A字型相似三角形全解：金字塔模型与中考真题突破专项练习题库

💡 阿星精讲：A字型 原理

• 核心概念：想象一个宏伟的金字塔（大三角形），从塔尖向下看，我们在一半的高度上，水平地砍一刀（作一条平行于底边的线），切出了一座小的、形状完全一样的“迷你金字塔”（小三角形）。这两个金字塔共享同一个塔尖角，这就是“A字型”模型！阿星说：关键就是“平行线截三角形，公共角在上面”。因为顶部角相同，下面两条边又被平行线所截，所以一大一小两个三角形是“相似”的——就像一个模子刻出来的，只是大小不同。
• 计算秘籍：
  1. 锁定塔尖与平行：找到那个公共的顶点（塔尖，比如点 \( A \) ），和那组平行线（比如 \( DE \parallel BC \) ）。
  2. 识别“父子”三角形：大三角形 \( \triangle ABC \) 是“爸爸”，小三角形 \( \triangle ADE \) 是“儿子”。
  3. 对应边成比例：相似三角形对应边的比值相等。最重要的比例关系是：
     \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)。
     记住，小三角形的边比大三角形的对应边，这个比值就是“相似比”。
• 阿星口诀：塔尖共角，塔身平行，大小金字塔，边边成比例。

📐 图形解析

下图清晰地展示了“金字塔”模型。塔尖 \( A \) 是公共角，平行线 \( DE \) 在金字塔中部“切”出了小的相似三角形 \( \triangle ADE \)。

根据相似关系，我们可以得到比例式：\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)。如果已知 \( AD = 3 \), \( AB = 9 \), \( BC = 12 \)，那么 \( \frac{3}{9} = \frac{DE}{12} \)，解得 \( DE = 4 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：找错对应边。例如，认为 \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)。
  ✅ 正解：必须是大三角形的边对应小三角形的边。比例是“小边:大边”，且必须是从公共角出发的对应边，即 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)。
• ❌ 错误2：在没有平行条件的情况下，误用A字型比例。
  ✅ 正解：A字型的核心前提是有一条线段平行于三角形的一边（\( DE \parallel BC \)）。没有这个条件，比例关系不成立。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\( DE \parallel BC \)，\( AD=2 \)，\( DB=4 \)，\( DE=3 \)，求 \( BC \)。
2. 如图，\( DE \parallel BC \)，若 \( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5} \)，\( BC=15 \)，求 \( DE \)。
3. 在 \( \triangle ABC \) 中，点 \( D \)、\( E \) 分别在 \( AB \)、\( AC \) 上。添加一个条件________，使得 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。（只写一个）
4. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( DE \parallel BC \)，\( AD=3\text{cm} \)，\( BD=2\text{cm} \)，则 \( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\text{梯形}DBCE}} = \) ______。
5. 已知 \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \)，且相似比 \( k=3 \)。若 \( \triangle ABC \) 的周长为 \( 18 \)，求 \( \triangle A’B’C’ \) 的周长。
6. 判断：两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？
7. 如图，\( l1 \parallel l2 \parallel l3 \)，直线 \( a, b \) 被它们所截，\( AB=4 \)，\( BC=6 \)，\( DE=5 \)，求 \( EF \)。（提示：这是平行线分线段成比例，是A字型的推广）
8. 如图，\( \angle B = \angle ADE \)，可以判定 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) 吗？为什么？
9. 一个三角形的三边长分别为 \( 3\text{cm}, 4\text{cm}, 5\text{cm} \)，另一个与它相似的三角形的最长边为 \( 10\text{cm} \)，求另一个三角形的周长。
10. 生活中，你还能举出哪些利用“A字型”相似原理的例子？（至少一个）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题）如图，在平行四边形 \( ABCD \) 中，点 \( E \) 是 \( AD \) 的中点，\( BE \) 交对角线 \( AC \) 于点 \( F \)，则 \( AF:FC = \) ______。
2. （中考真题）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D \)、\( E \) 分别是 \( AB \)、\( AC \) 上的点，且 \( DE \parallel BC \)。若 \( S_{\triangle ADE}: S_{\text{四边形}DBCE} = 1:3 \)，则 \( AD:AB = \) ______。
3. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，且落在离网 \( 4\text{m} \) 的位置上，则球拍击球的高度 \( h \) 为 ______ m。（网高 \( 0.8\text{m} \)）
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=8 \)，\( AC=6 \)，点 \( D \) 在 \( AB \) 上，且 \( AD=2 \)，点 \( E \) 在 \( AC \) 上。当 \( AE = \) ______ 时，以 \( A, D, E \) 为顶点的三角形与 \( \triangle ABC \) 相似。
5. 如图， \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，四边形 \( DEGF \) 是正方形，点 \( D, E \) 在 \( AC, BC \) 上，\( F, G \) 在 \( AB \) 上。若 \( AC=6 \)，\( BC=8 \)，求正方形边长。
6. 如图， \( \triangle ABC \) 被平行于 \( BC \) 的直线 \( DE \) 分成面积相等的两部分，求 \( \frac{AD}{AB} \) 的值。
7. 如图， \( \triangle ABC \) 中，\( DE \parallel BC \)，\( EF \parallel AB \)。已知 \( AD:DB=2:3 \)，\( BC=25 \)，求 \( BF \)。
8. （网格相似）在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，\( \triangle ABC \) 和 \( \triangle DEF \) 的顶点都在边长为 \( 1 \) 的小正方形的顶点上。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。
9. 如图，梯形 \( ABCD \) 中，\( AD \parallel BC \)，对角线 \( AC \)、\( BD \) 相交于点 \( O \)，\( S_{\triangle AOD}=4 \)，\( S_{\triangle BOC}=9 \)，求 \( S_{\triangle AOB} \)。
10. （动点问题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=6\text{cm} \)，\( AC=4\text{cm} \)，点 \( D \) 以 \( 2\text{cm/s} \) 的速度从点 \( B \) 出发沿 \( BA \) 向点 \( A \) 运动，同时点 \( E \) 以 \( 1\text{cm/s} \) 的速度从点 \( C \) 出发沿 \( CA \) 向点 \( A \) 运动。当 \( t \) 为何值时，以 \( A, D, E \) 为顶点的三角形与 \( \triangle ABC \) 相似？

第三关：生活应用（5道）

1. 测楼高：小华在楼前放一面镜子，然后后退直到能从镜中看到楼顶。已知小华眼睛离地 \( 1.5\text{m} \)，镜子离楼底 \( 30\text{m} \)，小华离镜子 \( 2\text{m} \)，求楼高。
2. 测河宽：如图，在河对岸选定一个目标点 \( P \)，在近岸取点 \( A \) 和 \( B \)，使 \( AB \) 与河岸垂直，并测得 \( AB=40\text{m} \)。在 \( AB \) 的延长线上取点 \( C \)，使 \( BC=20\text{m} \)。过点 \( C \) 作河岸的垂线 \( CD \)，在 \( CD \) 上取点 \( E \)，使点 \( P, B, E \) 在一条直线上。测得 \( CE=30\text{m} \)，求河宽 \( AP \)。
3. 视力表：标准视力表测试距离是 \( 5\text{m} \)。小明家客厅只有 \( 3\text{m} \) 长，他可以用一面镜子挂在墙上来看视力表。请问镜子应该挂在离视力表多远的墙上，才能使测试距离等效为 \( 5\text{m} \)？（忽略眼与镜的小距离）
4. 零件加工：一个三角形的金属零件在图纸上的尺寸是边长为 \( 3\text{cm}, 4\text{cm}, 5\text{cm} \)，图纸比例尺是 \( 1:20 \)。请问这个零件实际焊接边的总长度（周长）是多少？
5. 摄影构图：摄影师想拍一张照片，使远处实际高度为 \( 100\text{m} \) 的塔在照片中高度为 \( 2\text{cm} \)。如果照片中塔的底座到照片底边的距离（像距）相当于镜头焦距 \( 50\text{mm} \），那么摄影师离塔（物距）大约多远？提示：透镜成像公式 \( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} \)，且像高:物高 = 像距:物距。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身 解析：

1. 由 \( DE \parallel BC \)，\( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)。\( AB = AD+DB=2+4=6 \)。∴ \( \frac{2}{6} = \frac{3}{BC} \)，\( BC=9 \)。
2. \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \) ⇒ \( \frac{2}{5} = \frac{DE}{15} \) ⇒ \( DE=6 \)。
3. \( DE \parallel BC \) 或 \( \angle ADE = \angle B \) 或 \( \angle AED = \angle C \) 或 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)（需已知两边对应成比例且夹角相等）。
4. 相似比 \( k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5} \)。面积比 \( k^2 = \frac{9}{25} \)。∴ \( S_{\triangle ADE} : S_{\triangle ABC} = 9:25 \)。∴ \( S_{\triangle ADE} : S_{\text{梯形}} = 9 : (25-9) = 9:16 \)。
5. 周长比等于相似比，\( C_{\triangle A'B'C'} = \frac{18}{3} = 6 \)。
6. 等腰三角形不一定相似（底角可以变化），等边三角形一定相似（三角恒为 \( 60^\circ \)）。
7. 由平行线分线段成比例，\( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) ⇒ \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EF} \) ⇒ \( EF = 7.5 \)。
8. 可以。\( \angle B = \angle ADE \)，且 \( \angle A \) 是公共角，根据“AA”（两角分别相等）可判定相似。
9. 相似比 \( k = \frac{10}{5} = 2 \)。原周长 \( = 3+4+5=12\text{cm} \)，新周长 \( = 12 \times 2 = 24\text{cm} \)。
10. 例子：测量大树高度（利用影子）；工程设计图纸与实际建筑的比例；地图与实际地点的比例；相机镜头成像等。

（第二关、第三关解析略，需根据具体图形详细解答，格式同上。）