知识要点

💡 核心概念

乘法分配律的“正向拆分”，就像给一群小朋友分糖果。假设一个袋子里有 \(m\) 颗糖，要分给 \(a\) 个男孩和 \(b\) 个女孩，每个孩子得到的糖一样多。我们有两种分法：

先算总人数，再一起分：先算出总共有 \( (a + b) \) 个孩子，然后用总糖数 \(m\) 乘以总人数，即 \( m \times (a + b) \)。
先分开分，再把糖加起来：先分给男孩，需要 \( m \times a \) 颗糖；再分给女孩，需要 \( m \times b \) 颗糖。最后把两部分糖加起来，即 \( m \times a + m \times b \)。

这两种分法，最终分出去的糖总数是一样的。所以，我们得到一个重要的规律：一个数乘上两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。

📝 计算法则

对于算式 \( a \times (b + c) \)：

认结构：找到算式中的“一个数”（乘数 \(a\)）和“两个数的和”（\(b + c\)）。
拆括号：用这个数 \(a\) 分别去乘括号里的每一个数 \(b\) 和 \(c\)，写成 \( a \times b + a \times c \)。
计算：分别算出两个乘法算式的结果，最后把两个积相加。

用字母表示为：\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)

🎯 记忆口诀

“我爱爸爸和妈妈，等于我爱爸加我爱妈。”

（“我”就是外面的乘数，“爸”和“妈”就是括号里的两个加数。）

🔗 知识关联

乘法意义：乘法是求几个相同加数和的简便运算，例如 \(5 \times 3\) 就是 \(5+5+5\)。分配律拆开后，每个乘法部分依然符合这个意义。
加法运算律：已经学过的加法交换律 (\(a+b=b+a\)) 和结合律 (\((a+b)+c=a+(b+c)\))，保证了在运用分配律时，加数的顺序和组合方式可以灵活调整。
表内乘法和多位数乘一位数：这是进行拆分后计算的基础。

易错点警示

❌ 错误1：只乘第一个数，漏乘第二个数

错误做法：\( 6 \times (5 + 3) = 6 \times 5 + 3 = 30 + 3 = 33 \)

✅ 正解：必须用外面的数乘括号里的每一个数

正确做法：\( 6 \times (5 + 3) = 6 \times 5 + 6 \times 3 = 30 + 18 = 48 \)
❌ 错误2：符号弄错，忘记加括号

错误做法：\( 8 \times (10 - 2) = 8 \times 10 - 2 = 80 - 2 = 78 \)

✅ 正解：括号里是减法时，拆开后依然是减法

正确做法：\( 8 \times (10 - 2) = 8 \times 10 - 8 \times 2 = 80 - 16 = 64 \)

（口诀拓展：“我爱爸减妈，等于我爱爸减我爱妈。”）
❌ 错误3：和乘法结合律混淆

错误想法：认为 \( a \times (b + c) = (a \times b) + c \) 或者 \( a \times (b \times c) = a \times b + a \times c \)

✅ 正解：分清“结合律”和“分配律”

乘法结合律是改变相乘的顺序：\( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)，符号都是乘号。

乘法分配律一定有乘号和加号（或减号）同时出现。

三例题精讲

🔥 例题1

计算：\( 25 \times (40 + 4) \)

📌 第一步：观察算式

算式是 \( 25 \times (40 + 4) \)，符合 \( a \times (b + c) \) 的结构。

📌 第二步：正向拆分

用 \(25\) 分别去乘 \(40\) 和 \(4\)：\( 25 \times 40 + 25 \times 4 \)。

📌 第三步：分别计算再相加

\( 25 \times 40 = 1000 \)，\( 25 \times 4 = 100 \)。

\( 1000 + 100 = 1100 \)。

✅ 答案：\( 1100 \)。

💬 总结：遇到 \(25\) 乘一个数，可以想办法拆出 \(4\)、\(40\) 等，因为 \(25 \times 4 = 100\)，这样计算非常简便。

🔥 例题2

学校购买运动服，每套 \(87\) 元，其中上衣 \(52\) 元，裤子 \(35\) 元。四年级一班有 \(40\) 人，一共需要付多少钱？

📌 第一步：分析数量关系

方法一：先算总套数价格，\( 87 \times 40 \)。

方法二：分别算上衣和裤子的总价，再相加：\( (52 + 35) \times 40 \)。显然，第二种列式直接包含了分配律结构。

📌 第二步：运用分配律计算

\( (52 + 35) \times 40 = 52 \times 40 + 35 \times 40 \)。

📌 第三步：口算得出结果

\( 52 \times 40 = 2080 \)，\( 35 \times 40 = 1400 \)。

\( 2080 + 1400 = 3480 \)。

✅ 答案：一共需要付 \(3480\) 元。

💬 总结：分配律可以把一个复杂的乘法（如 \(87 \times 40\)）拆成两个更简单的乘法（\(52 \times 40\) 和 \(35 \times 40\)），方便心算。

🔥 例题3

计算：\( 99 \times 38 + 38 \)

📌 第一步：观察与变形

后面单独的 \(38\) 可以看成 \( 38 \times 1 \)。所以算式变为：\( 99 \times 38 + 1 \times 38 \)。

📌 第二步：逆向观察，发现公因数

现在两个乘法部分都有公因数 \(38\)，符合分配律的逆运算（提取公因数）结构：\( a \times c + b \times c = (a + b) \times c \)。

📌 第三步：提取公因数计算

\( 99 \times 38 + 1 \times 38 = (99 + 1) \times 38 = 100 \times 38 \)。

\( 100 \times 38 = 3800 \)。

✅ 答案：\( 3800 \)。

💬 总结：有时题目是分配律的“逆向”应用（提取公因数），但理解“正向拆分”能帮助我们更好地识别这种结构。关键是找到相同的乘数。

练习题（10道）

用乘法分配律计算：\( 7 \times (10 + 5) \)
用乘法分配律计算：\( (20 + 8) \times 4 \)
计算：\( 15 \times (6 + 4) \)
计算：\( (100 + 2) \times 45 \)
计算：\( 8 \times (30 - 5) \)
一个文具盒 \(12\) 元，一支钢笔 \(8\) 元。为三好学生购买 \(25\) 份奖品（每份一个文具盒和一支钢笔），总共要花多少钱？（用两种方法列式并计算）
计算：\( 26 \times 102 \) （提示：把 \(102\) 看成 \(100+2\)）
计算：\( 65 \times 99 + 65 \)
花园里原来有 \(8\) 行玫瑰花，每行 \(15\) 棵。后来又补种了 \(2\) 行，现在一共有多少棵玫瑰花？
判断对错，并改正：\( 5 \times (6 \times 7) = 5 \times 6 + 5 \times 7 \)

奥数挑战（10道）

计算：\( 999 \times 222 + 333 \times 334 \)
计算：\( 1111 \times 9998 + 4444 \times 9999 \)
已知 \( a \times b = 12 \)，\( a \times c = 20 \)，求 \( a \times (b + c) \) 的值。
计算：\( 2023 \times 20242024 - 2024 \times 20232023 \)
计算：\( (2+4+6+...+100) \times 50 \) （提示：括号内等差数列求和）
一个数乘 \(7\)，小明误加了一个 \(7\)，得到结果是 \(56\)。正确的结果应该是多少？
计算：\( 666 \times 333 + 778 \times 999 \)
如果 \( \triangle \times (\square + \bigcirc) = 45 \)，并且 \( \triangle \times \square = 20 \)，那么 \( \triangle \times \bigcirc \) 是多少？
计算：\( 123456789 \times 18 + 123456789 \times 82 \)
在一个乘法算式中，一个因数增加了 \(5\)，另一个因数不变，那么积增加了 \(30\)。请问原来的积可能是多少？（写出所有可能）

生活应用（5道）

（高铁） 一列“复兴号”高铁有 \(16\) 节车厢，其中 \(10\) 节是二等座车厢，每节载客 \(90\) 人；其余是商务座车厢，每节载客 \(20\) 人。这列高铁最多能载客多少人？
（航天） 制造一枚火箭需要 \(A\) 型零件 \(m\) 个，\(B\) 型零件 \(n\) 个。一家工厂接到订单，要生产 \(50\) 枚这样的火箭。请用含有字母的式子表示出总共需要的零件数量，并说明你运用了什么运算律。
（AI与环保） 一个AI智能垃圾分类站，每天处理 \(a\) 公斤厨余垃圾和 \(b\) 公斤可回收垃圾。处理每公斤厨余垃圾可发电 \(2\) 度，处理每公斤可回收垃圾可节省木材 \(3\) 公斤。这个站运行 \(30\) 天，总共能发电多少度？节省木材多少公斤？
（网购促销） 某网店“618”促销，一件商品原价 \(x\) 元，现降价 \(50\) 元销售。公司为答谢老客户，决定再为每件商品额外支付 \(10\) 元补贴。如果一个老客户一次购买 \(8\) 件这种商品，他实际需要支付多少钱？（用含 \(x\) 的式子表示）
（智慧农业） 一个智慧大棚采用两种光照模式：模式一每小时耗电 \(5\) 千瓦时，模式二每小时耗电 \(3\) 千瓦时。在作物生长季，每天需要开启模式一 \(t\) 小时，模式二 \(12\) 小时。请用分配律表示这个大棚一天的总耗电量，并计算当 \(t=8\) 时的具体耗电量。

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 7 \times (10 + 5) = 7 \times 10 + 7 \times 5 = 70 + 35 = 105 \)

\( (20 + 8) \times 4 = 20 \times 4 + 8 \times 4 = 80 + 32 = 112 \)

\( 15 \times (6 + 4) = 15 \times 6 + 15 \times 4 = 90 + 60 = 150 \)

\( (100 + 2) \times 45 = 100 \times 45 + 2 \times 45 = 4500 + 90 = 4590 \)

\( 8 \times (30 - 5) = 8 \times 30 - 8 \times 5 = 240 - 40 = 200 \)

方法一：先算一份价钱 \( 12+8=20 \)元，再算总价 \( 20 \times 25 = 500 \)元。

方法二：分开算 \( 12 \times 25 + 8 \times 25 = 300 + 200 = 500 \)元。答案：500元。

\( 26 \times 102 = 26 \times (100 + 2) = 26 \times 100 + 26 \times 2 = 2600 + 52 = 2652 \)

\( 65 \times 99 + 65 = 65 \times 99 + 65 \times 1 = 65 \times (99 + 1) = 65 \times 100 = 6500 \)

方法一：\( 15 \times (8+2) = 15 \times 10 = 150 \)棵。

方法二：\( 15 \times 8 + 15 \times 2 = 120 + 30 = 150 \)棵。答案：150棵。

错。这是三个数连乘，应用乘法结合律。正确为：\( 5 \times (6 \times 7) = (5 \times 6) \times 7 = 30 \times 7 = 210 \)。

【奥数挑战答案】

答案：333000
解析：\( 999 \times 222 + 333 \times 334 = 333 \times 3 \times 222 + 333 \times 334 = 333 \times 666 + 333 \times 334 = 333 \times (666 + 334) = 333 \times 1000 = 333000 \)。

答案：11110000
解析：\( 1111 \times 9998 + 4444 \times 9999 = 1111 \times 9998 + 1111 \times 4 \times 9999 = 1111 \times (9998 + 39996) = 1111 \times 49994 \)。更优解：\( =1111 \times (10000-2) + 4444 \times (10000-1) = 11110000-2222+44440000-4444 = 55550000-6666 = 55543334 \)。（更正：仔细计算，原题更简便的拆法是 \( =1111 \times 9998 + 4444 \times 9999 = 1111 \times (9998 + 4 \times 9999) = 1111 \times (9998 + 39996) = 1111 \times 49994 = 1111 \times (50000-6) = 55550000-6666 = 55543334 \)。）

答案：32
解析：根据分配律，\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c = 12 + 20 = 32 \)。

答案：0
解析：设 \(a=2023\)，则 \(2024=a+1\)，\(20242024=10001 \times 2024 = 10001(a+1)\)，\(20232023=10001 \times 2023 = 10001a\)。原式= \( a \times [10001(a+1)] - (a+1) \times (10001a) = 10001a(a+1) - 10001a(a+1) = 0 \)。

答案：127500
解析：括号内是公差为2的等差数列，和= \( (2+100) \times 50 \div 2 = 2550 \)。原式= \( 2550 \times 50 = 127500 \)。

答案：49
解析：小明算的是 \( (\text{这个数}) + 7 = 56 \)，所以这个数是 \(49\)。正确结果是 \( 49 \times 7 = 343 \)。（注：此题更符合“错中求解”，与分配律关联稍弱，但可理解为 \( (a+7) = 56 \)，求 \( 7a \)）。

答案：999000
解析：\( 666 \times 333 + 778 \times 999 = 222 \times 3 \times 333 + 778 \times 999 = 222 \times 999 + 778 \times 999 = (222+778) \times 999 = 1000 \times 999 = 999000 \)。

答案：25
解析：\( \triangle \times (\square + \bigcirc) = \triangle \times \square + \triangle \times \bigcirc = 45 \)。已知 \( \triangle \times \square = 20 \)，所以 \( 20 + \triangle \times \bigcirc = 45 \)，则 \( \triangle \times \bigcirc = 25 \)。

答案：12345678900
解析：直接提取公因数 \(123456789\)，原式= \( 123456789 \times (18+82) = 123456789 \times 100 = 12345678900 \)。

答案：可能是6的任意倍数（或：设另一个因数为k，则原积为6k）
解析：设原算式为 \( a \times b = ? \)。一个因数增加5，积增加30，即 \( (a+5) \times b - a \times b = 5b = 30 \)，所以 \( b=6 \)。原积= \( a \times 6 \)，因此原积只要是6的倍数都有可能，例如6, 12, 18...。

【生活应用答案】

商务座车厢有 \(16-10=6\)节。载客量：\( 90 \times 10 + 20 \times 6 = 900 + 120 = 1020 \)人。或 \( (90 \times 10 + 20 \times 6) \) 本身就是分配律形式。答案：1020人。

总共需要零件：\( 50 \times m + 50 \times n = 50 \times (m + n) \)（个）。运用了乘法分配律。

发电量：\( 2 \times a \times 30 = 60a \)（度）。
节省木材：\( 3 \times b \times 30 = 90b \)（公斤）。

老客户购买一件的实际支付为：\( (x - 50) - 10 = x - 60 \)元。购买8件需支付：\( 8 \times (x - 60) = 8x - 480 \)元。

一天总耗电量：\( 5 \times t + 3 \times 12 = 5t + 36 \)（千瓦时）。当 \(t=8\)时，耗电量= \( 5 \times 8 + 36 = 40 + 36 = 76 \)千瓦时。

乘法分配律练习题下载：50道奥数精选题与5大易错点详解