长方形面积就是原图形面积。克服的方法是：多动手画图，用不同颜色的笔标出要平移的线段，并牢记‘平移不改变总长度’这一铁律。"},

{"question": "学习巧求周长：平移大法对以后学什么有帮助？", "answer": "平移法是几何思维的重要起点。它直接为你未来学习以下内容打下坚实基础：1. 初中几何的辅助线思想：平移本身就是一种添加辅助线的手段。2. 转化与化归的数学思想：把复杂问题转化为熟悉的简单问题（如长方形）。3. 物理学中的位移与路径：理解物体运动时，路径长度与位置变化的区别。4. 高中和大学的微积分：求曲线长度、曲面面积时，‘以直代曲’的思想与平移法‘化曲为直’的精髓一脉相承。它是锻炼逻辑推理和空间变换能力的绝佳训练。"},

{"question": "有什么一招必胜的公式吗？", "answer": "对于所有能通过平移转化为标准矩形（或有时是正方形）的不规则多边形，确实有一个通用思路，但不是死公式：周长 = 2 × (图形的水平最大跨度 + 图形的垂直最大跨度)。关键在于准确找出平移后那个‘虚拟长方形’的长和宽，它们就是原图形在水平和垂直方向上能达到的最远距离。记住这个‘最大跨度’原则，并灵活运用平移来实现它，就是最有效的‘一招’。"}

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