流水行船相遇问题解题技巧：三步法详解与奥数练习题下载
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奥数
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：流水行船：相遇追及 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你和你的朋友在一条流动的河里开船。你顺流，他逆流。水流推着你，也阻挡着他。但神奇的是，当你们俩都在同一条河里时，水流对你们俩的“帮忙”和“捣乱”效果，在你们彼此看来，竟然完全抵消了！ 因为水流以同样的速度推动着你们两个人所在的“整个世界”。所以，在计算你们俩是“相遇”还是“一个追另一个”的时间时，可以假装水是静止的，直接用你们俩在静水中的速度来算。这就是“水速抵消”魔法！
- 计算秘籍：
- 确定方向：两船是“相向而行”（相遇问题）还是“同向而行”（追及问题）。
- 忘记水流：直接使用两船的静水速度 \( v_甲 \) 和 \( v_乙 \)。
- 套用公式：
- 相遇时间： \( t_{\text{相遇}} = \frac{\text{初始距离}}{v_甲 + v_乙} \)
- 追及时间： \( t_{\text{追及}} = \frac{\text{初始距离}}{|v_甲 - v_乙|} \) （快船追慢船）
- 得到答案：这个 \( t \) 就是在流水环境下，两船真实的相遇或追及时间。
- 阿星口诀：同水行船，水速不见；静水相对，搞定时间。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：分别求出顺流逆流速度再算相对速度。 → ✅ 正解：这是最易错的弯路！ 直接使用静水速度相加或相减，因为水速 \( u \) 在相向时会被抵消：\( (v_甲 + u) + (v_乙 - u) = v_甲 + v_乙 \)；在同向时也会被抵消：\( (v_甲 + u) - (v_乙 + u) = v_甲 - v_乙 \)。
- ❌ 错误2：相遇和追及公式用反。 → ✅ 正解：牢记方向！ 面对面靠近用“速度之和”，一前一后同向用“速度之差”。画个箭头图能立刻分清。
🔥 例题精讲
例题1：已知A、B两码头相距 \( 144 \) 千米。甲船在静水中的速度为 \( 18 \) 千米/时，乙船在静水中的速度为 \( 14 \) 千米/时。水流速度为 \( 3 \) 千米/时。两船分别从A、B码头同时出发，相向而行，几小时后相遇？
📌 解析：
- 阿星魔法：两船同在一条河中，水速抵消！直接使用静水速度计算。
- 这是“相遇问题”，速度和为：\( v_甲 + v_乙 = 18 + 14 = 32 \) (千米/时)。
- 相遇时间：\( t = \frac{144}{32} = 4.5 \) (小时)。
✅ 总结：无论水往哪边流，只要两船都在水里相向而行，就大胆地“抽干”河水，用静水速度相加算时间。
例题2：两地水路相距 \( 90 \) 千米。甲船顺流而下需要 \( 6 \) 小时，逆流而上需要 \( 10 \) 小时。乙船在静水中速度为 \( 12 \) 千米/时。现在两船从两地同时出发，相向而行，相遇后乙船继续前往甲船的起点，它需要多久到达？
📌 解析：
- 先求甲船静水速度 \( v_甲 \) 和水速 \( u \)。
- 顺流：\( v_甲 + u = \frac{90}{6} = 15 \)
- 逆流：\( v_甲 - u = \frac{90}{10} = 9 \)
- 解得：\( v_甲 = \frac{15+9}{2} = 12 \) (千米/时)，\( u = \frac{15-9}{2} = 3 \) (千米/时)。
- 阿星魔法启动：两船相遇时间与水速无关。相遇时间 \( t_1 = \frac{90}{v_甲 + v_乙} = \frac{90}{12 + 12} = \frac{90}{24} = 3.75 \) 小时。
- 相遇时，乙船走了 \( S_乙 = v_乙 \times t_1 = 12 \times 3.75 = 45 \) 千米。距离甲船起点还有 \( 90 - 45 = 45 \) 千米。
- 乙船前往甲船起点，此时是逆流。实际速度为 \( v_乙 - u = 12 - 3 = 9 \) 千米/时。
- 所需时间 \( t_2 = \frac{45}{9} = 5 \) 小时。
✅ 总结：“水速抵消”魔法仅适用于两船之间的相对运动（相遇追及）。一旦求单个船单独走完某段路的时间，就必须考虑水速！
例题3：在一条笔直的运河上，A、B两港口相距 \( 60 \) 千米。一天，阿星驾驶的快艇（静水速度 \( 25 \) 千米/时）从A港顺流出发去B港。同时，小星驾驶的巡逻船（静水速度 \( 15 \) 千米/时）从B港逆流出发去A港。水流速度是 \( 5 \) 千米/时。出发后 \( 1 \) 小时，快艇的发动机故障，原地顺水漂流。问：巡逻船在到达A港之前，能否遇到故障的快艇？
📌 解析：
- 第一阶段（前 \( 1 \) 小时）：两船都在动。
- 快艇实际速度：\( 25 + 5 = 30 \) 千米/时。
- 巡逻船实际速度：\( 15 - 5 = 10 \) 千米/时。
- \( 1 \) 小时后，快艇从A港走了 \( 30 \times 1 = 30 \) 千米，距离B港还有 \( 60-30=30 \) 千米。
- 巡逻船从B港走了 \( 10 \times 1 = 10 \) 千米，距离A港还有 \( 60-10=50 \) 千米。
- 此时两船相距：\( 60 - 30 - 10 = 20 \) 千米。
- 第二阶段：快艇故障，顺水漂流（速度为水速 \( u = 5 \)）。巡逻船继续逆流行驶（速度为 \( 10 \) 千米/时）。
- 关键转化：现在快艇变成了一艘“只有水速的船”。阿星魔法依然有效！两船仍在同一条河，计算它们是否相遇，水速仍可抵消。将快艇想象成静水速度为 \( 5 \) 千米/时的船。
- 此时两船相向而行（巡逻船逆流，故障艇顺漂）。
- 静水速度和：\( v_{\text{巡}} + v_{\text{故}} = 15 + 5 = 20 \) 千米/时。（再次验证：巡逻船实际速度 \( 10 \) + 故障艇实际速度 \( 5 \) = \( 15 \) ? 错了！我们上了“水速抵消”的当吗？不，这里要小心！）
- 正解思维：在第二阶段初始，两船相距 \( 20 \) 千米。巡逻船逆流实际速度 \( 10 \) 千米/时，故障艇顺流实际速度 \( 5 \) 千米/时。它们是面对面靠近，所以靠近的实际速度是 \( 10 + 5 = 15 \) 千米/时。如果用“水速抵消”思想，巡逻船静水速 \( 15 \)，故障艇静水速 \( 5 \)，它们相向，静水相对速度是 \( 20 \) 千米/时。但水流整体影响是让它们都变慢（一个减 \( 5 \)，一个加 \( 5 \)），净效果是相对速度减少了 \( (5+5) \) 吗？仔细看：\( (15 - 5) + (5 + 5) = 20 \)？不对。
最稳妥的方法是：“水速抵消”适用于两船都在主动航行时。当一船失去动力只随波逐流时，它的“静水速度”就是0，水速就是它的实际速度。此时，两船的相对速度需要直接计算实际速度。 因此，靠近速度为 \( 10 + 5 = 15 \) 千米/时。
- 相遇需要时间：\( t_2 = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \) 小时。
- 巡逻船从故障发生到相遇点，共需航行 \( 10 \times \frac{4}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \) 千米。
- 巡逻船到A港总路程为 \( 50 \) 千米（第一阶段结束时剩下的），\( 13.33 < 50 \)，所以会在到达A港前遇到故障艇。
✅ 总结：“水速抵消”魔法的前提是两船都有自己确定的静水速度。如果一船只是漂浮物，则需按实际速度计算。复杂问题要分阶段，并理解原理的适用边界。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 甲乙两船在静水中速度分别为 \( 20 \) 千米/时和 \( 15 \) 千米/时。它们从相距 \( 105 \) 千米的两港同时出发，相向而行，水流速度 \( 4 \) 千米/时。几小时相遇？
- 两船在静水中速度相同，都为 \( 18 \) 千米/时。它们从相距 \( 72 \) 千米的上下游同时出发，相向而行，\( 2 \) 小时后相遇。求水流速度。
- 一艘快艇（静水速度 \( 30 \) 千米/时）追前方 \( 24 \) 千米处的一艘货船（静水速度 \( 18 \) 千米/时），两船同向顺流而下，水速 \( 6 \) 千米/时。几小时追上？
- 条件同上题，如果是同向逆流而上，几小时追上？
- 甲乙两船从同码头同时出发，甲顺流而下，乙逆流而上。静水速度分别是 \( 25 \) 和 \( 20 \) 千米/时，水速 \( 5 \) 千米/时。\( 3 \) 小时后两船相距多远？
- 两地水路长 \( 120 \) 千米。船A顺流需 \( 4 \) 小时，船B逆流需 \( 6 \) 小时。若两船从两地相向而行，相遇时船A比船B多走多少千米？
- 在静水中，甲船速度是乙船的 \( 1.5 \) 倍。它们从相距 \( 270 \) 千米的两港同时出发，相向而行，\( 6 \) 小时后相遇。求水流速度（已知水速为 \( 3 \) 千米/时）。
- 两船在静水中速度分别是 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) (\( v_1 > v_2 \))，水速 \( u \)。它们同时从上下游两地出发，相向而行，相遇后继续驶向对方港口。谁先到达？
- 一个漂浮物从A港顺流而下，同时一艘船从B港逆流而上前往A港。船在静水中速度是 \( 12 \) 千米/时，AB相距 \( 48 \) 千米，水速 \( 3 \) 千米/时。船出发后几小时遇到漂浮物？
- 两船在静水中速度之和为 \( 40 \) 千米/时。它们从相距 \( 200 \) 千米的两港同时出发，相向而行，\( 5 \) 小时后相遇。已知水速为 \( 2 \) 千米/时，求两船静水速度各是多少。
二、奥数挑战
- （两次相遇）甲乙两船从AB两港同时出发，相向而行。甲船静水速度是 \( 28 \) 千米/时，乙船是 \( 20 \) 千米/时，水速 \( 4 \) 千米/时。两船第一次相遇后继续前进，到达对方港口后立即返回，第二次相遇点距第一次相遇点 \( 80 \) 千米。求AB两港距离。
- （变速追及）甲船从A港，乙船从B港同时出发，相向而行。相遇后，甲船速度增加 \( 20\% \)，乙船速度减少 \( 20\% \)，它们继续驶向对方港口后立即返回，结果同时回到起点。已知第一次相遇点距A港 \( 100 \) 千米，求AB全程（水速为 \( 0 \)，即静水）。
- （水中往返追及）一条河里，一条漂流物和一艘船同时从A点出发，船到B点后立即返回，在返回途中追上漂流物。已知AB距离、船在静水中的速度是水速的 \( n \) 倍，求船追上漂流物的位置。
- （多船相遇）在一条笔直河道的上下游相距 \( 90 \) 千米处有A、B两港。上午9点，甲船从A港，乙船从B港同时出发，相向而行。上午11点，丙船从A港出发前往B港。已知三船静水速度相同，都为 \( 15 \) 千米/时，水速 \( 3 \) 千米/时。丙船出发后，它先遇到乙船，再遇到甲船。求丙船遇到甲乙两船的具体时间。
- （环形水道）一个环形人工湖水道长 \( 12 \) 千米。两艘快艇在静水中速度均为 \( 10 \) 千米/时，它们从同一点反向开出。若水流速度为 \( 2 \) 千米/时，且水流方向与环形水道一致。求两艇第一次相遇的位置和出发点的距离。
- （流水行船与方程）一艘船从A港到B港顺流需 \( 6 \) 小时，逆流需 \( 8 \) 小时。另一艘船静水速度是第一艘船的 \( \frac{2}{3} \)。若两船从AB两港同时出发，相向而行，相遇时，第二艘船比第一艘船少走 \( 36 \) 千米。求两港距离。
- （复杂相对速度）甲船在静水中速度比乙船快 \( 25\% \)。它们从同一条河相距 \( 100 \) 千米的两地同时出发，同向顺流而下。一段时间后，乙船掉头以原静水速度逆流而上。当乙船掉头时，甲船立即掉头以原静水速度逆流而上。结果两船同时返回各自起点。求水流速度与乙船静水速度的比值。
- （往返相遇）两艘性能相同的船从AB中点C同时出发，一艘向A，一艘向B，逆流而上。到达AB后立即返回（掉头时间不计），在距离C点 \( 2 \) 千米处两船第一次迎面相遇。若AB相距 \( 20 \) 千米，求水速是船在静水中速度的几分之几？
- （追及与漂浮物）某船逆流而上，途中救生圈掉落水中。\( 10 \) 分钟后发现并立即掉头追赶。若船在静水中速度不变，求追上救生圈需要多少分钟。（提示：救生圈速度=水速）
- （流水行船与比例）从上游A港到下游B港，船需行 \( 5 \) 天；从B港到A港需行 \( 7 \) 天。问：一个从A港放下的空木箱，漂到B港需要多少天？
第三关：生活应用（5道）
- （AI巡逻艇）在一条东西流向的运河中部署了两艘AI自主巡逻艇。东艇静水速度 \( 25 \) 节，西艇 \( 20 \) 节，水流速度 \( 3 \) 节。两艇接到指令从相距 \( 54 \) 海里的位置同时出发，相向进行系统联合检测。它们相遇后，东艇需要立即将检测数据打包成一个 \( 10GB \) 的数据块，通过激光通信（瞬时）发送给西艇，由西艇带回基地。若西艇返回基地（即它的出发地）是逆流，问从出发到数据被送回基地，至少需要多少小时？
- （航天器交会）在一条稳定粒子流（类似“水流”）中，两个航天器A和B需要交会对接。A器沿粒子流方向速度（自身动力+粒子流）为 \( v_A \)，B器逆粒子流方向速度为 \( v_B \)，粒子流速度为 \( u \)。已知A、B的“静粒子流速度”（即自身动力速度）之比为 \( 3:2 \)，初始相距 \( L \)。为节省燃料，它们计划在粒子流中自然相遇（即只调整方向，不额外加速）。请建立相遇时间的数学模型，并讨论 \( u \) 对结果的影响。
- （物流无人机）两架送货无人机在恒定风中飞行，风类似于“水流”。它们从两个仓库同时出发，相向飞行准备交接货物。已知无风时两机速度分别为 \( 45 \) km/h 和 \( 35 \) km/h，风速 \( 10 \) km/h，仓库相距 \( 40 \) km。交接（相遇）后，它们需要立即原路返回各自仓库。哪一架无人机先回到自己的仓库？时间差是多少？
- （网络数据传输）假设数据包在主干网中传输会受到基础网络延迟（类似“水速”）的影响。两个大小不同的数据包（体积比为 \( 2:1 \) ）从服务器A和B同时发出，相向传输到对方服务器。它们的“净传输速度”（类似“静水速度”）与其体积成反比。基础延迟对所有数据包的影响是固定的。已知两包相遇时，大数据包已传输了总路程的 \( 60\% \)。求基础延迟占总传输时间的比例。
- （双星系统运动）在一个简化的双星模型中，两颗恒星围绕共同质心旋转，它们之间的空间存在均匀的星际介质流。观测者位于介质流中某点，试图同时观测到两颗恒星发出的特定信号。信号在介质中的传播速度会叠加介质流速度。若两颗恒星相对于质心的“轨道速度”（类似“静水速度”）已知，介质流速度未知。请解释，在计算两颗恒星发出的信号同时到达观测者所需满足的初始位置条件时，介质流速度的影响是否会像“水速”一样被抵消？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：流水行船：相遇追及 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：主要是因为引入了“水速”这个第三个速度，干扰了对两船本身运动关系的判断。学生容易陷入分别计算“顺水速”、“逆水速”的细节，而未能从更高的“相对运动”视角看问题。阿星的“水速抵消”比喻，正是为了帮大家跳出这个细节陷阱，看到问题的本质：两船都在河里时，水流改变的是它们各自相对于河岸的速度，但不改变它们彼此之间的相对速度。这个相对速度只由它们的静水速度决定。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：这是培养相对运动思想和参考系变换思维的绝佳起点。在物理的力学、运动学中，参考系的选取至关重要。这里的“以水为参考系”（忽略水速）就是一种简单的参考系变换。在数学上，它训练了“在复杂变量中识别并消除共同影响因素”的代数思维。例如，在方程组 \( x+a=c, y-a=d \) 中，\( a \) 就像水速，求 \( x+y \) 时，\( a \) 自然抵消。未来学习向量、相对速度、 Galilean Transformation 时，这个基础会非常有用。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！面对两船在流水中的相遇追及问题，请严格按照以下步骤：
- 判断题型：画图，明确是“相向/相遇”还是“同向/追及”。
- 启动“抵消”思维：问自己：“两船是不是都在水里主动航行？”如果是，进入第3步；如果一船是漂浮物，则按实际速度计算。
- 使用静水速度：直接使用题目给出的或求出的静水速度 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)。
- 相遇：\( t = \frac{S}{v_1 + v_2} \)
- 追及：\( t = \frac{S}{|v_1 - v_2|} \)
- 得到答案：这个 \( t \) 就是最终答案（如果只问相遇追及时间）。
记住阿星口诀：“同水行船，水速不见；静水相对，搞定时间。” 这个套路能解决 \( 90\% \) 以上的常规考题。
参考答案与解析
第一关：基础热身
（第二关、第三关解析因篇幅过长，在此省略。可根据具体问题进一步展开。）