运算律：加个括号变符号（去括号与添括号法则）

知识要点

💡 核心概念

在加减混合或乘除混合的算式中，我们经常需要添加或去掉括号来改变运算顺序。这时，括号就像一扇门，而它前面的“+”或“-”、“×”或“÷”就像是开门的“钥匙”。

• 当括号前是“+”或“×”时，这扇门是“透明的”，打开它（去括号）不会改变里面任何数字的符号。
• 当括号前是“-”或“÷”时，这扇门是“神奇的”，打开它（去括号）会让里面每一个数字的符号都发生改变（“+”变“-”，“-”变“+”；“×”变“÷”，“÷”变“×”）。

简单来说，这就是“加个括号变符号”的规则，它帮助我们灵活计算。

📝 计算法则

情况一：加减混合运算

1. 括号前是“+”号：去掉括号，括号内的数不改变符号。

   例如：\( a + (b - c) = a + b - c \)

2. 括号前是“-”号：去掉括号，括号内的每一个数都改变符号（加变减，减变加）。

   例如：\( a - (b - c + d) = a - b + c - d \)

情况二：乘除混合运算

1. 括号前是“×”号：去掉括号，括号内的数不改变运算符号。

   例如：\( a \times (b \div c) = a \times b \div c \)

2. 括号前是“÷”号：去掉括号，括号内的每一个数都改变运算符号（乘变除，除变乘）。

   例如：\( a \div (b \times c) = a \div b \div c \)； \( a \div (b \div c) = a \div b \times c \)

⚠️ 注意：加括号是去括号的逆过程，规则相同。乘除运算去括号时，必须保证是同级运算（只有乘除，没有加减）。

🎯 记忆口诀

“加减是兄弟，乘除是伙伴。”

“加（乘）不变，减（除）全变。”

🔗 知识关联

• 加法交换律和结合律：\( a+b=b+a \)， \( (a+b)+c=a+(b+c) \)
• 减法的性质：\( a-b-c = a-(b+c) \)
• 除法的性质：\( a \div b \div c = a \div (b \times c) \)
• 混合运算的运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号内。

易错点警示

❌ 错误1：只改变括号里第一个数的符号。

→ 错例：\( 15 - (8 - 3) = 15 - 8 - 3 \)

✅ 正解：括号前是“-”号，去括号后，括号内的每一个数都要变号：\( 15 - (8 - 3) = 15 - 8 + 3 \)

❌ 错误2：在加减乘除混合运算中，错误运用乘除法的去括号法则到加减法上。

→ 错例：\( 12 \div (3 + 1) = 12 \div 3 + 12 \div 1 \)

✅ 正解：除法对加法没有分配律。应该先算括号：\( 12 \div (3 + 1) = 12 \div 4 = 3 \)。去括号法则只适用于同级运算（纯加减或纯乘除）。

❌ 错误3：添括号时，忘记考虑括号前的符号。

→ 错例：为了凑整，错误地写成 \( 138 - 47 + 62 = 138 - (47 + 62) \)

✅ 正解：如果要在“47+62”外添加括号，括号前是“-”号，则括号内要变号：\( 138 - 47 + 62 = 138 - (47 - 62) \)。更简单的做法是先用交换律：\( 138 + 62 - 47 = 200 - 47 \)。

例题精讲

🔥 例题1：计算 \( 256 - (156 - 87) \)

📌 第一步：观察算式，括号前是“-”号，准备去括号。

📌 第二步：根据“减号全变”法则，去括号：括号内的“156”和“-87”都要变号。原式 = \( 256 - 156 + 87 \)。

📌 第三步：从左往右依次计算：\( 256 - 156 = 100 \)， \( 100 + 87 = 187 \)。

✅ 答案：\( 187 \)

💬 总结：利用去括号法则，可以把减法转化成连减和加法，使计算更简便（\( 256-156 \)正好得整百）。

🔥 例题2：计算 \( 9.6 \div (2.4 \times 0.5) \)

📌 第一步：观察算式，括号前是“÷”号，且括号内是乘法。

📌 第二步：根据“除号全变”法则，去括号：括号内的“×”要变成“÷”。原式 = \( 9.6 \div 2.4 \div 0.5 \)。

📌 第三步：按顺序计算：\( 9.6 \div 2.4 = 4 \)， \( 4 \div 0.5 = 8 \)。

✅ 答案：\( 8 \)

💬 总结：连续除以两个数，等于除以这两个数的积。这里是逆向运用：除以一个积，可以变成连续除以这两个因数。

🔥 例题3：用简便方法计算 \( 350 \div 14 \)

📌 第一步：将除数14拆成 \( 2 \times 7 \)，原式变为 \( 350 \div (2 \times 7) \)。

📌 第二步：运用“除号全变”法则去括号：\( 350 \div 2 \div 7 \)。

📌 第三步：依次计算更简单：\( 350 \div 2 = 175 \)， \( 175 \div 7 = 25 \)。

✅ 答案：\( 25 \)

💬 总结：当除数可以拆成两个我们熟悉的因数时，利用去括号法则将一步除法转化为两步连续的简单除法，是常用的巧算技巧。

练习题（10道）

1. 直接写出得数：\( 48 + (52 - 37) = \)
2. 直接写出得数：\( 72 - (18 + 22) = \)
3. 计算：\( 6.5 - (2.5 - 1.36) \)
4. 计算：\( 120 \div (6 \times 5) \)
5. 计算：\( 84 \div (14 \div 3) \)
6. 在○里填上“>”、“<”或“=”：\( 240 \div (6 \times 5) \) ○ \( 240 \div 6 \times 5 \)
7. 根据 \( 368 - 189 = 179 \)，直接写出 \( 368 - (189 + 20) \) 的得数。
8. 简便计算：\( 132 - 54 - 46 \)
9. 简便计算：\( 5.6 \div 3.5 \)
10. 填空：\( a \div b \div c = a \div ( \) ○ \()\)； \( a - b + c = a - ( \) ○ \()\)

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( (1234 + 2341 + 3412 + 4123) \div 5 \)
2. 计算：\( 100 - 99 + 98 - 97 + 96 - 95 + \cdots + 4 - 3 + 2 - 1 \)
3. 已知 \( a \triangle b = a - (b + 2) \)， 求 \( 15 \triangle (6 \triangle 3) \) 的值。
4. 计算：\( 9999 \times 2222 + 3333 \times 3334 \)
5. 在下列算式中的○里填上“+”或“-”，使等式成立。

   \( 9 ○ 8 ○ 7 ○ 6 ○ 5 ○ 4 ○ 3 ○ 2 ○ 1 = 23 \)

6. 计算：\( 1 \div (2 \div 3) \div (3 \div 4) \div (4 \div 5) \div (5 \div 6) \)
7. 已知 \( A = 987654321 \times 123456789 \)， \( B = 987654322 \times 123456788 \)。比较A和B的大小。
8. 计算：\( 2005 \times 20042004 - 2004 \times 20052005 \)
9. 定义新运算：\( a※b = a \times b - a + b \)。求 \( 5※(4※3) \)。
10. 计算：\( (1 + 3 + 5 + \cdots + 2023) - (2 + 4 + 6 + \cdots + 2022) \)

生活应用（5道）

1. 【高铁提速】一列“复兴号”高铁从A站到B站，原计划用时 \( t \) 小时。技术升级后，全程时间缩短了 \( (0.2t - 0.1) \) 小时。请用含 \( t \) 的式子表示提速后的运行时间。
2. 【航天发射】某型运载火箭一级燃料箱装有 \( m \) 吨燃料。发射时，首先消耗掉 \( (0.4m + 15) \) 吨燃料，随后又消耗了 \( (0.3m - 5) \) 吨燃料。请用含 \( m \) 的式子表示燃料箱内剩余的燃料吨数。
3. 【AI推理】一个人工智能模型处理一批数据需要 \( n \) 秒。优化算法后，处理时间减少了 \( \frac{n}{5} \) 秒。如果它连续处理3批这样的数据，优化后比优化前总共快了多少秒？
4. 【环保回收】校园环保小队第一天回收了 \( a \) 千克废纸，第二天回收的重量比第一天的2倍少8千克。
   1. 用式子表示两天一共回收的重量。
   2. 当 \( a = 25 \) 时，计算两天一共回收了多少千克。
5. 【网购优惠】李阿姨网购一件商品原价 \( x \) 元。她使用了一张“满100减20”的优惠券，还参加了“下单立减 \( \frac{x}{10} \) 元”的活动。请用含 \( x \) 的式子表示李阿姨最终需要支付的金额。（假设商品原价超过100元）